【中1数学】反比例とは？　式 y＝a/x の求め方とグラフ（双曲線）のかき方

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 反比例の式 \(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\)（\(\displaystyle xy=a\)）の意味と、1組の \(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\) から式を求めるやり方
• 比例・反比例・どちらでもないを、式の形で見分けるやり方
• 反比例のグラフ（双曲線）のかき方。比例定数が負の数のときもふくみます

「反比例＝片方が増えると、もう片方が減る」でいいの？

反比例と聞いて、「片方が増えると、もう片方が減るもの」と思った人は多いかもしれません。はじめはその感じ方でかまいません。

ただ、中学ではそれだけでは足りない場面が出てきます。この記事では、次の 3 つができるようになることをめざします。

• 1組の \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) から、反比例の式を求める
• 比例か、反比例か、どちらでもないかを、式で見分ける
• 反比例のグラフをかく

どれも、比例定数が負の数のときまでやります。今日初めて反比例を聞く人も、ゼロから順に読めば大丈夫です。

小学校の反比例を思い出そう

12 個のあめを分けるとき、分ける人数が 2 倍になると、1 人分は半分になります。これが反比例の感覚です。

同じことを長方形で見てみましょう。面積が 12 cm² の長方形で、縦を \(\displaystyle x\) cm、横を \(\displaystyle y\) cm とします。

縦が 1 cm なら横は 12 cm、縦が 2 cm なら横は 6 cm、縦が 3 cm なら横は 4 cm です。どの長方形も、面積は 12 cm² になっています。

• \(\displaystyle x\) が 1 から 2 へ 2 倍になると、\(\displaystyle y\) は 12 から 6 になります。これは \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍です。
• \(\displaystyle x\) が 1 から 3 へ 3 倍になると、\(\displaystyle y\) は 12 から 4 になります。これは \(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍です。

比例は、「\(\displaystyle x\) が 2 倍になると \(\displaystyle y\) も 2 倍になる」関係でした。反比例はそれとは違います。

【決まり】反比例
\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍、\(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍になる

反比例の式 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)

長方形の面積は「縦×横」なので、\(\displaystyle x \times y = 12\) です。上の表のどの組も、かけるとちゃんと 12 になります。

これを「\(\displaystyle y=\)」の形にすると、次のようになります。

$$y=\frac{12}{x}$$

\(\displaystyle x\) を決めると \(\displaystyle y\) が 1 つに決まるので、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) の関数です。この 12 のところを文字 \(\displaystyle a\) にした \(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形で表されるとき、「\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に反比例する」と言います。\(\displaystyle a\) は比例定数と言います。比例のときと同じ名前です。

\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の両辺に \(\displaystyle x\) をかけると、\(\displaystyle xy=a\) になります。つまり反比例は、「\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の積（かけ算の答え）がいつも同じ」関係です。

ひとつ気をつけることがあります。\(\displaystyle x\) が 0 だと \(\displaystyle 12 \div 0\) になりますが、0 でわることはできません。なので、\(\displaystyle x=0\) のときは \(\displaystyle y\) の値がありません。表では × と書きます。

【決まり】反比例の式
\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\)（\(\displaystyle xy=a\)）
\(\displaystyle a\) を比例定数という
\(\displaystyle x=0\) のとき \(\displaystyle y\) の値はない（表では ×）

比例か反比例かは「式の形」で決める

どんな式なら反比例と言えるのでしょうか。3 つの式で確かめます。

① \(\displaystyle xy=-8\)
両辺を \(\displaystyle x\) でわると \(\displaystyle y=-\dfrac{8}{x}\) です。\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形なので、反比例です。

② \(\displaystyle y=\dfrac{x}{3}\)
分数の形なので、反比例に見えるかもしれません。でも \(\displaystyle \dfrac{x}{3}\) は \(\displaystyle \dfrac{1}{3}x\) のことです。\(\displaystyle y=ax\) の形なので、比例です。

