凸レンズの入試の応用：レンズを動かす・レンズを見つける・レンズを取りかえる

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 物体とスクリーンを止めたままレンズだけを動かすと、像が映る所が 2 か所ある理由と、2 つの像の大きさのちがい
• レンズがかいていない図から、レンズと左右の焦点の位置を作図で見つける手順
• レンズを焦点距離のちがうものに取りかえたとき、どんな像がどこにできるかを決める順番

この記事を読む前に

この記事は、凸レンズの「入試の応用」の回です。「3 本の光」や「焦点距離の 2 倍」という言葉が出てきて「なんだっけ」と思ったら、先に凸レンズの基礎の回と、入試の基礎（凸レンズ）の回を読んでおくと、ずっと分かりやすくなります。この記事でも、はじめに使う決まりを短くふり返ります。

この記事の 3 問は、どれもふり返る決まりを、いつもとは少しちがう方向から使う問題です。

ふり返り①：進み方が決まっている 3 本の光

凸レンズに、光軸（レンズの中心を通り、レンズに垂直な線）に平行な光を当てると、レンズを通ったあと、光は 1 点に集まります。この点が焦点で、レンズの中心から焦点までの距離が焦点距離です。焦点はレンズの両側に、同じ距離で 1 つずつあります。

進み方が決まっている光は、次の 3 本です。

• 光軸に平行に入った光 → 反対側の焦点を通る
• レンズの中心を通る光 → 曲がらずにまっすぐ進む
• 手前の焦点を通った光 → 光軸に平行に出る

物体の先端から出たこれらの光が交わる点が、像の先端です。像の大きさは、光軸から像の先端までのマス数で読みます。作図では、レンズの中心を通る縦の線の所で、光を 1 回だけ曲げてかきます。

下の図は、焦点距離の 2 倍より遠い所に上向きの矢印（物体）を置き、その先端から 3 本の光をかいたものです。3 本はレンズの反対側で 1 点に交わり、そこに下向きの像ができています。

ふり返り②：物体の位置で像が決まる（目印は「焦点」と「2 倍」）

物体をどこに置くかで、できる像が決まります。目印は「焦点」と「焦点距離の 2 倍」の 2 つです。上の図の光軸の下にある数直線が、レンズの左右それぞれにつけたこの 2 つの目印です。

新しい見方：光は逆向きにも同じ道を進む

問1 に入る前に、もう 1 つ見方を増やしておきます。光は、逆向きにも同じ道を進むという決まりです。

鏡の場合

左上から来た光が、鏡の点 O で反射して右上へ進んでいるとします（角は、鏡の面に垂直な線から測ります。図では、この垂直な線を灰色の点線でかいています）。では、反射した光の道を逆にたどるように、右上から O に向けて光を当てると、光はどこへ進むでしょうか。手がかりは「入射角と反射角は等しい」です。

答えは、はじめの光の道を、そのまま逆向きにもどるです。入射角と反射角が等しいので、入る光と出る光を入れかえても同じ道になるからです。下の図で、右上から当てた光は、はじめの光の道にぴったり重なってかかれていて、青い矢印と「逆から当てた光」という言葉がついています。灰色の点線（垂直な線）とは別の線です。

屈折の場合

屈折でも同じことが起きます。空気から水に入って曲がった光の道を、水の中から逆にたどるように光を当てると、光は水面の同じ点で曲がって、はじめの道を逆にもどり、空気中へ出ていきます。これは実験で確かめられる事実です。図の青い光が、水中から逆向きに進む光です。

凸レンズの場合

光軸に平行に入った光は、反対側の焦点を通りました。逆に、その焦点を通ってレンズに向かう光は、来た道をもどって、光軸に平行に出ていきます。

下の図では、左から平行に入って右の焦点を通る光と、同じ道すじに重ねて矢印の向きだけを逆にした光（青：右の焦点 → レンズ → 光軸に平行に左へ）をかいています。

「聞いたことがある」と思った人、そのとおりです。これは 3 本の光の 3 本目「手前の焦点を通った光は、平行に出る」と同じことです。

まとめると、光は逆向きにも同じ道を進みます。この決まりを問1 で使います。

問1：レンズだけを動かすと、像が映る所は 2 か所ある

上の方眼が問いの図です。方眼は 1 マス 5 cm で、物体の高さは 2 マスです。物体から右へ 3 マス（15 cm）の所にレンズ、そこから右へ 6 マス（30 cm）の所にスクリーンがあります。下の方眼には物体とスクリーン（物体から 45 cm）だけがかいてあり、2 か所目のレンズは自分でかき入れて作図します。

