【数学 中学1年 #4】比例と反比例（負の比例含む） 練習問題（STEP 1-3）

– (1) \(\displaystyle y=\frac{36}{x}\)、反比例する
– (2) \(\displaystyle y=3x\)、比例する
– (3) \(\displaystyle y=\frac{20}{x}\)、反比例する
– (4) \(\displaystyle y=2x+12\)、どちらでもない

解き方

– (1) は、時間＝道のり÷速さです。
– (4) は、周＝\(\displaystyle (\)縦\(\displaystyle ＋\)横\(\displaystyle )×2\)＝\(\displaystyle 2x+12\) です。\(\displaystyle ＋\allowbreak 12\) があるので、比例ではありません。

– (1) 順に \(\displaystyle −3、−4、−6、−12、12、6、4、3、2\)
– (2) \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍
– (3) 12

解き方

– 正÷負は負です。
– \(\displaystyle x\) が 3 倍になると、\(\displaystyle y\) は 12 から 4 へ、\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍になります。
– \(\displaystyle xy\) は、どの組でも 12 です。

– (1) \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)、\(\displaystyle y=−2\)
– (2) \(\displaystyle y=−\frac{10}{x}\)、\(\displaystyle y=−5\)
– (3) \(\displaystyle y=−\frac{3}{x}\)、\(\displaystyle y=\frac{3}{2}\)

解き方

– 反比例なので \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) と置き、1 組の値を代入して \(\displaystyle a\) を求めます。これは \(\displaystyle a=xy\) と同じです。
– (1)：\(\displaystyle a=3×4=12\) です。
– (2)：\(\displaystyle a=(−5)×2=−10\) です。
– (3)：\(\displaystyle a=6×(−\frac{1}{2})=−3\) です。
– 式に \(\displaystyle x\) の値を入れて、\(\displaystyle y\) を求めます。
– (1)：\(\displaystyle y=\frac{12}{−6}=−2\)。
– (2)：\(\displaystyle y=−\frac{10}{2}=−5\)。
– (3)：\(\displaystyle y=−\frac{3}{−2}=\frac{3}{2}\)。負÷負は正です。
– 求めた式に、もとの 1 組の値を入れて、成り立つかを確かめましょう。

– \(\displaystyle y=\frac{8}{x}\)：\(\displaystyle (1, 8)\)、\(\displaystyle (2, 4)\)、\(\displaystyle (4, 2)\)、\(\displaystyle (8, 1)\) と、\(\displaystyle (−1, −8)\)、\(\displaystyle (−2, −4)\)、\(\displaystyle (−4, −2)\)、\(\displaystyle (−8, −1)\) を通る、右上と左下の 2 つの曲線。
– \(\displaystyle y=−\frac{4}{x}\)：\(\displaystyle (1, −4)\)、\(\displaystyle (2, −2)\)、\(\displaystyle (4, −1)\) と、\(\displaystyle (−1, 4)\)、\(\displaystyle (−2, 2)\)、\(\displaystyle (−4, 1)\) を通る、右下と左上の 2 つの曲線。

解き方

– なめらかな曲線でつなぎます。
– 折れ線にしない、原点でつながない、軸にくっつけない、の 3 つを守ります。
– \(\displaystyle y=−\frac{4}{x}\) は、\(\displaystyle (8, −0.5)\) あたりまでのばします。

答えの図

\(\displaystyle y=−\frac{20}{x}\)、\(\displaystyle y=−\frac{5}{2}\)

解き方

– \(\displaystyle xy\) を計算すると、\(\displaystyle 4×(−5)=−20\)、\(\displaystyle (−5)×4=−20\)、\(\displaystyle (−10)×2=−20\) で、どれも \(\displaystyle −20\) です。
– \(\displaystyle y=−\frac{20}{8}=−\frac{5}{2}\) です。

(1) ×　(2) 〇　(3) ×　(4) ×

解き方

– (1)：\(\displaystyle x=0\) には \(\displaystyle y\) がないので、原点は通りません。
– (2)：\(\displaystyle x=1\) で \(\displaystyle −3\)、\(\displaystyle x=3\) で \(\displaystyle −1\) と増えます。
– (3)：\(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍になるのは、\(\displaystyle x\) が「2 倍」になったときです。「2 増える」とは違います。\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) で \(\displaystyle x\) が 3 から 6 なら 2 倍で、\(\displaystyle y\) は 4 から 2 になり、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍です。\(\displaystyle x\) が 4 から 6（2 増える）なら、\(\displaystyle y\) は 3 から 2 で、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍ではありません。
– (4)：\(\displaystyle x=0\) のときは決まりません。

– (1) 反比例、\(\displaystyle y=−\frac{30}{x}\)
– (2) 比例、\(\displaystyle y=−\frac{3}{2}x\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle xy\) がどれも \(\displaystyle −30\) です。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えていますが、積が一定なので反比例です。
– (2)：\(\displaystyle y÷x\) がどれも \(\displaystyle −\frac{3}{2}\) です。商が一定なので比例です。
– 積と商の両方を計算して、どちらが一定かを見ます。

イ、エ

解き方

– 反比例で比例定数が負なら、左上と右下にできます。
– アは比例定数が正なので、右上と左下です。
– ウは比例なので、グラフは原点を通る直線です。双曲線ではありません。

– ア：比例、比例定数 \(\displaystyle \frac{1}{4}\)
– イ：反比例、比例定数 \(\displaystyle −15\)
– ウ：どちらでもない
– エ：どちらでもない
– オ：反比例、比例定数 \(\displaystyle −7\)

解き方

– アの \(\displaystyle \frac{x}{4}\) は \(\displaystyle \frac{1}{4}x\) と直せるので、\(\displaystyle y=ax\) の形です（比例定数 \(\displaystyle \frac{1}{4}\)）。だから比例です。分数の形をしていても、見た目では決めません。\(\displaystyle y=ax\) や \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) の形に直せるかどうかで決めます。
– イの \(\displaystyle xy=−15\) は、両辺を \(\displaystyle x\) でわると \(\displaystyle y=−\frac{15}{x}\) になるので、反比例です。
– ウはかっこをはずすと \(\displaystyle y=3x+6\) で、\(\displaystyle ＋\allowbreak 6\) があるので、どちらでもありません。
– エも \(\displaystyle −5\) があるので、どちらでもありません。