凸レンズ② 物体の位置と像・虚像｜物体をどこに置くと、どんな像ができる？

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 物体を「焦点距離の2倍」の所に置くと、同じ大きさの実像ができること。それを使って焦点距離を求める方法
• 「焦点」と「焦点距離の2倍」の2つの目印で、できる像（小さい実像・同じ大きさの実像・大きい実像・像はできない・虚像）が決まること。カメラのピント合わせのしくみ
• 虚像の作図のしかた（レンズを出た光を逆向きにのばす）と、虚像がスクリーンに映らないわけ

凸レンズの前に物体を置くと

凸レンズの前に物体を置くと、置く場所によって、映る像が大きくなったり小さくなったりします。場所によっては、スクリーンに何も映らないこともあります。

この記事では、物体をどこに置くと、どんな像ができるのかを順に整理していきます。読み終わるころには、カメラのピント合わせのしくみや、虫めがねで物が大きく見えるわけも、自分で説明できるようになります。

この記事には、ページのいちばん上にある動画の中で出している問い（問1〜問3）と、その答えと解き方も載せています。自分で解いてみたい人は、ページのいちばん下のプリントも使ってください。動画の問いが同じ番号で載っていて、書きこむ場所もあります。

まずはおさらい：凸レンズの言葉と、作図で使う2本の光

はじめに、この記事で使う言葉と光の進み方を、使う分だけ確かめておきます。前の記事を読んでいなくても、ここを読めば大丈夫です。

凸レンズの言葉

• 光軸：レンズの中心を通り、レンズの面に垂直な線
• 焦点：光軸に平行な光が集まる点。レンズの両側に1つずつ、レンズから同じ距離の所にある
• 焦点距離：レンズの中心から焦点までの距離

行き先が決まっている光は3本
物体の先端から出る光のうち、レンズを通ったあとどう進むかが決まっている光は、次の3本です。

1. 光軸に平行に進む光 → レンズを通ったあと、反対側の焦点を通る
2. レンズの中心を通る光 → 曲がらずにまっすぐ進む
3. 手前の焦点を通ってレンズに入る光 → レンズを通ったあと、光軸に平行に進む

この記事の作図では、かきやすい 1 と 2 の2本 を使います。また、作図では、光はレンズの中心の縦の線のところで1回だけ曲げる、という約束です。

上の図では、左の焦点より遠い所に上向きの矢印（物体）を置いています。物体の先端から出た2本の光（光軸に平行な光と、レンズの中心を通る光）が、レンズの右側で交わっています。

この2本の光が交わった点が、像の先端になります。 ここには光が実際に集まっているので、スクリーンを置くと像が映ります。このような像を実像といいます。

実像の向きは、物体とスクリーンを同じ向きから見ると、物体と上下も左右も逆になります。

同じ大きさの実像ができるのは「焦点距離の2倍」の所

では、物体と同じ大きさの実像ができるのは、物体をどこに置いたときでしょうか。

方眼の図で考えます。焦点距離が3マスのレンズです。焦点はレンズの左右3マスの所にあり、左右6マスの所に「焦点距離の2倍」の印があります。レンズの左6マス、つまり焦点距離の2倍の所に、高さ2マスの物体を置きました。

物体の先端から2本の光をかくと、レンズの右6マス、光軸から下へ2マスの所で交わります。像は右6マスにでき、大きさは2マス。物体と同じ大きさで、向きは逆です。

「このレンズだから、たまたまそうなったのでは？」と思うかもしれません。でも、これはどの凸レンズでも同じです。

物体を「焦点距離の2倍」の所に置くと、反対側の「焦点距離の2倍」の所に、物体と同じ大きさの実像（向きは逆）ができる。

問1：同じ大きさの像から焦点距離を求める

この決まりを使って、問1を考えてみましょう。

「物体と同じ大きさの実像」ができるのは、物体を焦点距離の2倍の所に置いたときです。像も、反対側の焦点距離の2倍の所にできます。

この問いでは、レンズから物体までも、レンズからスクリーンまでも24 cmです。つまり、この24 cmが焦点距離の2倍です。焦点距離はその半分なので、24 ÷ 2 ＝ 12 cm になります。

