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中学1年

座標の読み方と比例のグラフのかき方（中1数学 比例②）

栞先生

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

  • 平面の上の点の場所を、座標 \(\displaystyle (x, y)\) という 2 つの数で言い表す方法
  • 比例のグラフが原点を通る直線になるわけと、自分でかくときの手順（比例定数が分数のときもふくむ）
  • グラフを見て比例の式を言う方法と、点がグラフの上にあるかどうかを式で確かめる方法

場所は「数 2 つ」で決まる

グラフは点や線がたくさんあるので、どこを見ればいいのか分からなくなりがちです。そう感じている人は多いので、この記事ではいちばん最初のところから始めます。

映画館の座席や地図では、「横に何番目、縦に何番目」と場所を言いますね。数を 2 つ言えば、場所が 1 つに決まります。

数学でも同じやり方をします。ただし数学では、左や下にも場所があります。そこで、正負の数のときに使った数直線を使います。

座標平面：\(\displaystyle x\) 軸・\(\displaystyle y\) 軸・原点

まず、数直線を横に 1 本置きます。右が正、左が負です。

次に、もう 1 本の数直線を縦に置きます。横の数直線の 0 のところで、直角に交わるようにします。縦の数直線は、上が正、下が負です。

−5−4−3−2−1012345 54321−1−2−3−4−5 x 軸y 軸 原点 O

ここで名前を 4 つ覚えます。いっぺんに出てくるので、ゆっくりで大丈夫です。

  • 横の数直線 … \(\displaystyle x\) 軸（右が正、左が負）
  • 縦の数直線 … \(\displaystyle y\) 軸（上が正、下が負）
  • \(\displaystyle x\) 軸と \(\displaystyle y\) 軸を合わせたもの … 座標軸
  • 2 本が交わる点 … 原点。アルファベットの \(\displaystyle O\) で表します。

そして、\(\displaystyle x\) 軸と \(\displaystyle y\) 軸がかかれた平面のことを座標平面と言います。

では、この平面の上にある点の場所は、どうやって数で言えばいいのでしょうか。

点の座標の読み方・書き方

\(\displaystyle x\) 軸・\(\displaystyle y\) 軸のある方眼に、点 \(\displaystyle P\) がかいてあるとします。

\(\displaystyle P\) からまっすぐ下へおろすと、\(\displaystyle x\) 軸の 4 の目もりに着きます。\(\displaystyle P\) から横へまっすぐ動くと、\(\displaystyle y\) 軸の 1 の目もりに着きます。このとき、\(\displaystyle P\) の場所を \(\displaystyle P(4, 1)\) と書きます。

  • 4 … 点 \(\displaystyle P\) の \(\displaystyle x\) 座標（横）
  • 1 … 点 \(\displaystyle P\) の \(\displaystyle y\) 座標（縦）
  • \(\displaystyle (4, 1)\) … 点 \(\displaystyle P\) の 座標

いちばん大事なのは順番です。必ず、横の \(\displaystyle x\) が先、縦の \(\displaystyle y\) があとです。原点から見ると、\(\displaystyle P(4, 1)\) は「右へ 4、上へ 1 進んだ点」と言うこともできます。

左や下に進むときは、負の数を使います。たとえば点 \(\displaystyle Q\) が原点から左へ 2、上へ 3 の場所にあれば、左は負なので \(\displaystyle Q(−2, 3)\) です。

軸の上にある点

軸の上にある点はどう書くのでしょうか。

  • 点 \(\displaystyle R\) は \(\displaystyle y\) 軸の上にあり、原点から上へ 3 の場所です。横には動いていないので、\(\displaystyle x\) 座標は 0。\(\displaystyle R(0, 3)\) です。
  • 点 \(\displaystyle S\) は \(\displaystyle x\) 軸の上にあり、原点から右へ 2 の場所です。縦には動いていないので、\(\displaystyle y\) 座標は 0。\(\displaystyle S(2, 0)\) です。
  • 原点は、横にも縦にも動いていないので \(\displaystyle O(0, 0)\) です。
xy P 左へ 2 上へ 3 Q R S −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5 O

軸の上の点は、片方の座標が 0 になります。\(\displaystyle x\) 軸の上なら \(\displaystyle (\square , 0)\)、\(\displaystyle y\) 軸の上なら \(\displaystyle (0, \square )\) の形です。

問1　座標を読む・点をとる

ここまでの内容で問題を解いてみましょう。答えはすぐ下に書いてありますが、先に自分で考えてみてください。

xy A B C D −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5 O

問1
(1) 点 \(\displaystyle A〜D\) の座標を答えなさい。
(2) 点 \(\displaystyle E(2, −5)\)、\(\displaystyle F(−3, 0)\) を図にかき入れなさい。

