【社会 中学3年 #1】現代社会 練習問題（ステップ1c）
栞先生 しおりアカデミー
中3数学｜多項式の展開と因数分解【Step 2】
栞先生
中3 数学｜多項式の展開と因数分解｜Step 2
この記事でわかること
- 因数分解は、共通因数を確認してから式の形で公式を選びます。
- 平方の差を使うと、面積や小数の計算を短くできます。
- 倍数の証明では、示したい数と整数の積まで変形します。
※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。
栞先生
\(\displaystyle 3x^2+6x=3x(x+2)\)は共通因数、\(\displaystyle x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)は積和型です。
学習マップ
この単元の位置づけです。
式が少し変わるだけで、どの形を使うか見分けにくくなるところ。
104²−96²=(104+96)(104−96)=1600
因数分解の形を選び、計算や証明までつなげる練習。形が見えると、長い計算を短くできる。
文字と式（中1）
↓
式の計算（多項式の加減乗）（中2）
↓
多項式の展開と因数分解（中3）
↓
平方根（中3）
↓
二次方程式（中3）
↓
展開と因数分解（高1）
基本4パターンを即答
栞先生
\(\displaystyle 3x^2+6x=3x(x+2)\)は共通因数、\(\displaystyle x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)は積和型です。
| 見分ける形 | 1発の因数分解（積の因数） | 使える範囲 |
|---|---|---|
| 全項に共通因数 | 3x²+6x=3x(x+2) | 1以外の共通因数がある |
| 乗法公式を展開と逆向きに使う積和型 | x²+7x+12=(x+3)(x+4) | x²の係数が1。和と積を両方確認 |
| 完全平方式 | x²+6x+9=(x+3)² | 両端がx²とa²、中央が±2ax |
| 平方の差 | x²−16=(x+4)(x−4) | 2乗−2乗。和には使わない |
\(\displaystyle x^2+6x+9=(x+3)^2\)、\(\displaystyle x^2-16=(x+4)(x-4)\)です。後者は平方の和には使えません。
例題：完全平方を逆算
栞先生
\(\displaystyle 25=5^2\)より候補は\(\displaystyle (x+5)^2\)と\(\displaystyle (x-5)^2\)です。展開すると\(\displaystyle k=10\)または\(\displaystyle -10\)です。
x²+kx+25が完全平方式になるk
1. 25=5² （定数項から数を決める）
↓
2. (x+5)² または (x−5)² を考える （中央の符号は2通り）
↓
3. (x+5)²=x²+10x+25 （和の平方）
↓
4. (x−5)²=x²−10x+25 （差の平方）
↓
5. k=10 または k=−10 （両方を答える）
確認問題①
栞先生
\(\displaystyle x^2+kx+16\)が完全平方式になるような\(\displaystyle k\)をすべて求めます。次の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle 16=\text{①}^2\)なので、\(\displaystyle x^2+kx+16=(x+\text{①})^2\)または\(\displaystyle (x-\text{①})^2\)となり、\(\displaystyle k=\text{②}\)または\(\displaystyle k=\text{③}\)。
x²+kx+16が完全平方式になるようなkをすべて求めます。次の空欄を埋めなさい。16=①²なので、x²+kx+16=(x+①)²または(x-①)²となり、k=②またはk=③
確認問題①の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle 4\)、②\(\displaystyle 8\)、③\(\displaystyle -8\)です。
定数項から逆算
1. 16=4² （①）
↓
2. (x+4)²=x²+8x+16 （和の平方）
↓
3. (x−4)²=x²−8x+16 （差の平方）
↓
4. 答え ①4 ②8 ③−8 （kは2通り）
4項は組を作る
栞先生
\(\displaystyle xy+4x+2y+8=x(y+4)+2(y+4)=(x+2)(y+4)\)です。2組から同じかっこを作れる場合に使います。組の見分けは正直、迷いやすいところです。
グループ化による因数分解：4つの項を2項ずつ2組に分け、各組を共通因数でくくり、共通のかっこでさらにくくって因数分解する方法
xy+4x+2y+8
1. (xy+4x)+(2y+8) （2項ずつ組にする）
↓
2. x(y+4)+2(y+4) （各組をくくる）
↓
3. (x+2)(y+4) （共通のかっこでくくる）
