【入試の応用】光の反射・屈折：全身を映す鏡の長さ、直角に組み合わせた2枚の鏡、プールの水面が鏡のように見えるわけ

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 全身を映す鏡は、床から何 cm から何 cm まで要るか。立つ距離がその答えに関係しないのはなぜか
• 直角に組み合わせた 2 枚の鏡の両方に当たって 2 回反射した光が、どんな向きから来ても来た方へもどるのはなぜか
• プールにもぐって見上げると、遠くの水面が鏡のように見えるのはなぜか（全反射の 2 つの条件で説明する）

この記事で解く 3 問と、先に読んでおきたい回

この記事では、光の反射と屈折の入試の応用問題を 3 問解きます。

1. 全身を映す鏡は、どこからどこまで要る？
2. 直角に組み合わせた 2 枚の鏡で、光はどう進む？
3. プールの中から見上げた水面が、鏡のように見えるのはなぜ？

どの問題でも、新しい決まりは使いません。もう知っている決まりを組み合わせて、数や理由を自分で出していきます。

この回は、次の順に学んだあとで読むことを考えて書いています。

• 基礎の回（光の直進と反射／光の屈折と全反射）
• 入試の基礎の回（反射・屈折）

鏡の像の作図や全反射がよく分からないと感じたら、先にそちらの回を見ておくと、ずっと楽に読めます。途中で戻ってもかまいません。

それぞれの問題の前に、その問題で使う決まりをふり返ります。問いは、決まりのあとに載せてあります。自分で解いてみたい人は、問いを読んだところで少し考えてから、先へ読み進めてください。

使う決まり①　鏡の像と、光が反射する点

問1と問2では、鏡の決まりを使います。

鏡に映って見える物の、見かけの位置を、この記事では「像」と呼びます。

• 像は、鏡をはさんで物と反対側の、鏡から同じ距離の所にできます。
• 目は、届いた光がまっすぐ進んできたと感じます。 だから、鏡で反射して目に届いた光は、像の方向からまっすぐ来たように見えます。

この 2 つを合わせると、光が鏡のどこで反射するかが分かります。

反射する点 ＝ 像と目を結ぶ直線が、鏡と交わる所

下の図は、方眼の上に鏡を置いて、真上から見たものです。鏡は横の線の上にあり、鏡のうしろ側（下側）には斜線がかいてあります。物 A は鏡から上へ 2 マスの所にあるので、像 A′ は鏡から下へ 2 マスの所にできます。図では、像 A′ から P までが点線、P から目 E までが光の道すじの実線で、この 2 本は 1 本のまっすぐな線（像と目を結ぶ直線）につながっています。この直線が鏡と交わる所が、点 P です。光は A から P へ進み、P ではね返って E に届きます。図では、この光の道すじを矢印つきの線でかいています。

この考え方を使って、鏡の大きさの問題を解きます。

問1　全身を映す鏡は、どこからどこまで要る？

家の壁に縦長の鏡をかけて、大人と子どもの 2 人がどちらも全身を見られるようにしたい、という問題です。2 人は 1 人ずつ交代で、決まった距離だけ鏡から離れて立ちます。

問いの図は、横から見た図が 2 つ並んでいます。左が大人だけが立っている図、右が子どもだけが立っている図です。どちらの図も、壁には鏡がかいてありません。壁の向こう側にも床がのびていて、本人が立つのと同じ距離の分だけ（大人は 2 m、子どもは 1 m）、何もかいていない場所がとってあります。ここは、あとで像をかき入れるための場所です。

解くときの手がかり：横から見た図に、壁の向こうにできる像をかき入れます。そして、目と、像の頭のてっぺんを直線で結んでみましょう。

(1) 鏡の上端と下端は「ちょうど真ん中」

頭のてっぺんが見えるのは、頭から出た光が鏡で反射して、目に届くときです。反射する点は、上でふり返ったとおり「頭の像と目を結んだ直線が鏡と交わる所」でした。

大人の像は、壁の向こうの 2 m の所に、同じ身長 180 cm でできます。目の高さ 168 cm の所から、像の頭（高さ 180 cm）へ直線を引きます。

下の図は、問いの 2 つの図に像をかき入れたものです。目と像の頭のてっぺんを結ぶ線と、目と像のつま先を結ぶ線もかいてあります。線が壁と交わる点には、大人の図では 174 cm と 84 cm、子どもの図では 105 cm と 50 cm の印があります。どちらの図の壁にも、(2) の答えになる、50 cm から 174 cm までの鏡がかいてあります。

