【数学 中学1年 #3】一次方程式 練習問題（STEP 3：入試の応用：自分で式の組み立て方を決める）

1200 m

解き方

道のりを x m とすると、\(\displaystyle \frac{x}{50}−\frac{x}{80}=6+3=9\)。400 をかけて \(\displaystyle 8x−5x=3600\)、\(\displaystyle x=1200\)。時間を x にするなら、家を出てから発車までを t 分として \(\displaystyle 50(t+6)=80(t−3)\)、\(\displaystyle t=18\)、道のりは \(\displaystyle 50×24=1200\) m。確かめ：24 分と 15 分。発車は 18 分後なので、6 分後と 3 分前。

300 ページ

解き方

予定の日数を x 日とすると、\(\displaystyle 15(x+2)=20(x−3)\)、\(\displaystyle 15x+30=20x−60\)、\(\displaystyle 90=5x\)、\(\displaystyle x=18\)。ページ数は \(\displaystyle 15×20=300\)。ページ数を x にすると、15 ページずつの日数と 20 ページずつの日数の差は、予定をはさんで 2 日多いのと 3 日早いのを合わせた分なので、\(\displaystyle \frac{x}{15}−\frac{x}{20}=2+3=5\) で、60 をかけて \(\displaystyle 4x−3x=300\)。確かめ：15 ページで 20 日、20 ページで 15 日。予定 18 日より 2 日多く、3 日早い。

242 人

解き方

今年の男子を x にすると、昨年の男子は \(\displaystyle \frac{x}{1.1}\) となって式が複雑になります。割合の基準である昨年の男子を x 人にします。昨年の女子は \(\displaystyle (500−x)\) 人。増えた分と減った分から、\(\displaystyle 0.1x−0.05(500−x)=8\)。100 倍して \(\displaystyle 10x−5(500−x)=800\)、\(\displaystyle 15x=3300\)、\(\displaystyle x=220\)。今年の男子は \(\displaystyle 220×1.1=242\) 人。確かめ：女子は 280 人から 14 人減って 266 人。男子は 22 人増え、22−14=8 人増。答えは昨年の 220 人ではなく、聞かれた今年の 242 人です。

長いす 13 脚、生徒 93 人

解き方

長いすを x 脚とします。8 人ずつのとき、8 人座る長いすは「5 人の 1 脚」と「空の 1 脚」を除いた \(\displaystyle x−2\) 脚です。\(\displaystyle 6x+15=8(x−2)+5\)、\(\displaystyle 6x+15=8x−11\)、\(\displaystyle 26=2x\)、\(\displaystyle x=13\)。生徒は \(\displaystyle 6×13+15=93\) 人。確かめ：\(\displaystyle 8×11+5=93\)、長いすは 11+1+1=13 脚。

答えの図

400 g

解き方

4 % の食塩水を x g とします。食塩の重さは、混ぜる前の合計と混ぜた後で変わりません。\(\displaystyle 200×0.1+0.04x=0.06(200+x)\)。100 倍して \(\displaystyle 2000+4x=1200+6x\)、\(\displaystyle 800=2x\)、\(\displaystyle x=400\)。確かめ：食塩 20+16=36 g、600 g の 6 % も 36 g。

150 g

解き方

蒸発するのは水だけなので、食塩の重さ \(\displaystyle 400×0.05=20\) g は変わりません。x g 蒸発させると、食塩水は \(\displaystyle (400−x) g\)。\(\displaystyle 0.08(400−x)=20\)、\(\displaystyle 400−x=250\)、\(\displaystyle x=150\)。確かめ：250 g の 8 % は 20 g。

1200 円

解き方

定価を x 円として、変わらない原価を 2 通りに表します。2 割引きの売値 0.8x 円から利益 80 円をひくと原価なので、原価＝\(\displaystyle 0.8x−80\)。3 割引きの売値 0.7x 円は原価より 40 円少ないので、原価＝\(\displaystyle 0.7x+40\)。\(\displaystyle 0.8x−80=0.7x+40\)、\(\displaystyle 0.1x=120\)、\(\displaystyle x=1200\)。原価は 880 円。確かめ：売値 960 円で利益 80 円、売値 840 円で損 40 円。

