【国語 中学3年 #1】助動詞・助詞の識別と用法 練習問題（ステップ1c）
栞先生 しおりアカデミー
【数学 中学3年 #1】多項式の展開と因数分解 練習問題（ステップ3）
栞先生
多項式の展開と因数分解 練習問題
数学 中学3年 ステップ3｜全11問
多項式の展開と因数分解を組み合わせて使う練習問題です。共通部分の置き換えや項のグループ化に加え、計算のくふうや文字式による説明にも取り組めます。動画で考え方を確認したあと、自分で解いて解説と照らし合わせてみてください。
📺 解けなかったら、この単元の授業動画で復習しよう。
置き換えによる因数分解
繰り返し現れるかっこをひとまとまりとして見ると、式の形を捉えやすくなります。因数分解したあとは、元の式に戻してから整理しましょう。
次の式を、これ以上分解できない積の形に因数分解しなさい。
問1(x−2)²+3(x−2)−10＝①
＝ ______
問2(x+3)²−4(x+3)+3＝①
＝ ______
グループ化による因数分解
項を組に分け、それぞれから因数をくくり出して共通するかっこを探します。見つからないときは、項の並べ方を変えてみましょう。
次の式を、これ以上分解できない積の形に因数分解しなさい。
問3ab−3a+2b−6＝①
＝ ______
問4xy−20+5y−4x＝①
＝ ______
公式を組み合わせた因数分解
まず、すべての項に共通する因数があるか確かめます。くくり出したあとの式にも、因数分解の公式を使える形が残っていないか見てみましょう。
次の式を、これ以上分解できない積の形に因数分解しなさい。
問52bx²+8bx+8b＝①
＝ ______
問65x²−20＝①
＝ ______
計算のくふう
それぞれを平方してから引く前に、平方の差の公式を使って積の形にできないか考えてみましょう。
平方をそれぞれ計算する前に、式の形をくふうして値を求めなさい。
問7103²−97² を、かけ算がしやすい2つの整数の積の形に直した式を①、計算の結果を②に書きなさい。
→ ________________________________
式の値
先に式を展開して同類項をまとめ、それから指定された値を代入します。かっこの前がマイナスのときは、符号を確かめながら進めましょう。
式を展開して簡単にしてから、指定された値を代入しなさい。
問8x=−3のとき、(x+4)²−(x+1)(x−1)の値を求めます。式を展開して簡単にした形を①、その値を②に書きなさい。
→ ________________________________
数の性質の説明
位を入れかえる前後の数を文字式で表し、差を整理します。特定の数で確かめるだけでなく、どんな数でも成り立つ理由を式で示しましょう。
文字式を使って、説明しながら求めなさい。
問92桁の自然数があります。この数から、十の位と一の位を入れかえてできる数を引くと、差が45になりました。このとき、もとの数の十の位の数と一の位の数の差を、文字式を使って説明しながら求めなさい。
→ ________________________________
基本の確認
式が平方の差になっているかを見極め、公式に当てはめてみましょう。
次の式を因数分解しなさい。
問10x²−16＝①
＝ ______
面積の説明
道の面積を外側と内側の円の面積の差で表します。道の真ん中を通る円の長さも式にして、面積を表す式と比べてみましょう。
文字式を使って、成り立つ理由を説明しなさい。
問11幅が一定でaの円形の道があります。道の真ん中を通る円の円周の長さをℓ、道の面積をSとすると、S=aℓとなることを文字式を使って説明しなさい。
→ ________________________________
解答・解説
問1(x+3)(x−4)
x−2をひとまとまりとみると、和が3、積が−10となる2数は5と−2です。元に戻すと(x−2+5)(x−2−2)=(x+3)(x−4)となります。
問2x(x+2)
x+3をひとまとまりとみると、和が−4、積が3となる2数は−1と−3です。元に戻すと(x+2)x=x(x+2)となります。
問3(a+2)(b−3)
前の2項と後の2項をそれぞれくくると、a(b−3)+2(b−3)です。共通の(b−3)をくくると(a+2)(b−3)になります。
問4(x+5)(y−4)
項を並べかえて(xy−4x)+(5y−20)とすると、x(y−4)+5(y−4)です。共通の(y−4)をくくります。
問52b(x+2)²
共通因数の2bをくくると2b(x²+4x+4)です。かっこの中は(x+2)²になります。
問65(x+2)(x−2)
まず5をくくって5(x²−4)とします。x²−4は平方の差なので、5(x+2)(x−2)になります。
問7①＝200×6、②＝1200
平方の差として(103+97)(103−97)に直すと、200×6=1200です。
問8①＝8x+17、②＝−7
式を展開して整理すると(x²+8x+16)−(x²−1)=8x+17です。x=−3を代入すると8×(−3)+17=−7です。
問9もとの数の十の位をa、一の位をbとすると、もとの数は10a+b、位を入れかえた数は10b+aと表せる。差は(10a+b)−(10b+a)=9(a−b)である。これが45に等しいので、9(a−b)=45より、a−b=5。よって、もとの数の十の位の数と一の位の数の差は5である。
差を文字式で表すと9(a−b)になります。これが45に等しいことから、9(a−b)=45となり、a−b=5と求められます。
問10(x+4)(x−4)
16=4²なので、x²−16は平方の差です。因数分解すると(x+4)(x−4)になります。
問11道の内側の円の半径をrとすると、外側の円の半径はr+a、真ん中を通る円の直径は2r+aである。したがってℓ=π(2r+a)。また、S=π(r+a)²−πr²=π(2ra+a²)=aπ(2r+a)=aℓとなる。
道の面積は外側の円と内側の円の面積の差で求めます。それを整理すると、幅aと真ん中を通る円の長さℓとの積になります。
しおりアカデミー｜数学 中学3年 ステップ3
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