中2数学｜式の計算（多項式の加減乗）【Step 2】

中2 数学｜式の計算（多項式の加減乗）｜Step 2

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

多項式の計算でどこが難しいか、実はつまずきポイントは決まっています。

学習マップ

この単元の位置づけです。

多項式の計算 入試基礎演習
例: 3A-2B=4x+3y のような計算をサクサク解けるようにする

計算の4つの基本ツール

栞先生

9問に入る前に、よく忘れられる計算ルールをおさらいしておきましょう。

• ④分数を含む式は分母の最小公倍数で通分してから計算する
• 今日はこの4つの道具を使って入試基礎レベルの問題を解いていくよ

①同類項をまとめる（文字部分が同じ項の係数を足し引き）②分配法則でかっこを外す（前の符号で中の符号がすべて変わる）③単項式の積・商（指数は足し引き、係数は掛け割り）④分数式は分母の最小公倍数で通分してから計算する。あいまいなものはStep1の記事で先に確認してください。

練習問題1：式の代入と加減

栞先生

−2Bのかっこを外すとき、符号の変わり方が合っているかがポイントです。

【確認問題①】
A = 2x – y, B = x – 3y のとき、3A – 2B を計算すると アx + イy となる。ア・イに当てはまる数を答えなさい。

【問題】A=2x−y、B=x−3yのとき、3A−2Bを計算してください。　【答え】4x+3y。3A=6x−3y、−2B=−2x+6yと展開し、同類項をまとめます。

練習問題2：分数式の加減

栞先生

通分した後に引く側の分子のかっこを付け忘れると、符号ミスが起きます。

【確認問題②】次の計算をしなさい。
$\frac{\mathrm{3x-y}}{4}$ – $\frac{\mathrm{x-2y}}{3}$ = $\frac{\mathrm{アx+イy}}{\mathrm{ウ}}$
ア・イ・ウに当てはまる数を答えなさい。

【問題】(3x−y)/4 − (x−2y)/3 を計算してください。　【答え】(5x+5y)/12。公分母12で通分し、引く側の分子(x−2y)を必ずかっこでくくってから4倍して展開します。

練習問題3：累乗を含む乗除混合

栞先生

累乗と乗除が混在する計算では、どの順番で処理するかが迷いやすいポイントです。

【確認問題③】次の計算をしなさい。
(-2ab)² × 3a²b ÷ 6ab² = アa^イb
ア・イに当てはまる数を答えなさい。

【問題】(−2ab)² × 3a²b ÷ 6ab² を計算してください。　【答え】2a³b。まず(−2ab)²=4a²b²に展開し、3a²bを掛けて12a⁴b³、最後に6ab²で割ります。

練習問題4：多項式÷単項式

栞先生

多項式を単項式で割るとき、どこから手をつければよいか迷いますよね。

【確認問題④】次の計算をしなさい。
(6x²y – 4xy² + 2xy) ÷ 2xy = アx – イy + ウ
ア・イ・ウに当てはまる数を答えなさい。

【問題】(6x²y − 4xy² + 2xy) ÷ 2xy を計算してください。　【答え】3x−2y+1。各項を2xyで個別に割ると3x、−2y、1となります。定数項の1を落とさないよう注意してください。

練習問題5：式の値

栞先生

式の値を求めるとき、いきなり代入しようとしていませんか？

【確認問題⑤】
x = -2 のとき、2(x² + 3x) + 3(x² – x) – 4x の値を求めなさい。

【問題】x=−2のとき、2(x²+3x)+3(x²−x)−4xの値を求めてください。　【答え】22。先に整理して5x²−xとし、x=−2を代入（負の数には必ずかっこを付ける）。5×(−2)²−(−2)=20+2=22。

等式変形の手順

栞先生

分数や文字が混じった等式も、手順を守れば機械的に変形できます。

• ①両辺に同じ数をかけて分数を消す
• ②かっこをはずして整理する
• ③目的の文字を含む項だけ残るように移項する
• ④目的の文字=~の形にする

注意: 一段階ずつ、両辺に同じ操作をすると符号ミスを防げる

①両辺に同じ数を掛けて分数を消す②かっこを外して整理する③目的の文字を含む項を左辺に移項する④「目的の文字＝〜」の形にまとめる。両辺に同じ操作を1ステップずつ行うことで符号ミスを防げます。

練習問題6：等式変形

栞先生

台形の面積公式をaについて解く問題で、等式変形の型を確認しましょう。

【確認問題⑥】
上底 a cm、下底 b cm、高さ h cm の台形の面積を S cm² とすると、S = $\frac{1}{2}$(a+b)h が成り立つ。この等式を a について解くと a = $\frac{\mathrm{アS}}{\mathrm{h}}$ – イ となる。ア・イに当てはまる数や文字を答えなさい。

