【社会 中学3年 #1】現代社会 練習問題（ステップ1c）
栞先生 しおりアカデミー
【数学 中学3年 #1】多項式の展開と因数分解 練習問題（ステップ2）
栞先生
多項式の展開と因数分解 練習問題
数学 中学3年 ステップ2｜全12問
多項式の因数分解について、公式の使い分けから計算や証明への活用まで練習できるページです。正直、形を見分けるところは少し迷いやすいので、答えだけでなく途中の式も書きながら進めてみてください。動画で考え方を確認したあとに取り組んだり、間違えた問題だけ解き直したり、自分に合う使い方で大丈夫です。
📺 解けなかったら、この単元の授業動画で復習しよう。
基本の因数分解
まず式全体に共通因数がないかを確かめ、そのあとに定数項や中間項の形を見ます。因数分解した式を展開して元に戻るか確認すると、符号の間違いにも気づきやすくなります。
次の式を因数分解しなさい。
4a²+6aを因数分解しなさい
問1。
＝ ______
x²−49を因数分解しなさい
問2。
＝ ______
x²−10x+25を因数分解しなさい
問3。
＝ ______
x²+11x+18を因数分解しなさい
問4。
＝ ______
組み合わせて因数分解
4つの項を2項ずつに分け、各組をくくったときに同じかっこが現れる組み合わせを探します。最初の分け方でそろわないときは、別の組み合わせも試してみましょう。
項の組み合わせを考えて、次の式を因数分解しなさい。
mn+4m+3n+12を因数分解し、mを含む因数を先に書きなさい
問5。
＝ ______
係数から定数を求める
かっこのある式を丁寧に展開し、同じ次数の項どうしの係数を比べます。完全平方式では、中間項の係数と定数項のつながりに注目してください。
展開した式の係数を比べて、空欄に当てはまる数を求めなさい。
問6(x+p)(x−4)=x²−10x+qが成り立つとき、p=①、q=②です。①、②に当てはまる数を書きなさい。
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完全平方式になるように、空欄に当てはまる数を求めなさい。
問7x²+14x+kが完全平方式になるとき、k=①です。①に当てはまる数を書きなさい。
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因数分解の活用
すぐに数値を計算せず、平方の差として表せないかを先に考えます。積の形に直してから計算や代入をすると、見通しよく進められる場合があります。
平方の差を利用して、次の計算を工夫しなさい。
問819.7×20.3を平方の差を利用して工夫して計算すると、答えは①です。①に当てはまる数を書きなさい。
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先に因数分解してから値を代入しなさい。
問9x=68、y=32のとき、x²-y²の値を先に因数分解してから求めると、答えは①です。①に当てはまる数を書きなさい。
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誤りを直す
答えを直すだけでなく、どの符号や公式の使い方に誤りがあるのかを説明します。因数分解した式を展開し、もとの式と比べる方法も使ってみてください。
因数分解の誤りを見つけ、正しい式と理由を書きなさい。
問10x²−12x+36=(x+6)²という因数分解には誤りがあります。正しい因数分解に直し、誤りの理由を書きなさい。
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文字式で証明する
数量を文字式で表し、式を整理して、何と整数の積になっているかを示します。最後に、その積の形からいえる性質を言葉で書くところまでが証明です。
文字式を使って、次の性質を証明しなさい。
問11十の位がa、一の位がbである2桁の自然数と、その数の十の位と一の位を入れ替えた数との和は、11の倍数になります。このことを文字式で表し、因数分解して証明しなさい。
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計算方法を説明する
使った因数分解の公式、変形した式、計算しやすくなる理由を順につなげて書きます。計算結果だけでなく、もとの方法と比べて何が変わったのかも説明しましょう。
因数分解を利用した計算方法と、そのよさを説明しなさい。
問12x=1001、y=999のとき、x²-y²は、xとyをそのまま代入してそれぞれ2乗するより、先に因数分解してから代入すると計算しやすくなります。平方の差の利用に触れ、式を示して理由を説明しなさい。
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解答・解説
問12a(2a+3)
4a²と6aに共通する因数2aをくくり出すと、2a(2a+3)となります。
問2(x+7)(x−7)
49は7²なので、平方の差を使うと(x+7)(x−7)となります。
問3(x−5)²
25=5²で、中間項−10xは−2×5×xです。したがって、(x−5)²となります。
問4(x+2)(x+9)
和が11、積が18になる2つの整数は2と9です。したがって、(x+2)(x+9)となります。
問5(m+3)(n+4)
mn+4mと3n+12をそれぞれくくると、m(n+4)+3(n+4)です。共通する(n+4)をさらにくくると、(m+3)(n+4)となります。
問6①＝−6、②＝24
左辺を展開するとx²+(p−4)x−4pです。p−4=−10からp=−6となり、q=−4p=24です。
問7①＝49
14は2×7なので、x²+14x+kが(x+7)²になるにはk=7²=49です。
問8①＝399.91
19.7×20.3=(20−0.3)(20+0.3)=20²−0.3²です。400−0.09=399.91となります。
問9①＝3600
x²-y²=(x+y)(x-y)と因数分解できます。x+y=100、x−y=36なので、値は100×36=3600です。
問10正しくはx²−12x+36=(x−6)²である。中間項が−12xなので、かっこの中の符号は負になる。また、(x+6)²を展開するとx²+12x+36となる。
完全平方式では、中間項の符号とかっこの中の符号が対応します。展開して元の式に戻るか確かめると、符号の誤りを見つけられます。
問11もとの数は10a+b、位を入れ替えた数は10b+aと表せる。その和は、(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)となる。a+bは整数なので、11(a+b)は11の倍数である。
2つの数の和を整理すると11a+11bとなり、共通因数11をくくり出せます。11と整数a+bの積になることが、11の倍数である根拠です。
問12x²-y²=(x+y)(x-y)と因数分解してから代入すると、(1001+999)(1001−999)=2000×2=4000となる。大きな数をそれぞれ2乗する計算が、和と差を求めてかける計算に変わるため、計算しやすい。
平方の差を使うと、2つの大きな平方を別々に求める必要がありません。この場合は差が2になるため、2000×2という計算にまとめられます。
しおりアカデミー｜数学 中学3年 ステップ2
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