4項で共通のかっこを作れる組があるときに使う。組にしても同じかっこが現れない式には、この方法をそのまま使えない。
確認問題②
栞先生
\(\displaystyle xy+2x+3y+6\)を因数分解します。どの2項ずつを組にするか自分で考えて因数分解し、結果を\(\displaystyle (\text{①})(\text{②})\)の形で書きなさい。①には\(\displaystyle x\)をふくむ因数、②には\(\displaystyle y\)をふくむ因数を入れなさい。
xy+2x+3y+6 を因数分解します。どの2項ずつを組にするか自分で考えて因数分解し、結果を (①)(②) の形で書きなさい。① には x をふくむ因数、② には y をふくむ因数を入れなさい。
確認問題②の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle x+3\)、②\(\displaystyle y+2\)です。\(\displaystyle x(y+2)+3(y+2)=(x+3)(y+2)\)となります。
同じかっこを作る
1. (xy+2x)+(3y+6) （一例の組み方）
↓
2. x(y+2)+3(y+2) （y+2が共通）
↓
3. (x+3)(y+2) （式全体が積）
↓
4. 答え ①x+3 ②y+2 （指定された順）
xy+3yと2x+6を組にしても、同じ結果になる。
展開して係数を比べる
栞先生
\(\displaystyle x^2+(a-3)x-3a=x^2-6x+b\)より、\(\displaystyle a=-3\)、\(\displaystyle b=9\)です。
(x+a)(x−3)=x²−6x+b
1. (x+a)(x−3)=x²+(a−3)x−3a （展開）
↓
2. a−3=−6 （xの係数を比較）
↓
3. a=−3 （aを求める）
↓
4. b=−3a （定数項を比較）
↓
5. b=9 （aを代入）
xの係数どうし、定数項どうしを比べる。異なる次数の項は比べない。
確認問題③
栞先生
\(\displaystyle (x+a)(x-2)=x^2-7x+b\)が成り立つように、\(\displaystyle a\)と\(\displaystyle b\)を求めます。展開と係数の比較をして、次の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle (x+a)(x-2)=x^2+\text{①}x+\text{②}\)だから、\(\displaystyle a=\text{③}\)、\(\displaystyle b=\text{④}\)。
(x+a)(x−2)=x²−7x+bが成り立つように、aとbを求めます。展開と係数の比較をして、次の空欄を埋めなさい。(x+a)(x−2)=x²+①x+②だから、a=③、b=④
確認問題③の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle a-2\)、②\(\displaystyle -2a\)、③\(\displaystyle -5\)、④\(\displaystyle 10\)です。
係数を順に比較
1. (x+a)(x−2)=x²+(a−2)x−2a （展開）
↓
2. a−2=−7 （xの係数）
↓
3. a=−5 （③）
↓
4. b=−2a=10 （定数項）
↓
5. 答え ①a−2 ②−2a ③−5 ④10 （空欄の順）
面積の差を平方の差へ
栞先生
枠は外側と内側の面積の差です。\(\displaystyle 15^2-9^2=(15+9)(15-9)=144\,\mathrm{cm}^2\)となります。
外側15 cm・内側9 cmの正方形の枠
1. 枠の面積=15²−9² （外側−内側）
↓
2. 15²−9²=(15+9)(15−9) （平方の差）
↓
3. =24×6 （積を計算）
↓
4. =144 cm² （面積）
平方の差は「2乗−2乗」に使える。「2乗+2乗」には同じ因数分解を使えない。
確認問題④
栞先生
外側が一辺\(\displaystyle 13\,\mathrm{cm}\)の正方形、内側が一辺\(\displaystyle 7\,\mathrm{cm}\)の正方形である額縁があります。額縁部分の面積を求めるため、平方の差を使って次の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle 13^2-7^2=\text{①}=\text{②}\)。
外側が一辺13 cmの正方形、内側が一辺7 cmの正方形である額縁があります。額縁部分の面積を求めるため、平方の差を使って次の空欄を埋めなさい。13²−7²=①=②
確認問題④の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle (13+7)(13-7)\)、②\(\displaystyle 120\)です。
外側−内側
1. 13²−7²=(13+7)(13−7) （平方の差）
↓
2. =20×6 （和×差）
↓
3. =120 cm² （額縁の面積）
↓
4. 答え ①(13+7)(13-7) ②120 （空欄）
