比例と反比例　入試の基礎｜5 つの手順で「何から手をつけるか」が分かる

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 比例か反比例かを、「増える・減る」ではなく式の形で見分ける方法
• グラフから式を読む問題と、\(\displaystyle y\) の変域の問題で、点を落とさない解き方
• 2 つのグラフが交わる点の問題で、どちらの式から使えばよいか

この記事の使い方

この記事では、入試によく出る比例・反比例の問題を、5 つの形に分けて 1 問ずつ解いていきます。目当ては、入試で比例や反比例の問題が出たときに、何から手をつければいいか迷わなくなることです。

比例の式 \(\displaystyle y=ax\)、反比例の式 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) と、それぞれのグラフを一通り学んだ人に向けた回です。まだの人や不安な人は、先に基礎の回（\(\displaystyle 1a\)・\(\displaystyle 1b\)・\(\displaystyle 1c\)）を読んでおくと、ずっと解きやすくなります。途中で戻っても大丈夫です。

ページのいちばん下から行けるプリントには、この記事の問1〜問5 が番号順に載っています。書きこみながら読み進めてもよいですし、ノートに写して解いてもかまいません。

今日の 5 問は次のとおりです。

1. 場面から比例・反比例を見分ける
2. 式を求めて値を出す
3. グラフから式を読む
4. \(\displaystyle y\) の変域
5. 2 つのグラフが交わる点

最初の一手は「比例か反比例か」を決めること

入試の問題で手が止まるのは、比例か反比例かを決めないまま計算を始めてしまったとき、ということがよくあります。反対に、型さえ決まれば、\(\displaystyle a\) の出し方もグラフの形も決まります。だから、最初にやるのは型を決めることです。

2 つを並べてみます。

反比例の式 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) をかけ算の形にすると \(\displaystyle xy=a\) になります。だから、反比例の \(\displaystyle a\) は \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) をかけると出ます。

下の図は、4 つのグラフの形を並べたものです。上の段が比例（左が \(\displaystyle a>0\)、右が \(\displaystyle a<0\)）、下の段が反比例（左が \(\displaystyle a>0\)、右が \(\displaystyle a<0\)）です。

ここで大事な決まりが 2 つあります。

決まり

• 型は式の形で決めます。「ともに増えるから比例」「一方が減るから反比例」という決め方はしません。
• 問題文に「比例」「反比例」と書いてあるときは、その言葉に印をつけてから \(\displaystyle a\) を出します。

たとえば \(\displaystyle y=−3x\) は、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減ります。それでも \(\displaystyle y=ax\) の形なので比例です。

問1　場面から比例・反比例を見分ける

どちらでもないものも、まず式を作ってみると見分けやすくなります。

1 つずつ式を作っていきます。

• ア：3 年後の年齢なので \(\displaystyle y=x+3\) です。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えますが、\(\displaystyle y=ax\) の形ではありません。確かめると、10 歳と 20 歳で \(\displaystyle x\) は 2 倍ですが、3 年後は 13 歳と 23 歳なので、2 倍になっていません。
• イ：食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度÷100 です。\(\displaystyle 200×x÷100\) で、\(\displaystyle y=2x\)。比例です。
• ウ：2000 円から代金を引くので、\(\displaystyle y=2000−x\) です。\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減りますが、\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) の形ではないので、反比例ではありません。
• エ：1 秒後に −2 m、2 秒後に −4 m なので、\(\displaystyle y=−2x\) です。比例定数が負の数なので \(\displaystyle y\) はどんどん減りますが、\(\displaystyle y=ax\) の形なので比例です。
• オ：時間＝水の量÷1 分に入れる量なので、\(\displaystyle y=\frac{40}{x}\) です。これが反比例です。

ここで、アとエ、ウとオを並べてみてください。「ともに増えるなら比例、減るなら反比例」で決めると、この 4 つのうち 3 つをまちがえるようにできています。入試でもよくある引っかけです。

エやウをまちがえた人は、小学校のころの「増える・減る」の感覚で決めたのだと思います。小学校で見た比例や反比例の例は、たまたまその感覚どおりになっているものが多かったので、そう考えるのはとても自然なことです。でも、増える・減るは、もともと比例か反比例かを決める決まりではありません。アやウは正の数だけの場面ですが、それでも増える・減るでは決められませんでした。

手順①　式を作って、形で見分ける
\(\displaystyle y=ax\) か \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) か、式の形だけで決めます。

問2　式を求めて値を出す

2 問とも、\(\displaystyle x\) は 3 で、\(\displaystyle y\) はマイナスの数です。並べると、見分けがつきにくいですね。違うのは、問題文の「比例」と「反比例」の言葉だけです。だから、まずこの言葉に印をつけてから解きます。

(1) は比例
\(\displaystyle y=ax\) に \(\displaystyle x=3\)、\(\displaystyle y=−12\) を入れると、\(\displaystyle −12=3a\) で、\(\displaystyle a=−4\) です。
\(\displaystyle x=−5\) を入れると、\(\displaystyle y=−4×(−5)=20\) になります。