③ \(\displaystyle y=\dfrac{12}{x}+1\)
\(\displaystyle x\) は分母にあります。でも「\(\displaystyle +1\)」がついているので、\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形ではありません。実際に、\(\displaystyle x\) が 1 から 2 へ 2 倍になっても、\(\displaystyle y\) は 13 から 7 になるだけで、\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍にはなりません。なので、③はどちらでもないです。

\(\displaystyle x\) が分母にあるかどうかだけでは決まりません。式全体が \(\displaystyle y=ax\) の形か、\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形かを見ます。

【決まり】式の形で決める
\(\displaystyle y=ax\) の形 → 比例
\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形 → 反比例

比例定数が負の数のとき

中学では、比例定数が負の数でもかまいません。たとえば \(\displaystyle y=-\dfrac{12}{x}\)（\(\displaystyle xy=-12\)）です。小学校の反比例には出てこなかった形です。

比例定数が負でも、\(\displaystyle x\) が 2 倍になると \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍になるのでしょうか。表を作って確かめます。

• \(\displaystyle x\) が 1 から 2 へ 2 倍になると、\(\displaystyle y\) は −12 から −6 になります。\(\displaystyle (-12)\times\dfrac{1}{2}=-6\) なので、\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍です。
• \(\displaystyle x\) が 1 から 3 へ 3 倍になると、\(\displaystyle y\) は −12 から −4 になります。これは \(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍です。
• 積も計算してみます。\(\displaystyle 1\times(-12)\)、\(\displaystyle 2\times(-6)\)、\(\displaystyle 3\times(-4)\) は、どれも −12 です。比例定数と同じ数になります。

【決まり】比例定数が負でも
\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍 → \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍、\(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍
\(\displaystyle xy\) は一定

1組の \(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\) から反比例の式を求める

例として、「\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に反比例し、\(\displaystyle x=2\) のとき \(\displaystyle y=-5\)」のときの式を求めます。

1. 反比例なので、まず \(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) と置きます。
2. \(\displaystyle x\) に 2、\(\displaystyle y\) に −5 を入れると、\(\displaystyle -5=\dfrac{a}{2}\) になります。
3. 両辺に 2 をかけて、\(\displaystyle a=-10\) です。
4. 式は \(\displaystyle y=-\dfrac{10}{x}\) です。

\(\displaystyle xy=a\) なので、\(\displaystyle a=xy\) を使って \(\displaystyle 2\times(-5)=-10\) と、かけ算 1 回で出すこともできます。比例のときは \(\displaystyle y \div x\) で比例定数を出しました。反比例はかけ算です。

最後に確かめます。\(\displaystyle x=2\) を入れると \(\displaystyle -\dfrac{10}{2}=-5\) になり、もとの \(\displaystyle y\) の値に戻ります。

【決まり】反比例の比例定数　\(\displaystyle a=xy\)

問1　比例定数が負の反比例の表を作る

ここからは、ここまでのことを問題で使ってみます。答えを見る前に、自分で考えてみたい人は、ノートに書いて解いてみてください。

(1) の考え方
\(\displaystyle x=-3\) なら、\(\displaystyle y=-6\div(-3)=2\) です。負の数を負の数でわると、答えは正の数になります。同じように計算すると、左から 1、2、3、6 です。\(\displaystyle x=0\) は、0 でわれないので × です。右側は −6、−3、−2、−1 になります。

(2) の考え方
\(\displaystyle x\) が 1 から 2 になると、\(\displaystyle y\) は −6 から −3 になります。\(\displaystyle (-6)\times\dfrac{1}{2}=-3\) なので、\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍です。\(\displaystyle x\) が 1 から 3 になると、\(\displaystyle y\) は −6 から −2 になるので、\(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍です。

(3) の考え方
\(\displaystyle xy\) は、\(\displaystyle (-6)\times1\) でも \(\displaystyle 2\times(-3)\) でも −6 です。比例定数と同じ数になります。