小数も基準の数を探す
栞先生
\(\displaystyle 5.9\)と\(\displaystyle 6.1\)は\(\displaystyle 6\)から\(\displaystyle 0.1\)ずつ離れます。\(\displaystyle 5.9\times6.1=6^2-0.1^2=35.99\)です。
5.9×6.1
1. 5.9×6.1=(6−0.1)(6+0.1) （6から同じだけ離れている）
↓
2. =6²−0.1² （平方の差）
↓
3. =36−0.01 （それぞれ2乗）
↓
4. =35.99 （小数の位置を確認）
確認問題⑤
栞先生
\(\displaystyle 9.8\times10.2\)を工夫して計算します。平方の差の形に直して、次の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle 9.8\times10.2=(\text{①}-\text{②})(\text{①}+\text{②})=\text{①}^2-\text{②}^2=\text{③}\)。
9.8×10.2を工夫して計算します。平方の差の形に直して、次の空欄を埋めなさい。9.8×10.2=(①-②)(①+②)=①²-②²=③
確認問題⑤の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle 10\)、②\(\displaystyle 0.2\)、③\(\displaystyle 99.96\)です。
10を基準にする
1. 9.8×10.2=(10−0.2)(10+0.2) （和と差）
↓
2. =10²−0.2² （平方の差）
↓
3. =100−0.04 （小数の2乗）
↓
4. =99.96 （計算結果）
↓
5. 答え ①10 ②0.2 ③99.96 （空欄）
先に因数分解して代入
栞先生
\(\displaystyle x=\frac{5}{3}\)、\(\displaystyle y=\frac{1}{3}\)では、\(\displaystyle x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\frac{8}{3}\)です。
\(\displaystyle x=\frac{5}{3}\)、\(\displaystyle y=\frac{1}{3}\)のとき
1. x²-y²=(x+y)(x-y) （平方の差）
↓
2. \(\displaystyle x+y=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2\) （和を計算）
↓
3. \(\displaystyle x-y=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\) （差を計算）
↓
4. \(\displaystyle x²-y²=2×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\) （小さい数どうしの積）
先に代入すると2つの分数をそれぞれ2乗する。先に因数分解すれば、和と差を1回ずつ求める計算になり速い。
確認問題⑥
栞先生
\(\displaystyle x=\frac{13}{6}\)、\(\displaystyle y=\frac{1}{6}\)のとき、\(\displaystyle x^2-y^2\)の値を求めます。先に因数分解してから値を代入し、次の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle x^2-y^2=\text{①}\)、\(\displaystyle x+y=\text{②}\)、\(\displaystyle x-y=\text{③}\)だから、\(\displaystyle x^2-y^2=\text{④}\)。
\(\displaystyle x=\frac{13}{6}\)、\(\displaystyle y=\frac{1}{6}\)のとき、x²-y²の値を求めます。先に因数分解してから値を代入し、次の空欄を埋めなさい。x²-y²=①、x+y=②、x-y=③だから、x²-y²=④
確認問題⑥の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle (x+y)(x-y)\)、②\(\displaystyle \frac{7}{3}\)、③\(\displaystyle 2\)、④\(\displaystyle \frac{14}{3}\)です。
和と差を先に計算
1. x²-y²=(x+y)(x-y) （平方の差）
↓
2. \(\displaystyle x+y=\frac{13}{6}+\frac{1}{6}=\frac{7}{3}\) （②）
↓
3. \(\displaystyle x-y=\frac{13}{6}-\frac{1}{6}=2\) （③）
↓
4. \(\displaystyle x²-y²=\frac{7}{3}×2=\frac{14}{3}\) （④）
↓