図のように、焦点は、レンズと物体のちょうど真ん中、12 cmの所にあります。

24 cmと答えた人へ：「同じ大きさなら2倍の位置」というところまでは、ちゃんとつかめています。最後に2でわるのを忘れてしまったんですね。「同じ大きさ」と出てきたら「2倍の位置」と思い出して、半分にする。ここまでをセットで覚えておきましょう。

物体を焦点に近づけると、像はどう変わる？

では、物体を2倍の所から動かすと、像はどう変わるでしょうか。

先に予想してみてください。物体を焦点のほうへ近づけていくと、像はレンズから遠くにできるでしょうか、近くにできるでしょうか。大きくなるでしょうか、小さくなるでしょうか。

作図で確かめる

焦点距離3マスのレンズで、高さ3マスの物体を1つ用意します（前の節の高さ2マスの物体とは別の物体です）。この1つの物体を、レンズの左12マス、6マス、4マスと、焦点に近づけていきます。それぞれ2本の光をかいて像を見つけたのが、次の3つの図です（上から、左12マス・6マス・4マス。3つの図とも、物体は同じ高さ3マスの物体です）。

結果をまとめると、こうなります。

物体を焦点に近づけるほど、像はレンズから遠くにでき、大きくなりました。

どうしてそうなるの？

3つの図の、光軸に平行な光を見比べてみましょう。物体の高さが同じなので、どの図でも、この光はレンズの上へ3マスの所で曲がり、右の焦点を通って、「右へ3マス進むと下へ3マス」という同じ道すじを進みます。

変わっているのは、中心を通る光のほうです。

• 左12マスのとき：「右へ4マス進むと下へ1マス」
• 左6マスのとき：「右へ2マス進むと下へ1マス」
• 左4マスのとき：「右へ4マス進むと下へ3マス」

物体が焦点に近づくほど、中心を通る光は立った向きになって、平行な光の向きに近づいていきます。2本の向きが近いほど、2本が交わるのはずっと先になります。だから、像は遠くにでき、大きくなるのです。

2つの目印で整理する

これを、「焦点」と「焦点距離の2倍」の2つの目印で整理すると、次の表になります。この記事でいちばん覚えることが多いのがこの表です。でも、目印2つで区切って、遠い順に並べてみると、意外とすっきり見えてきます。

焦点の外側では、物体を焦点に近づけるほど、実像はレンズから遠く・大きくなる。

焦点の上と、焦点より内側に置くと

では、もっと近づけるとどうなるでしょう。

焦点の上に物体を置くと、像はできません。「え、なんで？」と思いますよね。その理由は、このあとの問2の(6)で考えます。物体の先端から2本の光をかいてみるのが手がかりです。

さらに近づけて、焦点より内側に置くと、スクリーンをどこに動かしても像は映りません。ところが、物体と反対側からレンズをのぞいてみると、物体より大きく、物体と同じ向きの像が見えます。この像を虚像といいます。虚像の作図は、この記事のあとのほうで説明します。

まとめると、次のとおりです。

• 焦点の上：像はできない
• 焦点より内側：スクリーンには映らない。物体と反対側からレンズをのぞくと、物体より大きく、同じ向きの像（虚像）が見える

カメラとプロジェクター

ここまでの決まりは、身の回りの道具にも使われています。

カメラは、凸レンズで物体の実像をつくり、レンズのうしろにある「像を受け止める面」に写す道具です。写す物はふつう焦点距離の2倍より遠くにあるので、写るのは小さい実像です。

実像ができる所と、像を受け止める面がずれていると、写真はぼやけてしまいます。そこで、レンズを前後に動かして、実像ができる所を受け止める面にそろえます。これがピント合わせです。

プロジェクターはその逆で、小さな絵の大きい実像を、遠くのスクリーンに映す道具です。

問2：物体の位置とできる像

では、ここまでの決まりを使ってみましょう。

解き方：まず目印を2つ書き出す

焦点距離が10 cmなので、目印は 焦点 10 cm と 焦点距離の2倍 20 cm です。A〜Eを、この目印と比べます。

• A（30 cm）：2倍より遠いので、小さい実像。像ができるのは、反対側の焦点と2倍のあいだ、つまりレンズの右10 cmと20 cmのあいだです。
• B（20 cm）：ちょうど2倍なので、同じ大きさの実像が、レンズの右20 cmにできます。
• C（15 cm）：焦点と2倍のあいだなので、大きい実像が、レンズの右20 cmより遠くにできます。
• D（10 cm）：ちょうど焦点の上なので、像はできません。
• E（5 cm）：焦点より内側なので、虚像が見えます。