(1)・(2) もう 1 か所の位置と、その理由

はじめの配置は、物体からレンズまで 15 cm、レンズからスクリーンまで 30 cm です。物体の先端から出た光は、レンズを通って、スクリーンにできた像の先端に集まっています。

ここで「光は逆向きにも同じ道を進む」を使います。逆向きに、像の先端から光を出したとしましょう。光は同じ道をもどるので、物体の先端に集まります。つまり、レンズの右 30 cm に物体を置くと、レンズの左 15 cm に像ができるということです。

下の図は、方眼が上下に 2 つ並んでいます。上の方眼がはじめの配置（「15 cm／30 cm」の寸法線があるほう）で、下の方眼が 2 か所目の配置（「30 cm／15 cm」の寸法線があるほう）です。上の方眼の赤い線は、物体の先端からレンズの中心を通って像の先端へ進む光です。この赤い線に重ねて、像の先端から物体の先端へ向かう緑の矢印がついています。これが逆向きの光です。下の方眼には赤い線しかなく、緑の矢印はありません。

「でも、物体はレンズの左側にあるのでは？」と思った人もいるでしょう。たしかに、2 か所目でも物体はレンズの左側にあります。そこで「焦点はレンズの両側に、同じ距離で 1 つずつある」を思い出します。凸レンズは左右が同じなので、光が左右どちらから来ても同じようにはたらきます。だから、物体をレンズの左 30 cm に置けば、像は右 15 cm にできます。

物体からレンズまで 30 cm、レンズからスクリーンまで 15 cm。合計はやはり 45 cm なので、物体とスクリーンは動かさなくてすみます。これが 2 か所目です。上の図の寸法線を見ると、上の方眼は「15 cm／30 cm」、下の方眼は「30 cm／15 cm」で、距離が入れかわっているのが分かります。

「45 − 15 ＝ 30」だけでは理由になりません。 目のつけどころはよく、数も合っています。でもそれだけでは、なぜそこに像ができるのかの説明になっていません。(2) には、次の 2 つを必ず書きましょう。

• 物体からレンズまでと、レンズからスクリーンまでの距離を入れかえても像ができる
• その理由：光は逆向きにも同じ道を進む

「凸レンズは左右どちらから光が来ても同じようにはたらく」は、「光は逆向きにも同じ道を進む」から「距離を入れかえても像ができる」へと考えを進めるときの、あいだの 1 歩です。逆向きの光で分かるのは「物体を右に置くと像は左にできる」ことなので、それを「物体が左にあるとき」に当てはめるために、この 1 歩を使います。書けるとよいですが、無くても満点です。

(3) 2 つの像の大きさ

大きさは、レンズの中心を通る光で考えます。この光は曲がらないので、同じ傾きのまま進みます。だから、光軸から下がる長さは、進んだ距離に比例します。上の図の赤い線が、この中心を通る光です。

• 15 cm の位置（上の図の上の方眼）：物体の先端は光軸の上へ 2 マス。レンズまで 3 マス進むあいだに 2 マス下がり、ちょうど光軸に届きます。スクリーンまではその 2 倍の 6 マスなので、下がるのも 2 倍の 4 マス。像は 4 マスで、物体の 2 倍です。
• 30 cm の位置（上の図の下の方眼）：レンズまで 6 マス進むあいだに 2 マス下がります。スクリーンまではその半分の 3 マスなので、下がるのも半分の 1 マス。像は 1 マスで、物体の 1/2 倍です。

レンズが物体に近いほうが、大きい像になります。

問2：レンズがかいていない図から、レンズと焦点を見つける

入試の基礎の回では、焦点がかいていない図から焦点を求めました。この問題では、レンズもかいてありません。3 問の中でいちばん手が止まりやすい問題ですが、使うのは 3 本の光の決まりだけです。