この線は、壁の所でどの高さを通るでしょうか。

• 目から像までは、横に 4 m あります。壁は、そのちょうど半分の 2 m の所にあります。
• まっすぐな坂道を半分まで進むと、高さもちょうど半分だけ上がります。
• この線は 168 cm から 180 cm まで、12 cm 上がる線です。壁の所では半分の 6 cm だけ上がって、174 cm を通ります。

174 cm は、目の高さ（168 cm）と頭の高さ（180 cm）のちょうど真ん中です。式にすると、次のようになります。

鏡で反射する高さ ＝（目の高さ ＋ その点の高さ）÷ 2

大人の場合を計算すると、次のとおりです。

• 上端：(168 ＋ 180) ÷ 2 ＝ 174 cm
• 下端（つま先の高さは 0 cm）：(168 ＋ 0) ÷ 2 ＝ 84 cm

大人に要る鏡は、84 cm から 174 cm までです。

子どもも同じように計算します。

• 上端：(100 ＋ 110) ÷ 2 ＝ 105 cm
• 下端：(100 ＋ 0) ÷ 2 ＝ 50 cm

子どもに要る鏡は、50 cm から 105 cm までです。

(2) 2 人とも全身を見るには

2 人とも全身を見るには、2 人分の範囲を両方ふくむ鏡が要ります。上は高いほうの 174 cm まで、下は低いほうの 50 cm までです。鏡の長さは 174 − 50 ＝ 124 cm になります。

とても多いまちがい：大人に要る長さは 90 cm、子どもに要る長さは 55 cm です。だから「長いほうの 90 cm があれば足りる」と考えてしまう人が多くいます。長いほうに合わせるのは自然な考え方です。でも、長さだけを比べると、鏡がどの高さに要るのかが分からなくなってしまいます。大人に要るのは 84 cm から 174 cm まで、子どもに要るのは 50 cm から 105 cm までです。2 人に要る範囲の高さがずれているので、90 cm の鏡をどこにかけても、両方の範囲をおおうことはできません。
範囲は床からの高さで書き出して、両方をふくむように合わせましょう。

(3) 立つ距離は関係する？

答えは「関係しない」です。

(1) で 2 m や 4 m という距離を使ったのは、鏡が人と像のちょうど真ん中にあることを見つけるためでした。高さを出す式は「目の高さとその点の高さを足して 2 でわる」だけで、立つ距離は入っていません。

人がどこに立っても、像は鏡の向こうの、人と同じ距離の所にできます。だから、鏡はいつも人と像の真ん中にあります。そのため、目と像を結ぶ線は、鏡の所でいつも「目の高さとその点の高さの真ん中」を通ります。

• 「式に距離が入っていないから」とだけ書いた人：目のつけどころは合っています。でも、それだけでは満点になりません。その式が使えるのは、どこに立っても鏡が人と像の真ん中にあるからです。そこまで書きましょう。
• 「離れるほど小さく映るから、短い鏡でいい」と考えた人：遠くの物ほど小さく見える、というふだんの感覚から出てくる考えです。でも、人が鏡から離れると、像も同じだけ遠ざかります。鏡が人と像の真ん中にあることは変わらないので、鏡に要る範囲も同じです。

答えと解き方をまとめると、次のとおりです。

使う決まり②　方眼で見る反射の向き

問2は、光の向きを方眼でたどっていく問題です。その前に、「入射角と反射角が等しい」ということを方眼で見るとどうなるかを確かめておきます。

もう一度、「使う決まり①」の図（物 A・像 A′・点 P・目 E の図）を使います。

• A から P へ進む光は「右へ 3 マス・下へ 2 マス」の向きです。
• P から E へ進む光は「右へ 6 マス・上へ 4 マス」の向きです。割合でいえば「右へ 3 マスに上へ 2 マス」です。

2 本の線は、上下の向きは逆（下へ／上へ）ですが、横と縦のマスの割合（横 3：縦 2）は同じです。入射角と反射角が等しいことは、方眼ではこのように表れます。

入る光とはね返る光を比べると、次のことが分かります。

入る光：右へ 3・下へ 2　→　はね返る光：右へ 3・上へ 2
– 鏡に向かう向き（ここでは「下へ」）は、逆になる（「上へ」に変わる）
– 鏡にそった向き（ここでは「右へ 3」）は、そのまま