5. 答え ①(x+y)(x-y) ②\(\displaystyle \frac{7}{3}\) ③2 ④\(\displaystyle \frac{14}{3}\) （空欄）
積の形が倍数の根拠
栞先生
位を入れ替えた2数の和は\(\displaystyle 11(a+b)\)で、\(\displaystyle 11\)の倍数です。差では、引くかっこの全項の符号を変えます。
位を入れ替えた2数の和
1. (10a+b)+(10b+a) （2数を文字で表す）
↓
2. =11a+11b （同類項をまとめる）
↓
3. =11(a+b) （共通因数11でくくる）
↓
4. a+bは整数 （整数であることを確認）
↓
5. したがって、和は11の倍数 （11×整数）
(7a+b)−(2b+a)=7a+b−2b−a=6a−b
差では、ひくかっこの中の各項の符号を変えてから同類項をまとめる。
確認問題⑦
栞先生
十の位が\(\displaystyle a\)、一の位が\(\displaystyle b\)である2桁の自然数を\(\displaystyle 10a+b\)、位を入れ替えた数を\(\displaystyle 10b+a\)と表します。もとの数から位を入れ替えた数をひいた差について、次の証明の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle (10a+b)-(10b+a)=\text{①}=\text{②}\)。\(\displaystyle a-b\)は整数なので、②は③の倍数である。
十の位がa、一の位がbである2桁の自然数を10a+b、位を入れ替えた数を10b+aと表します。もとの数から位を入れ替えた数をひいた差について、次の証明の空欄を埋めなさい。(10a+b)−(10b+a)=①=②。a-bは整数なので、②は③の倍数である。
確認問題⑦の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle 9a-9b\)、②\(\displaystyle 9(a-b)\)、③\(\displaystyle 9\)です。
差を積の形へ
1. (10a+b)−(10b+a) （かっこを外す）
↓
2. =10a+b−10b−a （前の負号に注意）
↓
3. =9a−9b （同類項をまとめる）
↓
4. =9(a−b) （9でくくる）
↓
5. a-bは整数だから、差は9の倍数 （9×整数）
↓
6. 答え ①9a−9b ②9(a−b) ③9 （空欄）
2つの平方を展開する証明
栞先生
\(\displaystyle (2n+3)^2-(2n+1)^2=8(n+1)\)です。\(\displaystyle n+1\)は整数なので、差は\(\displaystyle 8\)の倍数です。
連続する奇数2n+1、2n+3
1. (2n+3)²−(2n+1)² （大きい方−小さい方）
↓
2. =(4n²+12n+9)−(4n²+4n+1) （それぞれ展開）
↓
3. =4n²+12n+9−4n²−4n−1 （後ろのかっこの符号を変える）
↓
4. =8n+8 （同類項をまとめる）
↓
5. =8(n+1) （8でくくる）
↓
6. n+1は整数だから、差は8の倍数 （8×整数）
確認問題⑧
栞先生
\(\displaystyle n\)を整数とします。連続する2つの奇数\(\displaystyle 2n-1\)と\(\displaystyle 2n+1\)について、大きい方の平方から小さい方の平方をひいた差が\(\displaystyle 8\)の倍数になることを示します。次の証明の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle (2n+1)^2-(2n-1)^2=\text{①}-\text{②}=\text{③}\)。③\(\displaystyle =8\times n\)で\(\displaystyle n\)は整数だから、この差は\(\displaystyle 8\)の倍数である。
nを整数とします。連続する2つの奇数2n−1と2n+1について、大きい方の平方から小さい方の平方をひいた差が8の倍数になることを示します。次の証明の空欄を埋めなさい。(2n+1)²−(2n−1)²=①-②=③。③=8×nでnは整数だから、この差は8の倍数である。
確認問題⑧の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle 4n^2+4n+1\)、②\(\displaystyle 4n^2-4n+1\)、③\(\displaystyle 8n\)です。
負号を配って整理
1. (2n+1)²−(2n−1)² （式を確認）
↓
2. =(4n²+4n+1)−(4n²−4n+1) （2つを展開）
↓
3. =4n²+4n+1−4n²+4n−1 （後ろの符号を変える）
↓
4. =8n （8×整数）
↓
5. 答え ①4n²+4n+1 ②4n²−4n+1 ③8n （空欄）
1つの式から2つの性質
栞先生
\(\displaystyle (2n+3)(2n+5)+1=4(n+2)^2=\{2(n+2)\}^2\)より、\(\displaystyle 4\)の倍数かつ平方数です。