ここがいちばん迷いやすいところ
−6 と −3 を比べてみましょう。−3 のほうが大きい数です。つまり、\(\displaystyle y\) は数としては増えているのに、\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍になっています。

「反比例は減るもの」と覚えていた人は、小学校で見た例がどれも減っていたので、そう覚えたのだと思います。その覚え方は自然なものです。でも、反比例かどうかは、増えるか減るかでは決まりません。\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍・\(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍の関係や、式の形で決まります。

問2　1組の値から反比例の式を求める

(1) の考え方
反比例なので、\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) と置きます。\(\displaystyle x=-4\)、\(\displaystyle y=3\) を入れると、\(\displaystyle 3=\dfrac{a}{-4}\) です。両辺に −4 をかけて、\(\displaystyle a=-12\) になります。式は \(\displaystyle y=-\dfrac{12}{x}\) です。
\(\displaystyle a=xy\) を使って \(\displaystyle (-4)\times3=-12\) としても、同じ答えになります。

(2) の考え方
\(\displaystyle y=-\dfrac{12}{6}=-2\) です。

よくあるまちがい
比例のくせで \(\displaystyle y \div x\) をして、\(\displaystyle 3\div(-4)=-\dfrac{3}{4}\) としてしまうまちがいがよくあります。比例をしっかり練習してきた人ほど、ついわり算をしてしまいがちです。問題文に「反比例」とあったら、かけ算です。

確かめ
\(\displaystyle 6\times(-2)=-12\) で、\(\displaystyle xy\) が比例定数の −12 になっています。これで、答えが合っていると分かります。

問3　場面から式を作って見分ける

ア　三角形
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。\(\displaystyle x\times y\div2=12\) なので、\(\displaystyle xy=24\)、\(\displaystyle y=\dfrac{24}{x}\) です。反比例で、比例定数は 24 です。
「÷2」を忘れて \(\displaystyle y=\dfrac{12}{x}\) としてしまうまちがいがとても多いので、気をつけましょう。前に出てきた長方形と同じ 12 cm² なので、同じ式にしたくなりやすいのです。

イ　リボン
\(\displaystyle y=80x\) で、\(\displaystyle y=ax\) の形なので比例です。

ウ　本の残りのページ
読めば読むほど残りは減るので、反比例だと思った人もいるかもしれません。減っていくことに気づいたのは、よく見ている証拠です。でも、式は \(\displaystyle y=100-x\) で、\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形ではありません。実際に、\(\displaystyle x\) が 10 から 20 へ 2 倍になっても、\(\displaystyle y\) は 90 から 80 になるだけで、\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍にはなりません。

問1 とウを比べると

• 問1 は「増えているのに反比例」でした。
• ウは「減っているのに反比例ではない」でした。

増えるか減るかで決めずに、式を作って、その形で判断しましょう。

反比例のグラフ（双曲線）のかき方

比例のグラフは、原点を通るまっすぐな線でした。では、反比例のグラフはどんな形になるのでしょうか。\(\displaystyle y=\dfrac{6}{x}\) で点をとってみます。

点を直線で結んでいい？

\(\displaystyle x\) が 1 なら \(\displaystyle y\) は 6、2 なら 3、3 なら 2、6 なら 1 です。この 4 点を、比例のときのようにまっすぐ結んでいいのでしょうか。

となりどうしの点を点線で結んでから、その間に点を足して確かめてみます。

• \(\displaystyle x=4\) なら、\(\displaystyle y\) は 1.5 です。\(\displaystyle (3, 2)\) と \(\displaystyle (6, 1)\) を結んだ点線は、\(\displaystyle x=4\) のところで 1.5 より少し上を通ります。なので、点 \(\displaystyle (4, 1.5)\) は点線より下に来ます。
• \(\displaystyle x=1.5\) なら、\(\displaystyle y\) は 4 です。\(\displaystyle (1, 6)\) と \(\displaystyle (2, 3)\) を結んだ点線は、\(\displaystyle x=1.5\) のところで、6 と 3 のちょうど真ん中の 4.5 を通ります。点 \(\displaystyle (1.5, 4)\) も、やはり点線より下です。