では、鏡が 2 枚あったらどうなるでしょうか。

問2　直角に組み合わせた 2 枚の鏡

問いの図は、横 8 マス・縦 10 マスの方眼を真上から見たもので、左下の角を基準にしています。左の辺には縦の鏡（下から上へ 10 マス）、下の辺には横の鏡（左から右へ 8 マス）があり、2 枚は左下の角で直角に組み合わさっています。どちらの鏡も、うしろ側（縦の鏡は左側、横の鏡は下側）に斜線がかいてあり、鏡の面は右上の内側を向いています。方眼の上の辺の、右へ 3 マスの所に光のはじめの点があります。そこから、はじめの向きを示す短い矢印が、右へ 2 マス・上へ 8 マスの点までかいてあります。

(1) 光の道すじを方眼でたどる

1 回目の反射まで
光は「左へ 1・下へ 2」の向きに進みます。はじめの点は右へ 3 マスの所にあるので、左へ 3 マス進むと縦の鏡に着きます。そのあいだに下へ 6 マス進みます。上へ 10 マスから 6 マス下がるので、光は縦の鏡の「上へ 4 マス」の点に当たります。

縦の鏡での反射
使う決まり②の横の鏡では、鏡に向かう「下へ」が逆になり、鏡にそった「右へ」はそのままでした。縦の鏡で、鏡に向かう向きは「左へ」です。これが「右へ」に変わります。鏡にそった「下へ 2」はそのままです。新しい向きは「右へ 1・下へ 2」になります。

2 回目の反射まで
上へ 4 マスの点から、右へ 1 マス進むごとに 2 マス下がります。右へ 2 マス進むと高さが 0 になるので、光は横の鏡の「右へ 2 マス」の点に当たります。

横の鏡での反射
鏡に向かう「下へ」が「上へ」に変わり、「右へ 1」はそのままです。光は「右へ 1・上へ 2」の向きに進み、方眼の上の辺の、右へ 7 マスの点に出ます。

下の図は、この道すじを問いの図にかき入れたものです。区間ごとに「左 1・下 2」「右 1・下 2」「右 1・上 2」と書いてあり、はじめの光と最後の光は同じ色でかいてあります。

(2) 最後の向きと、はじめの向きの関係

はじめの向きは「左へ 1・下へ 2」、最後の向きは「右へ 1・上へ 2」です。横の向きも縦の向きも逆になっています。つまり、最後の光ははじめの光と平行で、ちょうど逆向きです。光は来た方へもどります。

(3) どんな向きでも成り立つ？

答えは「成り立つ」です。ここで考えるのは、問いにあるとおり、光が両方の鏡に当たるときです。(1) の説明を、数を使わずに言い直してみます。

• 縦の鏡では、横の向きだけが逆になる。
• 横の鏡では、縦の向きだけが逆になる。
• 両方の鏡で 2 回反射すると、横の向きも縦の向きも 1 回ずつ逆になる。横も縦も逆なら、それは来た向きのちょうど反対である。

この説明には、はじめの向きが「左へ 1・下へ 2」だったことは出てきません。だから、光が両方の鏡に当たるかぎり、どんな向きから来ても成り立ちます。先に横の鏡に当たっても、逆になる順番が入れかわるだけで、結果は同じです。

「この向きではもどった」と例を 1 つだけ書いた人：例でためしてみるのは、とてもよい方法です。でも、1 つの例だけでは、ほかの向きでも成り立つ理由にはなりません。数を使わずに説明できたら、満点の答えです。

身の回りでは：自転車の反射板には、このしくみが使われています。反射板には、直角に組み合わせた小さな面がたくさん並んでいます。車のライトの光が当たると、光はライトの方へ、つまり運転している人の方へもどります。だから反射板はよく目立つのです。

使う決まり③　屈折と全反射

問3は、屈折と全反射の問題です。決まりを 3 つふり返っておきます。

1. 屈折：光が空気と水の境界をななめに通りぬけるとき、光は曲がります。角は、境界面に垂直な線から測ります。どちらの向きに進むときも、空気側の角のほうが大きくなります。
2. 全反射：水の中から空気へ出ようとする光で、入射角がある大きさより大きくなると、光は空気中へ出られず、水面で全部はね返ります。全反射が起こる条件は次の 2 つです。
   – ① 水（ガラス）から空気へ進む光であること
   – ② 入射角が大きいこと
3. 物が見えるしくみ：物が見えるのは、その物から来た光が目に入ったときです。目は、届いた光がまっすぐ来たと感じます。だから、何が見えるかを考えるときは、目に届いた光がどこから来たのかをたどります。