答え
(1) \(\displaystyle A(3, 2)\)　\(\displaystyle B(−4, 1)\)　\(\displaystyle C(−2, −3)\)　\(\displaystyle D(0, −4)\)
(2) \(\displaystyle E\) … 右へ 2、下へ 5
　　\(\displaystyle F\) … 左へ 3（\(\displaystyle x\) 軸の上）

【注意】
\(\displaystyle D\) は \(\displaystyle (0, −4)\)
\(\displaystyle (−4, 0)\) は \(\displaystyle x\) 軸の上の、別の点

解き方

「横が先、縦があと」を確かめながら見ていきます。

  • \(\displaystyle A\) は原点から右へ 3、上へ 2 なので \(\displaystyle (3, 2)\) です。
  • \(\displaystyle B\) は左へ 4、上へ 1。左は負なので \(\displaystyle (−4, 1)\) です。
  • \(\displaystyle C\) は左へ 2、下へ 3。どちらも負なので \(\displaystyle (−2, −3)\) です。
  • \(\displaystyle D\) は \(\displaystyle y\) 軸の上にあります。横には動いていないので、\(\displaystyle x\) 座標は 0。下へ 4 なので \(\displaystyle (0, −4)\) です。
xy A B C D 右へ 2 下へ 5 E (3, 2) (−4, 1) (−2, −3) (0, −4) (−4, 0) 別の点 左へ 3 F −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5 O

\(\displaystyle D\) を \(\displaystyle (−4, 0)\) と書いてしまった人はいませんか。 \(\displaystyle −4\) が目に入るので、先に書きたくなる気持ちは自然です。でも \(\displaystyle (−4, 0)\) は、原点から左へ 4 進んだ \(\displaystyle x\) 軸の上の点で、\(\displaystyle D\) とはまったく別の場所です。

(2) の \(\displaystyle E(2, −5)\) は、原点から右へ 2、下へ 5 の点です。

\(\displaystyle F(−3, 0)\) は \(\displaystyle y\) 座標が 0 なので、縦には動きません。原点から左へ 3 の、\(\displaystyle x\) 軸の上の点です。\(\displaystyle F\) を \(\displaystyle y\) 軸の上にかいた人は、\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) が入れかわっています。

座標を見たら、まず横、次に縦。この順で動けば大丈夫です。

比例のグラフは原点を通る直線

小学校で、比例のグラフはまっすぐな線になると習いました。でもそのときは 0 から始まって、0 以上の数だけで、負の数は出てきませんでした。中学では、\(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も負の数になります。負の数まで入れても、グラフはまっすぐなままなのでしょうか。

比例は、\(\displaystyle y=ax\) の形で表せる関係のことでした。\(\displaystyle a\) は比例定数で、負の数でもかまいません。

まず \(\displaystyle y=2x\) で確かめます。表の \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組を、そのまま座標にします。

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle −2\)\(\displaystyle −1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle y\)\(\displaystyle −4\)\(\displaystyle −2\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 4\)

これで \(\displaystyle (−2, −4)\)、\(\displaystyle (−1, −2)\)、\(\displaystyle (0, 0)\)、\(\displaystyle (1, 2)\)、\(\displaystyle (2, 4)\) の 5 つの点をとります。

では、その間の点はどこに来るでしょうか。\(\displaystyle x=0.5\) なら \(\displaystyle y=1\)、\(\displaystyle x=1.5\) なら \(\displaystyle y=3\) です。とってみると、さっきの点のちょうど間に入ります。\(\displaystyle x=−0.5\)、\(\displaystyle x=−1.5\) でも同じです。

このように間の点をどんどん足していくと、点がつながって 1 本のまっすぐな線になります。負の側まで、ずっとまっすぐです。

xy y＝2x −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5

しかも、この線は原点を通っています。比例では、\(\displaystyle x=0\) のとき \(\displaystyle y=a×0\) なので、\(\displaystyle y\) はいつも 0 になるからです。

比例のグラフは、原点を通る直線です。

比例定数とグラフの向き

比例定数が負のとき、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減ります。これは前の回で学びました。では、\(\displaystyle y=−x\) のグラフはどちら向きの直線になるでしょうか。

\(\displaystyle y=x\)、\(\displaystyle y=3x\)、\(\displaystyle y=−x\)、\(\displaystyle y=−\frac{1}{2}x\) の 4 本の直線を、1 つの図にかいて比べます。

