比例 y＝ax とは？ 関数・変域・比例定数が負の数のときを中1向けに解説

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 「\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) の関数である」とはどういうことか。関数かどうかの見分け方
• 変域（\(\displaystyle x\) がとる値の範囲）を、\(\displaystyle ≦\)・\(\displaystyle ≧\)・\(\displaystyle ＜\)・\(\displaystyle ＞\) を使って書く方法
• 比例定数が負の数でも比例になるわけと、表・1 組の値・身の回りの場面から比例の式を作る方法

小学校で習った比例を思い出そう

比例は小学校でも習いました。「片方が増えると、もう片方も増える関係」と覚えている人も多いと思います。まず、小6 の例で確かめてみましょう。

1 本 60 円の鉛筆を \(\displaystyle x\) 本買ったときの代金を \(\displaystyle y\) 円とします。

\(\displaystyle x\) が 1 から 2 へ 2 倍になると、\(\displaystyle y\) も 60 から 120 へ 2 倍になります。\(\displaystyle x\) が 1 から 3 へ 3 倍になると、\(\displaystyle y\) も 60 から 180 へ 3 倍です。

\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると、\(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍になる。 これが小6 で習った比例でした。式で書くと \(\displaystyle y=60×x\) です。

中学では、この比例を新しい言葉で言い直します。それから、負の数まで広げていきます。最初に出てくる言葉は「関数」です。

「関数」とは？ 見るのは 1 つだけ

「関数」は、名前を聞いただけでは何を見ればいいのか分かりにくい言葉です。でも、見ることは 1 つだけです。

【決まり】関数
\(\displaystyle x\) の値を 1 つ決めると、\(\displaystyle y\) の値がただ 1 つに決まるとき、「\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) の関数である」という。

鉛筆の例：本数を 4 本と決めると、代金は 240 円の 1 つに決まります。だから、代金は本数の関数です。

体育館の例：体育館に 10 人来たとします。その中でめがねをかけている人は何人でしょう。2 人かもしれないし、3 人や 5 人かもしれません。人数とめがねの人の数には、関係がありそうに見えます。でも、10 人と決めても 1 つに決まらないので、関数ではありません。

この図の上の段は、\(\displaystyle x=4\)（本）から矢印が 1 本だけ出て、\(\displaystyle y=240\)（円）に届く様子です（1 つに決まる）。下の段は、\(\displaystyle x=10\)（人）から矢印が何本も出て、2、3、5…に分かれる様子です（1 つに決まらない）。

見るのは「関係がありそうか」ではありません。「\(\displaystyle x\) を決めたら \(\displaystyle y\) が 1 つに決まるか」 です。

問1　関数かどうかを選ぶ

この見方を使ってみましょう。

ウの長方形は、縦が \(\displaystyle x\) cm、横が \(\displaystyle y\) cm で、周の長さが 20 cm です。迷ったら、\(\displaystyle x\) に数を 1 つ入れてみると考えやすくなります。

1 つずつ見ていきます。

• ア：本数を決めれば、代金は \(\displaystyle y=60x\) で 1 つに決まります。関数です。
• イ：背が高いほど重そう、と感じて選びたくなるかもしれません。その感覚は自然です。でも、身長が同じ 150 cm の人を何人か集めても、体重はいろいろです。\(\displaystyle x\) を決めても \(\displaystyle y\) が 1 つに決まらないので、関数ではありません。
• ウ：周が 20 cm なので、縦と横をたすと、その半分の 10 cm です。縦を 3 cm に決めれば、横は 7 cm に決まります。式は \(\displaystyle y=10−x\) で、関数です。
• エ：絶対値が 3 の数を考えると、3 と −3 の 2 つがあります。1 つの \(\displaystyle x\) に \(\displaystyle y\) が 2 つあるので、関数ではありません。

左はウの長方形に縦 3 cm・横 7 cm を書き入れた図です（\(\displaystyle 3+7=10\) が周の半分）。右はエの図で、\(\displaystyle x=3\) から 3 と −3 の 2 つに矢印が出ています。

【注意】関数でも比例とはかぎらない
ウは関数ですが、比例ではありません。縦を 2 cm から 4 cm へ 2 倍にしても、横は 8 cm から 6 cm になって、2 倍にはならないからです。比例は、関数の中の 1 つの種類です。

変数と変域　範囲を不等号で書く

鉛筆の \(\displaystyle x\) には、1 本、2 本、3 本…と、いろいろな値が入りました。

• 変数：いろいろな値をとる文字（\(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\) など）
• 変域：変数のとりうる値の範囲