問3　プールの中から見上げた水面

プールにもぐって水面を見上げると、真上に近い所には外の景色が見えます。ところが、遠くの水面（ななめに見る所）は鏡のようになって、プールの底や壁が映って見えます。

問いの図はプールの断面で、水の中に目がかいてあります。目から真上に近い向きにのびる線は、水面で外へつながっています。外から来た光が水面で曲がって目に届く、ということです。目から遠くの水面へのびるななめの線は、水面で折り返して、プールの底の 1 点へつながっています。

考え方：目に届いた光を、目から逆にたどる

見えるものは、目に届いた光の出どころです。目から逆にたどって考えます。

まず、真上に近い所を見る向き
目へ向かう光は、水の中を、水面に垂直な線に近い向きに進んでいます。外の光は空気から水へ進むので、空気側の角が入射角、水の中で目へ向かう向きの角が屈折角です。この向きでは屈折角が小さく、外の光の入射角も小さくなっています。

外の光は、水の中では「真上に近い向きの範囲」に進みます（このことは (2) でくわしく見ます）。真上に近い向きはこの範囲の中にあるので、外の光が水面で屈折して目に届きます。だから外の景色が見えるのです。

下の図は、問いの図に説明をかき入れたものです。かき入れてあるのは、次のものです。

• 真上に近い向きの線のところ：水面に垂直な点線と、空気側の「入射角」、水側の「屈折角」
• 目を頂点にして、上の辺が水面になった、色のついた三角形の範囲：外の光が届く「真上に近い向きの範囲」
• ななめの線のところ：水面に垂直な点線と、「全反射」の文字
• 右から水面すれすれに入ってきて、水の中で曲がって目に届く「水面すれすれに入った外の光」（1 本）。色のついた三角形の範囲の右のふちは、この光が水の中で進む向きと重なっています。左のふちは、反対側（左）から水面すれすれに入る外の光の向きにあたります（その光は図にはかいてありません）。

真上に近い向きの線は色のついた三角形の範囲の中にあり、全反射のななめの線は範囲の外にあります。

(1) 遠くの水面に底や壁が映るのはなぜ？

遠くの水面をななめに見る向きでは、目から水面への線が寝ています。そのため、この線と水面に垂直な線とのあいだの角は大きくなります。この向きで目に届く光を逆にたどると、水の中から水面に、大きな入射角で当たる光です。

全反射の条件を確かめます。

• ① 水から空気へ進む向き → そろっている
• ② 入射角が大きい → そろっている

2 つがそろうので、全反射が起こります。底や壁から出た光が水面で全部はね返って、目に届きます。だから、水面が鏡のように見えるのです。

「水面で反射するから」とだけ書いた人：方向は合っていて、あと一歩です。水面やガラスのように光を通す物の境界での反射では、ふつうは光の一部しかはね返りません。夜の窓ガラスのように、一部の反射でも物が映って見えることはあります。だから、映り方だけでは全反射かどうか決められません。ここが全反射だと言えるのは、2 つの条件がそろって、光が全部はね返るからです。「全反射」と「大きな入射角」の両方を書きましょう。

(2) 遠くの水面に外の景色が見えないのはなぜ？

3 問の中で、いちばん頭を使うところです。落ち着いて考えましょう。

外の景色の光は、空気から水へ入る光です。空気側の角のほうが大きいので、水の中では、垂直な線に近づく向きに曲がります。そのため、どんなに水面すれすれに入ってきても、水の中では水面に沿う向きには進めません。外の光が水の中で進める向きには、限りがあるのです。これが、上の図の色のついた三角形の範囲「真上に近い向きの範囲」です。

ここから先は、この記事でふり返った決まり（使う決まり①〜③）だけでは確かめられません。実際には、その範囲のふちより寝た向きが、ちょうど (1) の全反射で鏡に見える向きになっています。遠くの水面をななめに見る向きは範囲の外なので、外の光は来ません。