点を増やすほど、点はまっすぐではなく、なめらかに曲がった線の上に並んでいきます。なので、折れ線にはしません。

\(\displaystyle x\) が負のとき

\(\displaystyle x\) が負の数のときも計算できます。\(\displaystyle (-1, -6)\)、\(\displaystyle (-2, -3)\)、\(\displaystyle (-3, -2)\)、\(\displaystyle (-6, -1)\) などです。この点をとると、左下にも同じ形の曲線ができます。

右上と左下の 2 つに分かれた曲線になりました。これを双曲線と言います。

原点は通らない・軸とは交わらない

• \(\displaystyle x=0\) には \(\displaystyle y\) の値がありません。\(\displaystyle y\) 軸の上の点は、どれも \(\displaystyle x=0\) の点なので、曲線は \(\displaystyle y\) 軸と交わりません。原点も \(\displaystyle y\) 軸の上の点なので、原点も通りません。2 つの曲線は、つなげずに離しておきます。
• \(\displaystyle x\) を 12 にすると \(\displaystyle y\) は 0.5、60 にすると 0.1 になり、曲線は \(\displaystyle x\) 軸にどんどん近づいていきます。でも \(\displaystyle xy=6\) なので、\(\displaystyle y\) がぴったり 0 になることはありません。\(\displaystyle x\) 軸の上の点は、どれも \(\displaystyle y=0\) の点なので、曲線は \(\displaystyle x\) 軸とも交わりません。

増え方・減り方は範囲を分けて言う

• \(\displaystyle x>0\) の範囲では、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は 6、3、2 と減ります。
• \(\displaystyle x<0\) の範囲でも、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減ります。
• ところが、\(\displaystyle x=-1\) で \(\displaystyle y=-6\)、\(\displaystyle x=1\) で \(\displaystyle y=6\) です。0 をまたぐと、\(\displaystyle y\) は増えています。

なので、増え方・減り方を言うときは、必ず「\(\displaystyle x>0\) の範囲で」「\(\displaystyle x<0\) の範囲で」と分けて言います。

【決まり】反比例のグラフ
・なめらかな曲線（折れ線にしない）
・2 つに分かれる＝双曲線
・原点は通らない
・軸に近づくが、交わらない

では、比例定数が負だと、グラフはどこにできるのでしょうか。問1 で作った表を使って確かめます。

問4　比例定数が負の反比例のグラフをかく

(1) の考え方
まず、表の 8 点をとります。

\(\displaystyle (4, -1.5)\) と \(\displaystyle (-4, 1.5)\) も足すと、形がつかみやすくなります。そのうえで、右下の 4 点と左上の 4 点を、それぞれなめらかな曲線でつなぎます。

\(\displaystyle y=\dfrac{6}{x}\) は右上と左下にできましたが、比例定数が負の \(\displaystyle y=-\dfrac{6}{x}\) は、左上と右下にできます。

【決まり】双曲線の位置
\(\displaystyle a>0\) のとき　右上と左下
\(\displaystyle a<0\) のとき　左上と右下

(2) の考え方
\(\displaystyle x>0\) の範囲で、\(\displaystyle x\) が 1、2、6 と増えると、\(\displaystyle y\) は −6、−3、−1 になります。\(\displaystyle y\) は増えています。グラフの右下の曲線も、右へ行くほど上がっています。

ただし、\(\displaystyle x=-1\) で \(\displaystyle y=6\)、\(\displaystyle x=1\) で \(\displaystyle y=-6\) です。0 をまたぐと、\(\displaystyle y\) は減っています。なので、増え方・減り方は、必ず「\(\displaystyle x>0\) の範囲で」と区切って言いましょう。