たとえば問1 のウの長方形の縦は、0 cm より大きく、10 cm より小さい長さしかとれません。これが変域です。

範囲は不等号で書きます。大小を比べる \(\displaystyle ＜\) と \(\displaystyle ＞\) は、正負の数で習いました。ここでは、その数もふくむことを表す \(\displaystyle ≦\) と \(\displaystyle ≧\) も使います。ポイントは、端の数をふくむかどうか です。

「以上」「以下」はその数をふくむので、\(\displaystyle ≧\) や \(\displaystyle ≦\) を使い、数直線では ● でかきます。「より大きい」「未満」はふくまないので、\(\displaystyle ＞\) や \(\displaystyle ＜\) を使い、○ でかきます。「未満」は「より小さい」と同じ意味です。

端が 2 つあるときは、小さい数を左に書いて、\(\displaystyle x\) を間にはさみます。「−1 以上 4 未満」なら \(\displaystyle −1≦x<4\) です。数直線では、−1 はふくむので ●、4 はふくまないので ○ になります。

上の 4 本は、3 の所が ● か ○ か、太線が右へのびるか左へのびるかを比べた数直線です。いちばん下は \(\displaystyle −1≦x<4\) で、−1 が ●、4 が ○、その間が太線です。

問2　変域を不等号で書く・言葉で読む

(1) は「以上」がふくむので \(\displaystyle ≦\)、「未満」がふくまないので \(\displaystyle ＜\) です。数直線では、−2 が ●、5 が ○ になります。

「以上なのに、\(\displaystyle ≧\) じゃないの？」と思った人もいるかもしれません。「以上は \(\displaystyle ≧\)」という覚え方自体は合っています。ただ、ここは端が 2 つあって、\(\displaystyle x\) を真ん中にはさむ形です。小さい数を左に書くので、記号は \(\displaystyle ≦\) か \(\displaystyle ＜\) になります。端が 1 つなら、3 以上は \(\displaystyle x≧3\) です。

(2) は、0 の所が \(\displaystyle ＜\) なので、0 はふくまずに「0 より大きい」。8 の所は \(\displaystyle ≦\) なので「8 以下」です。合わせて「\(\displaystyle x\) は 0 より大きく 8 以下」になります。

比例の式 \(\displaystyle y=ax\) と比例定数

ここから比例の話に戻ります。鉛筆の式 \(\displaystyle y=60×x\) は、中学では \(\displaystyle ×\) をはぶいて \(\displaystyle y=60x\) と書きます。

【決まり】比例
\(\displaystyle y\) が \(\displaystyle x\) の関数で、\(\displaystyle y=ax\) と表されるとき、「\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に比例する」という。
\(\displaystyle a\) は変わらない決まった数（定数）で、比例定数という。

\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) は、いろいろな値をとる変数でした。一方の \(\displaystyle a\) は、\(\displaystyle x\) の値が変わっても変わらない、決まった数です。このような数を 定数 といいます。

鉛筆なら、\(\displaystyle x\) が 1 本でも 5 本でも 60 は変わりません。比例定数は 60 です。60 は \(\displaystyle x\) が 1 のときの \(\displaystyle y\) の値なので、1 本あたりの値段を表しています。

そして中学では、\(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も比例定数 \(\displaystyle a\) も、負の数でかまいません。

でも、比例は「増えると増えるもの」だったはずです。\(\displaystyle a\) が負の数だと、どうなるのでしょう。

比例定数が負の数のとき　\(\displaystyle y\) が減っても比例？

\(\displaystyle y=−3x\) で調べてみます。\(\displaystyle x\) に −2 から 3 までを入れると、次のようになります。たとえば \(\displaystyle x=−2\) なら、\(\displaystyle (−3)×(−2)=6\) です。

表を左から右へ見ると、\(\displaystyle x\) は増えているのに、\(\displaystyle y\) は 6、3、0、−3…と減っています。これでも比例と言えるでしょうか。

2 倍、3 倍を確かめる
\(\displaystyle x\) が 1 から 2 へ 2 倍になると、\(\displaystyle y\) は −3 から −6 になります。\(\displaystyle (−3)×2=−6\) なので、\(\displaystyle y\) も 2 倍です。\(\displaystyle x\) が 1 から 3 へ 3 倍になると、\(\displaystyle y\) は −3 から −9 で、これも 3 倍です。

ここで「−2 倍」と言いたくなる人も多いと思います。でも、2 倍とは 2 をかけることです。−3 が −6 になるのは、ふつうの 2 倍です。

\(\displaystyle y÷x\) を確かめる
\(\displaystyle y\) を \(\displaystyle x\) でわってみます。\(\displaystyle 6÷(−2)=−3\)、\(\displaystyle (−6)÷2=−3\) です。どの組でも −3 になり、比例定数と同じです。ただし、\(\displaystyle x=0\) の組は、0 ではわれないので計算しません。