• 「屈折するから」とだけ書いた人：それだけでは、光がどちらへ曲がるのかも、なぜその向きに外の光が来ないのかも分かりません。「垂直な線に近づく向きに曲がる」まで書きましょう。
• 「遠くの水面では全反射が起きているので、外の光が入ってこない」と書いた人：(1) とつなげて全反射で説明しようとした考え方はよいです。ただ、全反射は水から空気へ進む光で起こるもので、空気から入る外の光には起こりません。だから、外の光が来ない理由にはなりません。

(3) 外から見下ろすと、水面は底を映す鏡になる？

今度は、目がプールの外、空気の中にあるときを考えます。目に届く光は、次のどちらかです。

• 水の中から水面を通って出てきた光
• 空気中で水面に当たって、はね返った光

2 つめの、空気中で水面に当たってはね返る光は、外から来た光です。底から出た光ではありません。だから、この一部の反射で何かが映って見えることはあっても、映るのは外の物で、水の中の底は映りません。また、空気側から来た光のはね返りは、全反射ではありません。全反射は、水から空気へ進む光で起こるものでした。

では、底から出て水面ではね返る光はどうでしょうか。この光は、全反射でもそうでなくても、はね返ったあとは水の中にもどります。全反射した光も水の中にとどまるので、外の目には届きません。だから答えは「ない」です。

「全反射は水から空気へ進む光で起こるから」で止めた人：もう一歩です。「全反射した光は水の中に残って、外の目に届かない」まで書くと、外から底が映らない理由になります。

初めて見る現象でも、次の 2 つを使えば説明を組み立てられます。

• 目に届く光を、逆にたどること
• 全反射の 2 つの条件を確かめること

まとめ：この記事でできるようになったこと

1. 全身を映す鏡：鏡の上端と下端は、目の高さと、頭やつま先の高さのちょうど真ん中です。鏡がいつも人と像の真ん中にあるからで、立つ距離には関係しません。
2. 直角に組み合わせた 2 枚の鏡：光が両方の鏡に当たるとき、縦の鏡で横の向きが、横の鏡で縦の向きが逆になります。2 回の反射で両方が逆になるので、光はどんな向きから来ても来た方へもどります。
3. 全反射：水（ガラス）から空気へ進む向きと、大きな入射角の 2 つがそろったときに起こります。初めて見る現象も、目に届く光をたどって、この 2 つを確かめれば説明できます。

この 3 つを、自分の言葉で言えるか試してみてください。言葉につまったところがあれば、その問題の説明に戻って読み直しましょう。

ページの下には、プリントへのリンクがあります。プリントには、この記事の問1〜問3が同じ番号で載っていて、書きこめます。宿題と、宿題を画面で解ける練習問題のページ、宿題の解説動画へのリンクもあります。

このシリーズは「基礎」→「入試基礎」→「入試応用」の 3 段で進んでいて、この回は「入試応用」です。次は「入試の応用：凸レンズ」の回です。

よくある質問

Q. 鏡から離れて立てば、短い鏡でも全身が映りますか？
A. いいえ。人が離れると、像も鏡の向こうへ同じだけ遠ざかります。鏡がいつも人と像のちょうど真ん中にあることは変わらないので、鏡に要る範囲（目の高さと頭やつま先の高さの真ん中）も同じです。

Q. 2 人で使う鏡は、長いほうの人に必要な長さがあれば足りますか？
A. 足りないことがあります。問1では、大人に要る長さは 90 cm ですが、大人に要る範囲（84〜174 cm）と子どもに要る範囲（50〜105 cm）は高さがずれています。90 cm の鏡をどこにかけても、両方はおおえません。範囲を床からの高さで書き出して、両方をふくむように合わせると、50〜174 cm の 124 cm になります。

Q. プールの外から見下ろしたときも、水面は水の中の底を映す鏡になりますか？
A. なりません。全反射が起こる条件（水（ガラス）から空気へ進む光であること・入射角が大きいこと）は、目がどこにあっても同じです。空気側から水面に当たってはね返る光は、水から空気へ進む光ではないので、全反射ではありません。それに、この光は外から来た光なので、底は映りません。水の中では、底から出た光が大きな入射角で水面に当たれば、全反射が起こります。でも、全反射した光は水の中に残るので、外の目には届きません。だから、外から見下ろした水面が、水の中の底を映す鏡になることはありません。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b（準備中）
• Step 1c
• Step 1d（準備中）
• Step 2a（準備中）
• Step 2b（準備中）
• Step 3a（この記事）
• Step 3b（準備中）

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