A、B、Cと焦点に近づけるほど、像は遠く・大きくなります。ですから、スクリーンを遠ざけないとぼやけてしまいます。

これで、(1)はDとE、(2)はB、(3)はC、(4)はEとわかります。

(3)をまちがえた人へ

• Dを選んだ人：「近づけるほど大きくなる」という決まりを、しっかり使おうとしたんですね。その考え方はいいんです。ただ、それが成り立つのは焦点の外側まで。焦点の上では像ができません。
• Eを選んだ人：たしかにEの虚像も物体より大きいので、そこに目が行くのは自然です。ただ、(3)が聞いているのは「実像」です。

(5) カメラのピント合わせ

(5)は、カメラで遠くの山にピントを合わせて写したあと、同じカメラで近くの花を写すとき、はっきり写すには、レンズを「像を受け止める面」から遠ざけるか、近づけるかを聞いています。

花も、焦点距離の2倍より遠くにあります。つまり、花も山も焦点の外側にあるので、「焦点の外側では、焦点に近づけるほど、実像はレンズから遠くにできる」という決まりがそのまま使えます。近くの花のほうが、遠くの山より焦点に近い所にあります。焦点に近いほど、実像はレンズから遠くにできます。

像を受け止める面は動かせないので、レンズのほうを面から遠ざけて（つまり前に出して）、実像ができる所を面にそろえます。答えは「遠ざける」です。

(6) 焦点の上に置くと、なぜ像ができないの？

答えはDです。Dに上向きの矢印の物体を立てて、その先端から2本の光を追ってみましょう。

• 光軸に平行な光は、レンズのあと、反対側の焦点を通ります。
• 中心を通る光は、まっすぐ進みます。

物体の先端が焦点の真上にあるので、方眼でかくと、2本はどちらも「右へ10 cm進むと、物体の高さの分だけ下がる」同じ向きになります。つまり、レンズを出た光は平行に進むのです。平行な線は、どこまで行っても交わりません。だから実像はできません。

では、虚像はどうでしょう。このあとすぐ、虚像は「レンズを出た光を逆向きにのばして、交わった所に見える」と学びます。平行な線は、逆にのばしても交わりません。だから、Dでは虚像もできないのです。虚像の見つけ方を読んだら、ここに戻って確かめてみてください。

理由を「物体が焦点の上にあるから」とだけ書いた人へ：書いていること自体は合っています。ただ、それだとDの場所を言い直しただけになってしまいます。「光が平行に進んで交わらない」まで書けたら完璧です。

虚像の見つけ方（作図）

最後に、焦点より内側に物体を置いたときの虚像を、作図で見つけてみましょう。

焦点距離6マスのレンズの左2マスに、高さ2マスの物体があります。焦点より内側ですね。物体の先端から2本の光（光軸に平行な光と、中心を通る光）をかくと、レンズを出た2本は、右へ行くほど離れていきます。どこでも交わらないので、スクリーンを置いても像は映りません。

では、右側からレンズをのぞいた目には、何が見えるのでしょう。

目は、届いた光が途中で曲がってきたことを知りません。光はまっすぐ進んできた、と感じます。ですから目には、この2本の光が、レンズの左側にある1点から出てきたように見えます。そこに見えるのが虚像です。

その点を見つけるには、レンズを出た2本の光を、物体のある左側へ逆向きにのばします。実際に光が通る線ではないので、点線でかきます。

この図では、2本の点線は、レンズの左3マス、光軸から上へ3マスの所で交わります。ここが、光が出てきたように見える1点、つまり虚像の先端です。虚像は、物体と同じ側に、物体より大きく、物体と同じ上向きにできています。

虚像の作図の手順

1. 物体の先端から2本の光をかく（光軸に平行な光・中心を通る光）
2. レンズを出た2本を、物体のある側へ逆向きにのばす（点線でかく）
3. 2本の点線が交わった所が、虚像の先端