  • \(\displaystyle y=x\) と \(\displaystyle y=3x\) は、左下から右上へのぼっていきます。これを右上がりと言います。
  • \(\displaystyle y=−x\) と \(\displaystyle y=−\frac{1}{2}x\) は、左上から右下へ下りていきます。これを右下がりと言います。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) が減るので、右へ進むほど下がっていきます。

\(\displaystyle a\) が正なら右上がり、\(\displaystyle a\) が負なら右下がりです。

線の急さ

次は、線の急さを比べます。

  • \(\displaystyle y=3x\) では、\(\displaystyle x\) が 1 増えると \(\displaystyle y\) は 3 増えます。\(\displaystyle y=x\) では 1 しか増えません。だから \(\displaystyle y=3x\) のほうが急です。
  • 負のときも同じです。\(\displaystyle y=−x\) は \(\displaystyle x\) が 1 増えると 1 下がり、\(\displaystyle y=−\frac{1}{2}x\) は \(\displaystyle \frac{1}{2}\) しか下がりません。だから \(\displaystyle y=−x\) のほうが急です。
xy y＝3x y＝x y＝−x y＝− 1 2 x y ＋3 y ＋1 y −1/2 y −1 −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5

比例定数の符号をとった数が大きいほど、グラフは急になります。

こういう変わり方を、次のように言います。

  • \(\displaystyle y=3x\) … 「\(\displaystyle x\) が 1 ずつ増えると、\(\displaystyle y\) は 3 ずつ増加する」
  • \(\displaystyle y=−x\) … 「\(\displaystyle x\) が 1 ずつ増えると、\(\displaystyle y\) は 1 ずつ減少する」

比例のグラフのかき方

自分でグラフをかくとき、点はいくつとればいいのでしょうか。

比例のグラフは原点を通る直線です。直線は、2 つの点が決まれば 1 本に決まります。原点は必ず通るので、あともう 1 点だけとればかけます。

【比例のグラフのかき方】

  1. 原点をとる
  2. もう 1 点をとる。\(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も整数になる点を選ぶ
  3. 定規で結び、図の端までのばす

もう 1 点に、\(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も整数になる点を選ぶのは、目もりの交わる所にぴったり乗るので、正確にとれるからです。

比例定数が分数のとき

いちばんつまずきやすいのは、比例定数が分数のときです。

\(\displaystyle y=−\frac{1}{2}x\) で \(\displaystyle x=1\) にすると、\(\displaystyle y=−\frac{1}{2}\) で、目もりの途中になってしまいます。そこで、分母の \(\displaystyle 2\) を \(\displaystyle x\) にします。\(\displaystyle x=2\) なら \(\displaystyle y=−1\) で、整数になります。あとは原点と \(\displaystyle (2, −1)\) を結べばかけます。

xy y＝− 1 2 x とりにくい −5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4−5

最後に、線は定規で図の端までのばします。原点や、とった点のところで止めてはいけません。\(\displaystyle x\) が負の側にも、グラフは続いているからです。

問2　比例のグラフをかく

今度は自分でグラフをかいてみましょう。

xy −6−4−2246642−2−4−6 O

問2　次のグラフをかきなさい。
(1) \(\displaystyle y=−2x\)
(2) \(\displaystyle y=\frac{2}{3}x\)

答え
(1) 原点と \(\displaystyle (1, −2)\) を通る直線
　　\(\displaystyle (2, −4)\)、\(\displaystyle (−2, 4)\) も通る。右下がり
(2) 原点と (3, 2) を通る直線
　　\(\displaystyle (6, 4)\)、\(\displaystyle (−3, −2)\) も通る。右上がり

【注意】
近い 2 点だけだと、向きがずれやすい
線は原点で止めない

解き方

(1) \(\displaystyle y=−2x\)

原点は必ず通ります。もう 1 点は、\(\displaystyle x=1\) にすると \(\displaystyle y=−2\) なので \(\displaystyle (1, −2)\) です。原点と \(\displaystyle (1, −2)\) を結べばかけます。

ただ、近い 2 点だけで結ぶと、定規の向きが少しずれただけで、線の先が大きくずれてしまいます。少し離れた \(\displaystyle (2, −4)\) もとっておくと正確です。\(\displaystyle x=−2\) なら \(\displaystyle y=4\) なので、\(\displaystyle (−2, 4)\) も通ります。

比例定数が \(\displaystyle −2\) で負なので、右下がりになっていれば合っています。

(2) \(\displaystyle y=\frac{2}{3}x\)