【決まり】比例定数が負でも
\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると、\(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍になる。
\(\displaystyle y÷x\) は一定で、その値が比例定数。

【注意】

• −3 が −6 になるのは 2 倍です。「−2 倍」とは言いません。
• 「\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増える」は、比例かどうかを決める条件ではありません。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) が減るのは、比例定数が負だからです。

問3　表から負の比例を見抜く

(1)〜(3) のうち、どれから手をつけると楽でしょうか。

実は、先に (3) から見ると楽 です。\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の両方が分かっている組を使います。

• \(\displaystyle x=−1\)、\(\displaystyle y=2\) なので、\(\displaystyle 2÷(−1)=−2\)
• \(\displaystyle x=2\)、\(\displaystyle y=−4\) でも、\(\displaystyle (−4)÷2=−2\)

(3) の答えは −2 です。\(\displaystyle x=0\) の列は、0 ではわれないので使いません。

比例定数が −2 と分かったので、式は \(\displaystyle y=−2x\) です。式があれば (1) が出せます。

• ア：\(\displaystyle (−2)×(−2)=4\)
• イ：\(\displaystyle (−2)×1=−2\)
• ウ：\(\displaystyle (−2)×4=−8\)

(2) は、\(\displaystyle x\) が 1 から 2 になると、\(\displaystyle y\) は −2 から −4 になります。−2 に 2 をかけると −4 なので、2 倍です。\(\displaystyle x\) が 1 から 4 になると、\(\displaystyle y\) は −2 から −8 で、4 倍です。答えは「2 倍、3 倍…になる」です。

「\(\displaystyle y\) が減っているから比例ではない」と考えた人や、「−2 倍になる」と書いた人もいるかもしれません。小6 の比例をしっかり覚えていたからこそ出てくる答えです。そういう人は、前の \(\displaystyle y=−3x\) の表を思い出してください。2 倍とは、2 をかけることでした。

1 組の値から比例の式を求める

問3 では、表から \(\displaystyle y÷x\) で比例定数を出しました。では、「\(\displaystyle x=2\) のとき \(\displaystyle y=−8\)」のように、1 組しか分からないときはどうすればいいでしょう。

比例だと分かっていれば、式は \(\displaystyle y=ax\) の形です。分からないのは \(\displaystyle a\) だけなので、\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) に数を代入します。

• \(\displaystyle −8=a×2\)、つまり \(\displaystyle 2a=−8\)
• これは一次方程式なので、両辺を 2 でわって \(\displaystyle a=−4\)
• 式は \(\displaystyle y=−4x\)

【決まり】
\(\displaystyle y=ax\) に \(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\) を代入して、\(\displaystyle a\) の方程式を解く。
（\(\displaystyle a=y÷x\) でもよい。\(\displaystyle y\) を \(\displaystyle x\) でわる）

\(\displaystyle y÷x\) で計算しても、\(\displaystyle (−8)÷2=−4\) で同じになります。わるときは、\(\displaystyle y\) を \(\displaystyle x\) でわります。

最後に、\(\displaystyle x=2\) を入れて \(\displaystyle y=−8\) に戻るか確かめておくと安心です。

問4　1 組の値から式を作る

比例なので、\(\displaystyle y=ax\) と置きます。\(\displaystyle x=−4\)、\(\displaystyle y=10\) を代入すると、\(\displaystyle 10=a×(−4)\)、つまり \(\displaystyle −4a=10\) です。両辺を −4 でわると、\(\displaystyle a\) はマイナス 4 分の 10、約分してマイナス 2 分の 5 です。

式は「\(\displaystyle y\) イコール マイナス 2 分の 5 \(\displaystyle x\)」です。マイナスは分数の前に書きます。

(2) は \(\displaystyle x=6\) を入れて、マイナス 2 分の 5 に 6 をかけて −15 です。

\(\displaystyle y÷x\) で出した人は、\(\displaystyle 10÷(−4)\) でマイナス 2 分の 5 です。同じ答えになっていれば大丈夫です。

まちがえやすい所が 2 つあります。

1. \(\displaystyle x÷y\) と逆にわって、マイナス 10 分の 4、つまりマイナス 5 分の 2 にしてしまう。
2. マイナスを付け忘れて、2 分の 5 にしてしまう。

どちらも、解き方の流れはつかめている人に起きやすいミスです。そして、どちらも確かめで見つけられます。求めた式に \(\displaystyle x=−4\) を入れると、マイナス 2 分の 5 に −4 をかけて 10。もとの \(\displaystyle y=10\) に戻るので、合っています。もしマイナス 5 分の 2 だったら、−4 をかけても 5 分の 8 になり、10 には戻りません。