【問題】S=½(a+b)hをaについて解いてください。　【答え】a=2S/h−b。両辺を2倍して2S=(a+b)h、hで割って2S/h=a+b、bを移項します。

よくある計算ミス3選

栞先生

どの問題でも同じパターンのミスが繰り返されやすいため、まとめて確認します。

①−2Bのかっこ外しで先頭の符号だけ変える→かっこ内の全項の符号を変える　②x³×x²の指数を掛けてx⁶とする→指数は足してx⁵　③通分後の引く側の分子をかっこなしで展開する→引く側は必ずかっこでくくってから展開する

図形と文字式の考え方

栞先生

複合図形を見たとき、どこから面積を求めればいいか迷いますよね。

• ①図形をパーツに分ける(長方形・半円など)
• ②各パーツの面積を文字式で表す
• ③パーツの式をたす(または全体からひく)

①図形を面積が求められるパーツ（長方形・半円など）に分解する②各パーツの面積を文字式で表す③パーツの式を合計する（または全体から引く）。この3ステップで複合図形に対応できます。

練習問題7：複合図形の面積

栞先生

長方形と半円が合体した図形の面積は、どう求めればいいでしょうか？

【確認問題⑦】
縦 a cm、横 b cm（ただし b > 2a）の長方形があり、その上の辺の上に、直径 2a cm（半径 a cm）の半円をぴったり乗せた図形をつくる。この図形全体の面積は ab + a^ア{イ} (cm²) と表せる。ア・イに当てはまる数を答えなさい。

【問題】縦a cm、横b cmの長方形の上辺に半径a cmの半円を乗せた図形の面積を求めてください。　【答え】ab+πa²/2。長方形の面積abと半円の面積πa²/2を合計します。

文字式による証明の手順

栞先生

証明問題は「何を文字で置くか」が最初の関門です。

• ①文字で置く(連続する数・位取りなど)
• ②文字式で立式する
• ③式を変形する
• ④○○の倍数/性質が言えると結論づける

注意: 百の位a・十の位b・一の位cの3けたの数は abc ではなく 100a+10b+c と表す

①証明したい数を文字で置く（3桁の数→100a+10b+c、連続する偶数→2n, 2n+2, …）②文字式で立式する③式を変形する④「○の倍数」などの結論を導く。この4ステップを身につけると、初見の証明問題にも対応できます。

練習問題8：3桁の数の証明

栞先生

百の位と一の位を入れかえると不思議と99の倍数になる。その理由が文字式で説明できますか？

ここに注目: 入れかえた数=100ア+10b+イ、差=99(ウ)

【問題】百の位a、十の位b、一の位c（a>c）の3桁の数で、百の位と一の位を入れかえた数との差が99の倍数であることを証明してください。　【答え】差＝(100a+10b+c)−(100c+10b+a)=99a−99c=99(a−c)。a−cは正の整数なので99の倍数。

練習問題9：連続する偶数の証明

栞先生

連続する偶数の和が常に6の倍数になる理由を、文字nで説明できますか？

ここに注目: 6n+6 をどう因数分解する?

【問題】連続する3つの偶数の和が6の倍数であることを証明してください。　【答え】2n+(2n+2)+(2n+4)=6n+6=6(n+1)。n+1は整数なので和は6の倍数。

まとめ：5分野の演習ポイント

栞先生

計算の手順はパターンで覚えると、問題が変わっても同じ流れで対処できます。

多項式の加減・単項式の乗除・式の値・等式変形・文字式の証明――今日はこの5つを演習した

• 加減: 同類項をまとめる(分数は通分してから)
• 乗除: 指数は足す/引く、乗除混合は左から順に
• 式の値: 先に整理してから代入する
• 等式変形・文字式の証明: 型どおり一段階ずつ
• 自己点検: 冒頭の3A-2Bのような計算を自分の言葉で説明できたら今日はOK

①加減は同類項をまとめ、分数は通分してから②乗除は指数を足し引き、乗除混合は左から順に③式の値は先に整理してから代入④等式変形・証明は型どおり1ステップずつ進める。3A−2Bのような式を自力で計算できれば目標達成です。次の単元（展開・因数分解）の記事にも挑戦してみてください。

よくある質問

分数の計算で引く側の分子をかっこでくくる必要があるのはなぜですか？

引く分数全体のマイナス符号を分子の全項に適用するためです。かっこがないと先頭の項の符号しか変わらず、符号ミスにつながります。

式の値を求めるとき、先に式を整理してから代入するのはなぜですか？

複雑な式のまま代入すると計算量が増えてミスが起きやすいためです。同類項をまとめて式を簡単にしてから代入すると、効率よく正確に計算できます。

3桁の数を文字式で表すとき「abc」ではなく「100a+10b+c」と書くのはなぜですか？

文字を並べて書くと積（a×b×c）を意味してしまうためです。各位には位取りの重みがあるため、百の位は100倍、十の位は10倍して足す形で表します。

この単元の授業

• Step 2（この記事）

栞先生

続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）

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