かくときに、ついやってしまうまちがい 3 つ

1. 点を直線で結んで、折れ線にする　→ 反比例のグラフはなめらかな曲線です。
2. 原点を通して、2 つの曲線をつなぐ　→ \(\displaystyle x=0\) には \(\displaystyle y\) がないので、原点は通りません。
3. 曲線の端を軸にくっつける　→ \(\displaystyle x=0\) には \(\displaystyle y\) がないので、曲線は \(\displaystyle y\) 軸にはくっつきません。また、\(\displaystyle x=6\) で \(\displaystyle y=-1\)、\(\displaystyle x=12\) で \(\displaystyle y=-0.5\) と、どこまでも \(\displaystyle x\) 軸に近づきますが、\(\displaystyle y\) は 0 にはならないので、\(\displaystyle x\) 軸にもくっつきません。

まとめ

• 反比例は \(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\)（\(\displaystyle xy=a\)）で表す。比例定数 \(\displaystyle a\) は負の数でもよい
• \(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 倍、\(\displaystyle \dfrac{1}{3}\) 倍になる。\(\displaystyle xy\) はいつも同じ
• 式を求めるときは \(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) に代入する（\(\displaystyle a=xy\) のかけ算でも出せる）
• 比例・反比例・どちらでもないは、増えるか減るかではなく、式の形で決める
• グラフは 2 つに分かれたなめらかな曲線（双曲線）。\(\displaystyle a>0\) なら右上と左下、\(\displaystyle a<0\) なら左上と右下
• 増え方・減り方は、\(\displaystyle x>0\) と \(\displaystyle x<0\) に分けて言う

比例と反比例を並べると、次のようになります。

「反比例は、積が一定の関係。グラフは 2 つに分かれた曲線」。この 2 つを自分の言葉で言えたら、この回の内容はしっかり身についています。

もっと練習したい人は、ページの下にあるプリントと練習問題のページで解いてみてください。

よくある質問

Q. 「片方が増えると、もう片方が減る」なら反比例ではないのですか？
A. それだけでは決められません。問3 のウ（本の残りのページ \(\displaystyle y=100-x\)）は、減っていくのに反比例ではありません。反対に、問1 の \(\displaystyle y=-\dfrac{6}{x}\) は、\(\displaystyle y\) が −6 から −3 へ増えているのに反比例です。式を作って、\(\displaystyle y=\dfrac{a}{x}\) の形になっているかどうかで判断しましょう。

Q. 反比例の比例定数は、なぜわり算ではなくかけ算で出すのですか？
A. 反比例は \(\displaystyle xy=a\)、つまり「\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の積がいつも同じ」関係だからです。\(\displaystyle a=xy\) なので、1組の \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) をかければ比例定数が出ます。\(\displaystyle y\div x\) は比例のときの出し方です。問題文に「反比例」とあったら、かけ算と覚えておきましょう。

Q. グラフの曲線は、なぜ原点を通らず、軸にもくっつかないのですか？
A. わけは 2 つあります。1 つ目は、\(\displaystyle x=0\) のときは 0 でわることになるので、\(\displaystyle y\) の値がないことです。\(\displaystyle y\) 軸の上の点はどれも \(\displaystyle x=0\) の点なので、曲線は \(\displaystyle y\) 軸にくっつきません。原点も \(\displaystyle y\) 軸の上の点なので、原点も通りません。2 つ目は、\(\displaystyle xy\) がいつも比例定数と同じ数（たとえば 6）なので、\(\displaystyle y\) がぴったり 0 になることがないことです。\(\displaystyle x\) 軸の上の点はどれも \(\displaystyle y=0\) の点なので、曲線は \(\displaystyle x\) 軸にどんどん近づきますが、\(\displaystyle x\) 軸にもくっつきません。

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