問5　場面の中の負の数を読む

最後は、場面から式を作ります。

正負の数では、反対の向きの量を\(\displaystyle ＋\)と\(\displaystyle −\)で表しました。東へ 3 km を＋3 km とすると、西へ 3 km は −3 km です。場面の中で負の数が出てきたら、それは何かの反対を表しています。

(1) 式と比例定数
水面は 1 分後に 2 cm 下がるので −2 cm、2 分後は −4 cm、3 分後は −6 cm です。\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に −2 をかけた数なので、\(\displaystyle y=−2x\)、比例定数は −2 です。

比例定数は、\(\displaystyle x\) が 1 のときの \(\displaystyle y\) でした。ですから −2 は「1 分あたり、高さが −2 cm 変わる」、つまり 1 分に 2 cm 下がること を表しています。マイナスを付け忘れて \(\displaystyle y=2x\) にすると、水面が上がる水そうの式になってしまいます。

(2) \(\displaystyle x=−3\) の意味
\(\displaystyle x\) は「今から何分後か」でした。「後」の反対は「前」なので、\(\displaystyle x=−3\) は 「今から 3 分前」 です。\(\displaystyle y=−2×(−3)=6\) になります。

では、この 6 は何を表しているのでしょう。ここが今回いちばん考えこむ所です。

\(\displaystyle y\) は、今の水面を 0 としたときの、その時の水面の高さでした。つまり、今より何 cm 高いか（\(\displaystyle ＋\)）、低いか（\(\displaystyle −\)）を表します。だから \(\displaystyle y=6\) は「3 分前に 6 cm 上がった」という意味ではありません。「3 分前の水面は、今より 6 cm 高い所にあった」 という意味です。

水そうの図では、上から「3 分前　＋6 cm」「今　0」「1 分後　−2 cm」「2 分後　−4 cm」「3 分後　−6 cm」と水面の線が並びます。

「3 分前から今までに 6 cm 下がったのだから −6」と考えた人もいるでしょう。水の動きはちゃんと追えています。ただ、6 cm 下がったのは、3 分前から今までの動きです。\(\displaystyle y\) は今を 0 として 3 分前の位置を表すので、＋6 になります。

確かめ：水面はずっと下がり続けているので、前のほうが高かったはずです。\(\displaystyle y\) が正（今より高い）で、場面と合っています。

まとめ

• \(\displaystyle x\) を 1 つ決めて \(\displaystyle y\) が 1 つに決まれば、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) の関数
• 変域は不等号で書く。ふくむときは \(\displaystyle ≧\)・\(\displaystyle ≦\)、ふくまないときは \(\displaystyle ＞\)・\(\displaystyle ＜\)（端が 2 つで \(\displaystyle x\) をはさむ形なら \(\displaystyle ≦\)・\(\displaystyle ＜\)）
• 比例は \(\displaystyle y=ax\)。比例定数 \(\displaystyle a\) は負の数でもよい
• \(\displaystyle a\) が負でも、\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍なら \(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍。\(\displaystyle y÷x\) は \(\displaystyle a\)（\(\displaystyle x=0\) の組ではわらない）
• 1 組の \(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\) を \(\displaystyle y=ax\) に代入すれば、式が求まる
• 場面の中の負の数は、反対の向き（「後」に対する「前」など）を表す

あやふやな所があったら、その見出しに戻って読み直してください。次の回では、この比例をグラフにします。

よくある質問

Q. \(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) が減るのに、比例と言えるのですか？
A. 言えます。比例かどうかは「\(\displaystyle y=ax\) の形で表されるか」で決まります。「増えると増える」は条件ではありません。\(\displaystyle y=−3x\) でも、\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると \(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍になり、\(\displaystyle y÷x\) はいつも −3 です。\(\displaystyle y\) が減るのは、比例定数が負だからです。

Q. 関数と比例は同じものですか？
A. 同じではありません。比例は関数の中の 1 つの種類です。たとえば、周の長さが 20 cm の長方形の縦 \(\displaystyle x\) cm と横 \(\displaystyle y\) cm（\(\displaystyle y=10−x\)）は関数ですが、縦を 2 倍にしても横は 2 倍にならないので、比例ではありません。

Q. 比例定数を求めるとき、\(\displaystyle y÷x\) と \(\displaystyle x÷y\) のどちらですか？
A. \(\displaystyle y÷x\) です。\(\displaystyle y\) を \(\displaystyle x\) でわります。迷ったら、\(\displaystyle y=ax\) に \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) を代入して、\(\displaystyle a\) の方程式を解いてもかまいません。求めた式に \(\displaystyle x\) を入れて、もとの \(\displaystyle y\) に戻るか確かめると、逆にわるミスやマイナスの付け忘れに気づけます。

この単元の授業

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