物体は上向きで高さ 4 マス。物体から右へ 27 マスの所にスクリーンがあり、下向きで長さ 2 マスの実像が映っています。

手順 1：レンズの位置（中心を通る光を使う）

レンズの中心を通る光は曲がらないので、物体の先端・レンズの中心・像の先端は 1 本の直線にならびます。だから、物体の先端と像の先端を結び、その線が光軸と交わる所がレンズの中心です。

物体の先端は光軸の上へ 4 マス、像の先端は物体から右へ 27 マス・光軸の下へ 2 マスです。27 マス進むあいだに 6 マス下がるので、傾きは「右へ 9 マスで下へ 2 マス」。光軸まで 4 マス下がるにはその 2 倍の 18 マス進むので、レンズは物体から右へ 18 マスです。

手順 2：右の焦点（平行な光を使う）

光軸に平行な光は、レンズで曲がって反対側の焦点を通り、像の先端へ行きます。物体の先端から光軸に平行な線をかくと、レンズの上へ 4 マスの点に来ます。そこから像の先端へ線を結びます。

像の先端はレンズから右へ 9 マス・下へ 2 マスなので、この線は 9 マス進むあいだに 6 マス下がります。4 マス下がって光軸を横切るのは、レンズの右 6 マス。ここが右の焦点です。

手順 3：左の焦点（焦点を通る光を使う）

手前の焦点を通った光は、平行に出ます。像の先端は光軸の下 2 マスなので、像の先端に平行に届く光は、レンズの下へ 2 マスの点から出ています。物体の先端とその点を結ぶと、レンズの左 6 マスで光軸と交わります。ここが左の焦点です。

手順 4：左右がそろうか確かめる

左右とも 6 マスでそろったので、焦点距離は 6 マスです。片側だけ作図して終わりにせず、左右の両方を求めて、そろうかで作図を確かめるところまでが答えです。

そろわなかったときは、次の 2 つを確かめてみてください。どちらも作図でずれやすい所です。

• 光を、レンズの中心を通る縦の線の所で曲げているか
• マスの数え方がずれていないか

最後に、ふり返った決まりとも合っているか見ておきます。物体からレンズまでの 18 マスは、焦点距離の 2 倍の 12 マスより遠いので、小さい実像ができるはずです。物体 4 マスに対して像は 2 マス。ちゃんと合っています。

問3：レンズを取りかえると、できる像はどう変わるか

問1・問2 は、レンズの位置をさがす問題でした。問3 では、レンズそのものを取りかえます。これまではレンズを決めて物体を動かす問題が多かったのですが、今度は逆で、物体を止めたままレンズのほうを取りかえます。

上が A のレンズの図、下が B のレンズの図です。どちらも 1 マス 2 cm で、物体はレンズの左 12 マス（24 cm）、高さ 2 マスです。焦点 F は、A の図ではレンズの左右 4 マス（8 cm）、B の図では左右 8 マス（16 cm）にあります。

(1) どのレンズで映るか：目印を書き直す

レンズを取りかえて焦点距離が変わると、「焦点」と「2 倍」の目印の位置も動きます。だから、次の順番で考えます。

1. レンズごとに目印を書き直す
2. 物体の 24 cm がどこに入るかで、像の種類を決める
3. その像が反対側のどの範囲にできるかを、スクリーンの 48 cm と比べる

• A：24 cm は 2 倍の 16 cm より遠いので、小さい実像です。像はレンズから 8 cm〜16 cm のあいだにでき、48 cm には届きません。
• B：24 cm は焦点の 16 cm と 2 倍の 32 cm のあいだなので、大きい実像です。像は 32 cm より遠くにでき、48 cm と合います。
• C：物体がちょうど焦点の上にあるので、光は平行に出て、像はできません。

C を選んだ人へ：「焦点距離も物体までの距離も 24 cm だから、同じ大きさの像が 48 cm にできる」と考えたのかもしれません。24 と 24 で数がそろっていると、そう見えますよね。でも、同じ大きさの像ができるのは、物体が焦点ではなく焦点距離の 2 倍の所にあるときです。