(2) は反比例
\(\displaystyle a\) は \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) をかけて、\(\displaystyle 3×(−8)=−24\) です。式は \(\displaystyle y=−\frac{24}{x}\) です。
\(\displaystyle y=6\) になる \(\displaystyle x\) を出すときは、\(\displaystyle xy=−24\) の形を使うと楽です。\(\displaystyle x×6=−24\) なので、\(\displaystyle x=−4\) です。
確かめると、\(\displaystyle −24÷(−4)=6\) で、合っています。

よくあるまちがい
(2) で \(\displaystyle a\) を \(\displaystyle −\frac{8}{3}\) にした人は、反比例なのに、比例のつもりで \(\displaystyle y÷x\) をしています。すぐ前に解いた (1) の解き方に引っぱられたのです。続けて解いていれば、そうなるのも無理はありません。問題文の型に印をつけるだけで、このまちがいは防げます。

手順②　「比例」「反比例」に印をつけて \(\displaystyle a\) を出す
比例なら \(\displaystyle y÷x\)、反比例なら \(\displaystyle xy\) です。

問3　グラフから式を読む

図の ● の点は、どれも目もりの交わる所にぴったり乗っています。

(1) 式を読む前に、まず形を見る
①は原点を通る直線なので、比例です。②は 2 つに分かれた曲線（双曲線）なので、反比例です。型が決まれば、\(\displaystyle a\) の出し方も決まります。

• ①：点 \(\displaystyle (2, −3)\) を \(\displaystyle y=ax\) に入れて、\(\displaystyle −3=2a\)、\(\displaystyle a=−\frac{3}{2}\) です。右下がりのグラフなので、\(\displaystyle a\) が負の数になっているのも合っています。式は \(\displaystyle y=−\frac{3}{2}x\) です。
• ②：反比例なので、\(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) をかけます。点 \(\displaystyle (2, 4)\) で、\(\displaystyle 2×4=8\)。式は \(\displaystyle y=\frac{8}{x}\) です。

1 つの点で式を出したら、別の点で確かめておきましょう。

• ①は \(\displaystyle (−2, 3)\) で、\(\displaystyle −\frac{3}{2}×(−2)=3\)
• ②は \(\displaystyle (4, 2)\) で、\(\displaystyle 4×2=8\)

どちらも合っています。

(2) 目もりで読めないときは、式で出す
②のグラフの上で \(\displaystyle x=6\) の点を見ると、\(\displaystyle y\) は 1 と 2 の間にあって、目もりでは読めません。下の図で、\(\displaystyle x=6\) の点から \(\displaystyle y\) 軸のほうへ引いた点線が、1 と 2 の間に来ていることを確かめてください。

こういうときは、式で出すのが確実です。\(\displaystyle y=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\) です。グラフを目で見て「1 くらい」で済ませずに、式で出しましょう。

よくあるまちがい
②を \(\displaystyle y=2x\) にしてしまった人は、点 \(\displaystyle (2, 4)\) だけを見て、グラフの形を見ていなかったのだと思います。点から式を作ろうとしたこと自体は、正しい方向です。その前に、形で型を決めましょう。

手順③　グラフの形で型を決めてから、式を読む

変域で点を落とさないために

変域は、計算が合っているのに点を落とす人がとても多い、いちばんもったいないところです。原因は、書く順番です。

決まり
変域は、小さい数を左に書きます。たとえば「−2 以上 5 以下」なら、\(\displaystyle −2≦x≦5\) です。

\(\displaystyle x\) の変域から \(\displaystyle y\) の変域を出すときは、次の順に進めます。

1. \(\displaystyle x\) の両端の値を式に入れて、\(\displaystyle y\) の両端を出す
2. どちらが小さいかを確かめる
3. 小さいほうを左に書く

1 は代入するだけです。気をつけるのは 2 です。\(\displaystyle x\) の左の端から出た \(\displaystyle y\) が、小さいほうだとは限りません。迷ったら、グラフを少しかいて、その範囲の部分だけを見ると分かります。

なお、反比例で \(\displaystyle x\) の範囲が 0 をまたぐ問題は、ここでは出しません。\(\displaystyle x=0\) では \(\displaystyle y\) の値が無いからです。

問4　\(\displaystyle y\) の変域を求める

(1) \(\displaystyle y=−3x\)、\(\displaystyle −2≦x≦4\)
まず両端の値を出します。

• \(\displaystyle x=−2\) のとき、\(\displaystyle y=−3×(−2)=6\)
• \(\displaystyle x=4\) のとき、\(\displaystyle y=−3×4=−12\)

ここで、\(\displaystyle x\) の順に並べて「\(\displaystyle 6≦y≦−12\)」と書いてしまう人がいます。左の端から出た 6 を左に書きたくなるのは、自然な流れです。でも、6 と −12 なら、−12 のほうが小さい数です。