\(\displaystyle x=1\) にすると \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \frac{2}{3}\) で、目もりの途中になり、点がとりにくくなります。ここで、分数のときのやり方を使います。分母の \(\displaystyle 3\) を \(\displaystyle x\) にすると、\(\displaystyle y=\frac{2}{3}×3=2\) で整数になります。原点と \(\displaystyle (3, 2)\) を結びます。\(\displaystyle (6, 4)\) や \(\displaystyle (−3, −2)\) も通ります。

比例定数が正なので、右上がりです。

xy y＝−2x とりにくい y＝ 2 3 x −6−4−2246642−2−4−6 O

どちらも、線は原点や 2 点のところで止めずに、図の端までのばしましょう。

グラフ上の点とは

\(\displaystyle y=2x\) のグラフで考えます。

点 \(\displaystyle (3, 6)\) は、このグラフの上にあるでしょうか。図で見ると乗っています。これは式でも確かめられます。\(\displaystyle x=3\) を代入すると \(\displaystyle y=2×3=6\)。点の \(\displaystyle y\) 座標の \(\displaystyle 6\) と同じになって、式が成り立ちます。

では、点 \(\displaystyle (3, 5)\) はどうでしょう。\(\displaystyle x=3\) を入れると \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle 6\) で、\(\displaystyle 5\) にはなりません。だから、グラフの上にはありません。

次は点 \(\displaystyle (50, 100)\) です。これは図にはかききれません。でも、\(\displaystyle 2×50=100\) で式が成り立つので、グラフの上にあります。図の外の点でも、式に入れれば分かるのです。

xy y＝2x (3, 6) 成り立つ (3, 5) 成り立たない (50, 100) (2, 4) −6−4−2246642−2−4−6

グラフ上の点は、式を成り立たせる \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組です。

この考えは、このあとの入試の回でもずっと使います。

グラフから式を読む

逆に、グラフから式を読むときも、同じ考えを使います。グラフ上の点を \(\displaystyle y=ax\) に入れればよいのです。

たとえば、原点と \(\displaystyle (2, 4)\) を通る直線なら、\(\displaystyle 4=a×2\) で \(\displaystyle a=2\)。式は \(\displaystyle y=2x\) です。

使う点は、目もりの交わる所にぴったり乗っている点を選びましょう。

問3　グラフから式を読み、グラフ上の点と変わり方を答える

最後の問題です。図には、原点を通る直線 ① と ② がかいてあります。

xy ① ② −6−4−2246642−2−4−6 O

問3
(1) ①、②の式を求めなさい。
(2) ②のグラフ上にある点をすべて選びなさい。
　　ア \(\displaystyle (8, −6)\)　イ \(\displaystyle (−8, −6)\)　ウ \(\displaystyle (−2, \frac{3}{2})\)
(3) ②で、\(\displaystyle x\) の値が 4 ずつ増えると、\(\displaystyle y\) の値はどのように変化しますか。

答え
(1) ① \(\displaystyle y=3x\)　② \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}x\)
(2) ア、ウ
(3) 3 ずつ減少する

(1) ① \(\displaystyle 3=a×1\) → \(\displaystyle a=3\)
　　② \(\displaystyle −3=4a\) → \(\displaystyle a=−\frac{3}{4}\)

(2) \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}x\) に \(\displaystyle x\) を入れる
ア \(\displaystyle x=8\) → \(\displaystyle y=−6\) ○
イ \(\displaystyle x=−8\) → \(\displaystyle y=6\) ×
ウ \(\displaystyle x=−2\) → \(\displaystyle y=\frac{3}{2}\) ○

比例定数が負 ↔ 減少 ↔ 右下がり
比例定数が正 ↔ 増加 ↔ 右上がり

解き方

(1) 式を求める

①は \(\displaystyle (1, 3)\) を通ります。\(\displaystyle y=ax\) に \(\displaystyle x=1\)、\(\displaystyle y=3\) を入れると、\(\displaystyle 3=a×1\) で \(\displaystyle a=3\)。式は \(\displaystyle y=3x\) です。

②は \(\displaystyle (4, −3)\) を通ります。\(\displaystyle −3=4a\) なので \(\displaystyle a=−\frac{3}{4}\)。式は \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}x\) です。「\(\displaystyle −\)」は分数の前に書きます。\(\displaystyle (−4, 3)\) を使っても、\(\displaystyle 3=−4a\) で同じ \(\displaystyle a\) になります。

②で \(\displaystyle x=1\) のところを読もうとした人もいるかもしれません。でもそこは目もりの途中で、読めません。目もりの交わる所にぴったり乗っている点を選ぶのがこつです。

xy ① ② (1, 3) (4, −3) ア (8, −6) イ (−8, −6) ウ (−2, 3/2) y −3 x ＋4 x ＋4 y −3 −6−4−2246642−2−4−6 O