問3：虚像を作図してみよう

この見つけ方を、自分で使ってみましょう。

(1) 作図の進め方

まず、物体の先端から2本の光をかきます。

• 光軸に平行な光：レンズの上へ1マスの点で曲がって、右の焦点を通ります。レンズから右の焦点までは「右へ4マス進むと下へ1マス」の向きです。
• 中心を通る光：物体の先端からレンズの中心まで「右へ3マス進むと下へ1マス」の向きで、そのまままっすぐ進みます。

レンズの右側で、2本はだんだん離れていきます。そこで、2本を左へ逆向きに、点線でのばしていきます。

• 平行な光の点線は、レンズの上へ1マスの点から、左へ4マス進むごとに上へ1マス上がります。左へ12マスでは、さらに3マス上がって、上へ4マスになります。
• 中心を通る光の点線は、左へ3マスで上へ1マスなので、左へ12マスでは上へ4マスです。

2本の点線は、レンズの左12マス、上へ4マスの所で交わりました。ここが虚像の先端です。根もとは、その真下の光軸の上になります。

(2) 虚像の位置・大きさ・向き

作図から、位置はレンズの左12マス（物体と同じ側）、大きさは4マス（物体の4倍）、向きは上向き（物体と同じ向き）です。

虚像の先端を、焦点の所（レンズの左4マスの点）だと答えた人へ：ここまでずっと焦点を目印にしてきたので、そう考えたくなるのは自然です。ただ、虚像の位置は焦点で決まるのではなく、2本の点線が交わる所で決まります。

(3) 虚像がスクリーンに映らないわけ

実像は、光が実際に集まってできる像でした。一方、虚像の所には、光は実際には集まっていません。光がそこから来たように見えるだけです。だから、スクリーンを置いても映らないのです。

(4) 虚像を利用した道具

答えは虫めがねです。ルーペも正解です。虫めがねで小さな字を見るとき、実は字を焦点より内側に置いて、大きく同じ向きの虚像を見ているのです。

顕微鏡・双眼鏡・望遠鏡・老眼鏡と答えた人も正解です。どれも、目の側のレンズをのぞいて虚像を見ているからです。カメラやプロジェクターは、実像を面やスクリーンに映す道具なので、ここには当てはまりません。

まとめ

• 同じ大きさの実像ができたら、物体は焦点距離の2倍の所にある。だから焦点距離は、その距離の半分。
• できる像は、「焦点」と「焦点距離の2倍」の2つの目印で決まる。
• 2倍より遠い：小さい実像
• ちょうど2倍：同じ大きさの実像
• 焦点と2倍のあいだ：大きい実像
• 焦点の上：像はできない
• 焦点より内側：虚像
• 焦点の外側では、焦点に近づけるほど、実像は遠く・大きくなる。カメラのピント合わせも、これで説明できる。
• 虚像は、レンズを出た光を逆向きにのばして作図する。スクリーンには映らない（虫めがね）。

物体の位置を言われたら、目印を2つ書き出して、どんな像ができるかを言えるかどうか確かめてみてください。あやしいところがあれば、その見出しに戻って読み直して大丈夫です。

よくある質問

Q. 実像と虚像は、どうやって見分ければいいですか？
A. 光が実際にそこへ集まっているかどうかで見分けます。実像は光が実際に集まってできるので、スクリーンに映ります。虚像は、光がそこから来たように見えるだけなので、スクリーンには映りません。物体の位置で言えば、焦点より外側に置くと実像、焦点より内側に置くと虚像です。

Q. 物体を焦点の上に置くと、どうして像ができないのですか？
A. 物体の先端から2本の光（光軸に平行な光と、中心を通る光）をかくと、レンズを出たあと2本が平行に進むからです。平行な線はどこまで行っても交わらないので、実像はできません。逆向きにのばしても交わらないので、虚像もできません。

Q. 虫めがねで物が大きく見えるのはなぜですか？
A. 虫めがねで小さな字を見るとき、字は凸レンズの焦点より内側にあります。焦点より内側に物体を置いて、反対側からレンズをのぞくと、物体より大きく、同じ向きの虚像が見えます。私たちは、この虚像を見ているのです。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b（準備中）
• Step 1c
• Step 1d（この記事）
• Step 2（準備中）
• Step 2a（準備中）
• Step 2b（準備中）

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