A を選んだ人へ：像ができるかどうかは、ちゃんと見ています。あと一歩、像がどこにできるかまで確かめましょう。A の理由を「小さい実像になるから」だけで終えた人も、像ができる範囲（8〜16 cm で、48 cm より近い）まで書きましょう。問われているのは、48 cm に映るかどうかだからです。

(2) 作図で位置と大きさを確かめる

中心を通る光は、A でも B でも同じ「右へ 6 マスで下へ 1 マス」の線です。物体の先端（上へ 2 マス）から 12 マス進んで、レンズの中心で光軸に届きます。2 つの図でちがうのは、平行な光が曲がって通る焦点だけです。

• A：平行な光はレンズの上へ 2 マスで曲がり、右 4 マスの焦点を通ります。中心を通る光とは、レンズの右 6 マス・下へ 1 マスで交わります。像はレンズの右 12 cm、長さ 1 マスで物体の 1/2 倍です。
• B：平行な光はレンズの上へ 2 マスで曲がり、右 8 マスの焦点を通ります。中心を通る光とは、レンズの右 24 マス・下へ 4 マスで交わります。像はレンズの右 48 cm、長さ 4 マスで物体の 2 倍です。

どちらも下向きの像です。B の像が 48 cm にできることは、(1) の判断とも合っています。

(3) B から A に取りかえたとき

像の位置は 48 cm から 12 cm に変わります。だから、スクリーンを 48 − 12 ＝ 36 cm、レンズに近づけます。

イメージのしかた：焦点距離が長いほど、光を曲げるはたらきは弱い

焦点距離が長いレンズほど、光を曲げるはたらきは弱くなります。だから、物体が焦点より外側にあって実像ができるときは、焦点距離が長いレンズほど、像はレンズから遠くにできます。A の 12 cm より B の 48 cm が遠いのは、このためです。

ただし、曲げるはたらきが弱すぎると実像はできません。C のように焦点距離が物体までの距離と同じになると像はできず、それより長くなると虚像になります。

まとめ

• レンズだけを動かす：像が映る所は 2 か所あります。光は逆向きにも同じ道を進み、凸レンズは左右が同じなので、物体〜レンズとレンズ〜スクリーンの距離を入れかえればよいのです。大きさは、中心を通る光の傾きで比べます。
• レンズがかいていない図：物体の先端と像の先端を結んでレンズを見つけます。平行な光と焦点を通る光で左右の焦点を求め、そろうかを確かめます。
• レンズを取りかえる：まず目印を書き直します。それから像の種類を決め、像ができる範囲とスクリーンの位置を比べます。

自分で解いてみたい人は、ページの下のプリントと練習問題のページを使ってください。基礎があやしいと感じたら、基礎の回や入試の基礎の回にいつでも戻って大丈夫です。

よくある質問

Q. 問1 (2) で「45 − 15 ＝ 30 だから」と書いたら、まちがいですか？
A. 数は合っていますが、理由としては足りません。計算しただけで、なぜそこに像ができるのかを説明していないからです。「物体〜レンズとレンズ〜スクリーンの距離を入れかえても像ができる」ことと、その理由「光は逆向きにも同じ道を進む」の 2 つを書きましょう。

Q. 問2 で、焦点は片側だけ作図すれば十分ではないですか？
A. 左右の両方を作図して、どちらも 6 マスでそろうことを確かめるところまでが答えです。片側だけだと、作図がずれていても気づけません。そろわなかったときは、光をレンズの中心の線で曲げているか、マスの数え方がずれていないかを見直しましょう。

Q. 問3 のレンズ C は、物体までの距離と焦点距離が同じ 24 cm なのに、どうして同じ大きさの像ができないのですか？
A. 同じ大きさの実像ができるのは、物体が「焦点距離の 2 倍」の所にあるときです。C では物体がちょうど「焦点の上」にあるので、光は平行に出て、像はできません。「焦点」と「2 倍」の、どちらの目印の上にあるかで判断しましょう。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b（準備中）
• Step 1c
• Step 1d（準備中）
• Step 2a（準備中）
• Step 2b（準備中）
• Step 3a（準備中）
• Step 3b（この記事）

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