(1) 5 本　(2) 道の長さ 168 m、木 25 本

解き方

(1) 図を描いて数えます。24 m を 6 m ずつに区切ると、間は 24÷6=4 つです。木は、左はしの 1 本と、それぞれの間の右はしに 1 本ずつで、4+1=5 本です。「間の数」と「木の本数」は 1 ちがいます。24÷6=4 で「4 本」とするのは、よくある間違いです。
(2) 道の長さを x m とします。(1) と同じように数えると、6 m おきに植えるのに要る木は \(\displaystyle (\frac{x}{6}+1)\) 本、8 m おきなら \(\displaystyle (\frac{x}{8}+1)\) 本です。用意した木の本数を 2 通りに表します。6 m おきでは 4 本足りないので \(\displaystyle \frac{x}{6}+1−4\)、8 m おきでは 3 本余るので \(\displaystyle \frac{x}{8}+1+3\)。
\(\displaystyle \frac{x}{6}+1−4=\frac{x}{8}+1+3\)、\(\displaystyle \frac{x}{6}−3=\frac{x}{8}+4\)。24 をかけて \(\displaystyle 4x−72=3x+96\)、\(\displaystyle x=168\)。用意した木は \(\displaystyle 168÷6+1−4=25\) 本。
木の本数を x 本にしても解けます。6 m おきでは 4 本足りないので要る木は \(\displaystyle (x+4)\) 本、間は \(\displaystyle (x+3)\) 個で、道の長さは \(\displaystyle 6(x+3) m\)。8 m おきでは 3 本余るので植える木は \(\displaystyle (x−3)\) 本、間は \(\displaystyle (x−4)\) 個で、道の長さは \(\displaystyle 8(x−4) m\)。\(\displaystyle 6(x+3)=8(x−4)\)、\(\displaystyle 6x+18=8x−32\)、\(\displaystyle 50=2x\)、\(\displaystyle x=25\)。道の長さは \(\displaystyle 6×28=168\) m。
確かめ：6 m おきなら間は 28 個で木は 29 本要り、25 本では 4 本足りない。8 m おきなら間は 21 個で木は 22 本要り、25 本では 3 本余る。合っています。
「＋1」を忘れて、要る木を \(\displaystyle \frac{x}{6}\) 本、\(\displaystyle \frac{x}{8}\) 本とすると、道の長さは同じ 168 m が出ますが、木の本数が \(\displaystyle 168÷6−4=24\) 本となって間違えます。木の本数を x にしたときも、間の数は木の本数より 1 少ない、という「−1」を 2 つの式の両方で忘れて、間を \(\displaystyle (x+4)\) 個、\(\displaystyle (x−3)\) 個とすると、\(\displaystyle 6(x+4)=8(x−3)\)、\(\displaystyle x=24\) となります。このときも道の長さは \(\displaystyle 6×28=168\) m と合ってしまい、木の本数だけが 24 本と間違えます。どちらのやり方でも、片方の式だけで忘れたときは、道の長さも 192 m や 144 m のように違ってきます。道の長さが合っていても、木の本数が違うことがあります。答えを出したら、図に戻って本数を数え直しましょう。

答えの図

\(\displaystyle x=5\)

解き方

\(\displaystyle x=2\) は、書き間違えた方程式 \(\displaystyle 4x+7=3+a\) の解です。こちらに代入して a を求めます。\(\displaystyle 8+7=3+a\)、\(\displaystyle a=12\)。正しい方程式は \(\displaystyle 4x+7=3x+12\) なので、\(\displaystyle x=5\)。確かめ：27=27。
\(\displaystyle x=2\) を正しい方程式に代入すると \(\displaystyle 15=6+a\) で \(\displaystyle a=9\) となりますが、これは誤りです。\(\displaystyle x=2\) は正しい方程式の解ではないので、正しい方程式に代入してはいけません。与えられた情報がどの式についてのものかを見きわめます。

ノート 140 円、ペン 100 円

解き方

ペンを x 円とし、両方の場合を調べます。
・差が 40 円のとき：\(\displaystyle 5(x+40)+3x=1000\)、\(\displaystyle 8x=800\)、\(\displaystyle x=100\)。ノートは 140 円。
・差が 60 円のとき：\(\displaystyle 5(x+60)+3x=1000\)、\(\displaystyle 8x=700\)、\(\displaystyle x=87.5\)。値段は整数なので、この場合は問題に合いません。
よって、差は 40 円で、ノート 140 円、ペン 100 円。確かめ：700+300=1000。
2 通りの可能性があるときは、両方を解いてから、問題の条件（ここでは値段が整数であること）に合う方を選びます。合わない方は、計算が正しくても答えにはなりません。