連続する奇数2n+3、2n+5
1. (2n+3)(2n+5)+1 （積に1を加える）
↓
2. =4n²+16n+16 （展開して整理）
↓
3. =4(n²+4n+4) （共通因数4でくくる）
↓
4. =4(n+2)² （完全平方式）
↓
5. ={2(n+2)}² （整数の平方）
- 4×整数の形だから4の倍数
- 整数2(n+2)の平方だから、ある整数の平方（平方数）
確認問題⑨
栞先生
\(\displaystyle n\)を整数とします。連続する2つの奇数\(\displaystyle 2n+1\)と\(\displaystyle 2n+3\)の積に\(\displaystyle 1\)を加えた数について、次の証明の空欄を埋めなさい。\(\displaystyle (2n+1)(2n+3)+1=\text{①}=\text{②}=\text{③}\)。②の形からこの数は④であり、③の形から⑤でもあることが分かる。
nを整数とします。連続する2つの奇数2n+1と2n+3の積に1を加えた数について、次の証明の空欄を埋めなさい。(2n+1)(2n+3)+1=①=②=③。②の形からこの数は④であり、③の形から⑤でもあることが分かる。
確認問題⑨の答え
栞先生
答えは①\(\displaystyle 4n^2+8n+4\)、②\(\displaystyle 4(n+1)^2\)、③\(\displaystyle \{2(n+1)\}^2\)、④\(\displaystyle 4\)の倍数、⑤ある整数の平方である平方数です。
2つの積の形まで変形
1. (2n+1)(2n+3)+1 （もとの式）
↓
2. =4n²+8n+4 （① 展開して整理）
↓
3. =4(n+1)² （② 4×整数）
↓
4. ={2(n+1)}² （③ 整数の平方）
答え ①4n²+8n+4 ②4(n+1)² ③{2(n+1)}² ④4の倍数 ⑤ある整数の平方（平方数）
よくある間違い①：完全平方の符号
栞先生
\(\displaystyle x^2-8x+16=(x+4)^2\)では中央の符号が違います。両端に注目した考えを生かし、\(\displaystyle (x-4)^2\)と直します。
× x²−8x+16=(x+4)²
○ x²−8x+16=(x−4)²
あるある、中央が−8xだから、かっこの符号もマイナス。展開して戻すと確認できる。
よくある間違い②：くくり出し不足
栞先生
\(\displaystyle 3\)に気づいた考えを生かします。\(\displaystyle 6x^2+9x\)は\(\displaystyle x\)も共通なので、\(\displaystyle 3x(2x+3)\)までくくります。
× 6x²+9x=3(2x²+3x)
○ 6x²+9x=3x(2x+3)
3だけで止めると、かっこの中にまだ共通因数xが残る。式全体を積の形にする。
よくある間違い③：積だけで選ぶ
栞先生
\(\displaystyle 10\)と\(\displaystyle 2\)は積が\(\displaystyle 20\)でも和が\(\displaystyle 12\)です。和が\(\displaystyle 9\)、積が\(\displaystyle 20\)の\(\displaystyle 4\)と\(\displaystyle 5\)を使い、\(\displaystyle (x+4)(x+5)\)とします。
× x²+9x+20=(x+10)(x+2)
○ x²+9x+20=(x+4)(x+5)
10×2は20でも、10+2は9ではない。積と和の両方を確かめる。
この記事のまとめ
栞先生
共通因数と式の形を確認します。計算は積の形にし、証明は示したい数と整数の積まで変形します。
まず共通因数、その後に項数と式の形を見て、積和・完全平方・平方の差・グループ化から選ぶ。
計算は因数分解して短くし、証明は「整数×示したい数」の形までつなぐ。
自己点検：選んだ形の根拠と、展開して元に戻ることを自分の言葉で言えたら今日はOK。あやしい形の例題に戻って確認しよう。
よくある質問
完全平方式では、なぜ符号を2通り考えるのですか？
定数項が同じでも、\(\displaystyle (x+a)^2\)と\(\displaystyle (x-a)^2\)では中央の項の符号が変わります。両方を展開すると、必要な係数を落ち着いて確認できます。
4項の因数分解では、どの項を組にすればよいですか？
各組をくくった後に同じかっこが現れる組み方を探します。組み方が異なっても、正しく因数分解できれば同じ積にまとまります。
倍数の証明は、式を整理したところで終えてよいですか？
整理した式を、示したい数と整数の積にします。たとえば\(\displaystyle 9(a-b)\)なら、\(\displaystyle a-b\)が整数であることを添えると\(\displaystyle 9\)の倍数だと説明できます。
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栞先生
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