【数学 中学1年 #4】比例と反比例（負の比例含む） 練習問題（STEP 1-1）

ア、エ

解き方

– ア：\(\displaystyle y=80x\) で 1 つに決まります。
– イ：同じ年齢でも、身長は人によって違います。
– ウ：周が 12 cm でも、縦 1 cm・横 5 cm なら面積は 5 cm²、縦 2 cm・横 4 cm なら 8 cm² です。面積は 1 つに決まりません。
– エ：\(\displaystyle x=7\) ならあまりは 1、\(\displaystyle x=9\) なら 0 です。\(\displaystyle x\) を決めれば、あまりは 1 つに決まります。比例ではありませんが、関数です。

– (1) \(\displaystyle 3<x≦10\)
– (2) \(\displaystyle −5≦x<0\)
– (3) \(\displaystyle −1\)、0、1、2、3、4

解き方

– 「以上」「以下」はその数をふくむので \(\displaystyle ≧・≦\)、「より大きい」「未満」はふくまないので \(\displaystyle ＞\allowbreak ・＜\) です。(1)(2) のように端が 2 つあり、\(\displaystyle x\) を真ん中にはさむ形では、小さい数を左に書くので、記号は \(\displaystyle ≦\) か \(\displaystyle ＜\) になります。
– (3) は両端に \(\displaystyle ≦\) がついているので、−1 も 4 もふくみます。0 を忘れないようにしましょう。

順に 10、5、0、−5、−10、−15

解き方

– \(\displaystyle (−5)×(−2)=10\) のように、負×負は正です。
– \(\displaystyle x\) が 1 から 2（2 倍）になると、\(\displaystyle y\) は −5 から −10（2 倍）になっています。

\(\displaystyle y=−\frac{4}{3}x\)

解き方

– \(\displaystyle y÷x\) を計算します。\(\displaystyle 4÷(−3)=−\frac{4}{3}\)、\(\displaystyle (−8)÷6=−\frac{4}{3}\) です。
– \(\displaystyle x=0\) の列は、0 ではわれないので使いません。

– (1) \(\displaystyle y=−3x\)、\(\displaystyle y=−15\)
– (2) \(\displaystyle y=\frac{2}{3}x\)、\(\displaystyle x=−9\)
– (3) \(\displaystyle x=12\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle −12=4a\) より \(\displaystyle a=−3\) です。\(\displaystyle y=−3×5=−15\)。
– (2)：\(\displaystyle −4=−6a\) より \(\displaystyle a=\frac{2}{3}\) です。\(\displaystyle −6=\frac{2}{3}x\) の両辺に \(\displaystyle \frac{3}{2}\) をかけて、\(\displaystyle x=−9\)。負÷負で比例定数は正になります。
– (3)：\(\displaystyle 6=−8a\) より \(\displaystyle a=−\frac{3}{4}\) です。\(\displaystyle −9=−\frac{3}{4}x\) の両辺に \(\displaystyle −\frac{4}{3}\) をかけて、\(\displaystyle x=12\)。
– \(\displaystyle y\) から \(\displaystyle x\) を求めるときは、\(\displaystyle y\) に数を入れて方程式を解きます。

正しくない。
– 理由の見本：\(\displaystyle y=−4x\) は \(\displaystyle y=ax\) の形（\(\displaystyle a=−4\)）で表されるので、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に比例する。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) が減るのは、比例定数が負だからである。
– 次のどれか 1 つを、この関係に当てて書けていれば正解とします。
– \(\displaystyle y=−4x\) が \(\displaystyle y=ax\) の形で表されること。
– \(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると \(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍になること（たとえば、\(\displaystyle x\) が 1 から 2 になると、\(\displaystyle y\) は −4 から −8 になる）。
– \(\displaystyle y÷x\) がどれも −4 で一定であること。
– 「増える・減るは比例の条件ではない」とだけ書き、式の形や性質をこの関係に当てていない答えは、理由が足りないので正解にしません。意見の理由がまちがいだと言っているだけで、この関係が比例であることを示していないからです。

解き方

– 比例かどうかは、\(\displaystyle y=ax\) の形で表されるかで決まります。
– \(\displaystyle y=−4x\) は比例定数が −4 で負なので、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減ります。それでも、\(\displaystyle x\) が 1 から 2（2 倍）になると \(\displaystyle y\) は −4 から −8（2 倍）になり、\(\displaystyle y÷x\) はどれも −4 で一定です。だから比例です。

– (1) \(\displaystyle y=4x\)。\(\displaystyle y=ax\) の形で表されるから、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に比例する。比例定数 4 は、1 時間に進む道のり（時速）を表す。
– (2) \(\displaystyle y=−2x\)。\(\displaystyle y=ax\) の形で表されるから、\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に比例する。比例定数 −2 は、1 時間あたりの水位の変化（1 時間に 2 cm 下がること）を表す。
– (3) \(\displaystyle y=5x+100\)。比例しない。

解き方

– 比例することを示すときは、動画で習った比例の決まりに当てて、「\(\displaystyle y=4x\) と表され、\(\displaystyle y=ax\) の形だから比例する」と書きます。これを見本にします。
– 「\(\displaystyle x\) が 2 倍、3 倍になると \(\displaystyle y\) も 2 倍、3 倍になるから」と書いた答えも、正解にします。これも比例の性質で、動画の問3 で、比例定数が負のときも成り立つことを確かめたからです。ただし、「\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えるから」は正解にしません。(2) のように、比例でも \(\displaystyle y\) が減ることがあるからです。
– (3) は、\(\displaystyle x\) が 2 倍になっても、ジュースの 100 円は 2 倍になりません。＋100 があるので、比例ではありません。

– (1) \(\displaystyle y=2x\)
– (2) \(\displaystyle y=−6\)。3 時間前の気温は、今より 6 ℃低かった。

解き方

– \(\displaystyle x=−3\) は「3 時間前」です。\(\displaystyle y=2×(−3)=−6\) です。
– \(\displaystyle y\) は、今の気温を 0 としたときの、その時の気温です。つまり、今より何℃高いか（＋）、低いか（−）を表します。
– だから \(\displaystyle y=−6\) は、「3 時間前に 6 ℃下がった」という意味ではありません。「3 時間前の気温は、今より 6 ℃低かった」という意味です。
– 気温は上がり続けているので、前のほうが低いはずです。答えは場面と合っています。