(2) ②のグラフ上にある点を選ぶ

アとイは図の外にありますが、式に入れれば分かります。

  • ア：\(\displaystyle x=8\) を入れると \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}×8=−6\)。点の \(\displaystyle −6\) と同じなので、グラフ上にあります。
  • イ：\(\displaystyle x=−8\) を入れると \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}×(−8)=6\)。\(\displaystyle −6\) ではないので、グラフ上にはありません。アとは符号が 1 つ違うだけなのに、それでグラフの上かどうかが変わります。
  • ウ：\(\displaystyle x=−2\) を入れると \(\displaystyle y=−\frac{3}{4}×(−2)=\frac{3}{2}\)。ぴったり合うので、グラフ上にあります。目もりの途中の点でも、式なら迷わずに決められます。

答えはアとウです。

(3) \(\displaystyle x\) が 4 ずつ増えるときの \(\displaystyle y\) の変わり方

②のグラフの上で、原点から \(\displaystyle x\) を 4 増やすと \(\displaystyle (4, −3)\) に着きます。\(\displaystyle y\) は 0 から −3 になったので、3 減りました。\(\displaystyle (−4, 3)\) から \(\displaystyle x\) を 4 増やすと原点に着き、ここでも \(\displaystyle y\) は 3 減っています。

だから、\(\displaystyle x\) が 4 ずつ増えると、\(\displaystyle y\) は 3 ずつ減少します。

「3 ずつ増加」と書いた人は、3 という変わる大きさはちゃんとつかめています。あとは、増えたのか減ったのかを確かめましょう。

②は比例定数が負なので減少し、だからグラフは右下がりです。①なら、\(\displaystyle x\) が 1 ずつ増えると \(\displaystyle y\) は 3 ずつ増加し、グラフは右上がりです。

  • 比例定数が負 ↔ 減少 ↔ 右下がり
  • 比例定数が正 ↔ 増加 ↔ 右上がり

比例定数の正負、増加か減少か、グラフの向き。この 3 つはつながっています。

まとめ：座標と比例のグラフのきまり

  • 座標は \(\displaystyle (x, y)\) の順。横が先、縦があと
  • 軸の上の点は、片方の座標が 0
  • 比例のグラフは、原点を通る直線
  • \(\displaystyle a\) が正なら右上がり（\(\displaystyle y\) は増加）、\(\displaystyle a\) が負なら右下がり（\(\displaystyle y\) は減少）
  • もう 1 点は \(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も整数の点。比例定数が分数なら、分母の数を \(\displaystyle x\) にする。線は図の端までのばす
  • グラフ上の点 ＝ 式を成り立たせる \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組。図の外の点でも、式に入れれば確かめられる

「点の座標が言える」「比例のグラフがかける」「グラフから式が言える」。この 3 つを自分の言葉で言えるか、確かめてみてください。あやしいところがあれば、いつでもこの記事や動画に戻って見直せます。

次の回は反比例です。

よくある質問

Q. \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の順番をよく逆にしてしまいます。どうすれば防げますか。
A. 座標を見たら「まず横、次に縦」と決めて、その順に動きましょう。\(\displaystyle (0, −4)\) なら「横には 0（動かない）、縦に −4（下へ 4）」です。軸の上の点では特に入れかわりやすいので、\(\displaystyle (−4, 0)\) は \(\displaystyle x\) 軸の上、\(\displaystyle (0, −4)\) は \(\displaystyle y\) 軸の上の、まったく別の点だと覚えておきましょう。

Q. \(\displaystyle y=\frac{2}{3}x\) のように比例定数が分数のときは、どの点をとればいいですか。
A. 分母の数を \(\displaystyle x\) にします。\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x\) なら \(\displaystyle x=3\) にすると \(\displaystyle y=2\) で、\(\displaystyle (3, 2)\) のように \(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も整数の点がとれます。原点とその点を定規で結び、図の端までのばしましょう。

Q. 図にかききれない点が、グラフの上にあるかどうかはどうやって分かりますか。
A. 点の \(\displaystyle x\) 座標を式に入れて、出てきた \(\displaystyle y\) が点の \(\displaystyle y\) 座標と同じになるか確かめます。\(\displaystyle y=2x\) で点 \(\displaystyle (50, 100)\) なら、\(\displaystyle 2×50=100\) で同じなので、グラフの上にあります。同じにならなければ、グラフの上にはありません。

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