グラフで確かめてみます。下の図は、右下がりの直線 \(\displaystyle y=−3x\) のうち、\(\displaystyle x\) が −2 から 4 までの部分だけを太くしたものです。左の端が高くて 6、右の端が低くて −12 です。太い部分の高さは、−12 から 6 の間にあります。

小さいほうを左に書いて、\(\displaystyle −12≦y≦6\) です。

(2) \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)、\(\displaystyle 2≦x≦6\)

• \(\displaystyle x=2\) のとき、\(\displaystyle y=\frac{12}{2}=6\)
• \(\displaystyle x=6\) のとき、\(\displaystyle y=\frac{12}{6}=2\)

これも \(\displaystyle x\) の順に並べると、大きい 6 が先に来てしまいます。

\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) のグラフは、\(\displaystyle x>0\) の範囲では右下がりの曲線です。下の図は、\(\displaystyle 2≦x≦6\) の部分を太くしたものです。太い部分の高さは 2 から 6 の間にあります。

小さいほうを左にして、\(\displaystyle 2≦y≦6\) です。

2 問とも、左の端から出た \(\displaystyle y\) のほうが大きくなりました。右下がりのグラフでは、こうなります。両端を出したら、どちらが小さいかを必ず確かめましょう。迷ったら、グラフを少しかいて、太い部分の高さを見てください。

(1) の \(\displaystyle −2≦x≦4\) という変域は、次の「入試の応用」の回でもう一度出てきます。

手順④　変域は両端を出し、小さいほうを左に書く

2 つのグラフが交わる点は何を満たすか

まず、基礎の回（\(\displaystyle 1b\)）で学んだことを思い出しましょう。

グラフ上の点は、式に代入すると成り立つ \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組です。たとえば点 \(\displaystyle (3, 6)\) は、\(\displaystyle y=2x\) に \(\displaystyle x=3\) を入れると \(\displaystyle y=2×3=6\) になるので、\(\displaystyle y=2x\) のグラフ上にあります。

では、2 つのグラフが交わる点はどうでしょう。交わる点は、片方のグラフの上にあって、もう片方のグラフの上にもあります。だから、次のことが言えます。

決まり
2 つのグラフの交わる点は、両方の式を成り立たせる。

この 1 文が、交わる点の問題を解くかぎになります。

問5　2 つのグラフが交わる点

どちらの式から使えばよいかも、あわせて考えてみましょう。

どちらの式から使うか
図には、\(\displaystyle A\) の \(\displaystyle x\) 座標の 3 しか書いてなく、\(\displaystyle y\) 座標は図からは分かりません。入試の図も、このように目もりが無いことがよくあります。だから、\(\displaystyle A\) の \(\displaystyle y\) 座標は式で出します。

\(\displaystyle y=ax\) のほうは \(\displaystyle a\) が分からないので、\(\displaystyle x=3\) を入れても \(\displaystyle y\) が出ません。一方、\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) は全部分かっている式です。

(1)
① \(\displaystyle A\) は双曲線 \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) の上にあるので、\(\displaystyle x=3\) を入れると \(\displaystyle y=\frac{12}{3}=4\) です。\(\displaystyle A\) の座標は \(\displaystyle (3, 4)\) です。

② \(\displaystyle A\) は直線の上にもあります。交わる点は両方の式を成り立たせるので、\(\displaystyle y=ax\) に \(\displaystyle (3, 4)\) を入れます。\(\displaystyle 4=3a\) で、\(\displaystyle a=\frac{4}{3}\) です。

(2)
\(\displaystyle y=\frac{4}{3}×(−6)=−8\) です。

\(\displaystyle a\) を求めようとして手が止まった人は、\(\displaystyle A\) の \(\displaystyle y\) 座標がまだ分かっていなかっただけです。先に点を出せば、あとは代入するだけです。

手順⑤　分かっている式で点を出し、もう一方の式に入れる

まとめ：入試の基礎　5 つの手順

1. 式を作って、形で見分ける
2. 「比例」「反比例」に印をつけて \(\displaystyle a\) を出す
3. グラフの形で型を決めてから、式を読む
4. 変域は両端を出し、小さいほうを左に書く
5. 分かっている式で点を出し、もう一方の式に入れる

どれも新しい知識ではありません。基礎の回で学んだことを、どの順に使うかが分かれば、入試の基礎の問題には手をつけられます。

ページの下のプリントの宿題や練習問題のページで、この 5 つの手順をもう一度使ってみてください。自分のペースで大丈夫です。

このシリーズは「基礎」→「入試基礎」→「入試応用」の 3 段になっていて、この記事は「入試基礎」の回です。もっと難しい問題に挑戦したい人は、「入試応用」の回に進んでください。

よくある質問

Q. 「\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えるから比例」と考えてはいけないのですか？
A. いけません。たとえば \(\displaystyle y=x+3\) は、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えますが、比例ではありません。反対に \(\displaystyle y=−2x\) は、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) が減りますが、比例です。比例か反比例かは、\(\displaystyle y=ax\) か \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) か、式の形で決めます。

Q. \(\displaystyle y\) の変域で、どちらの数を左に書けばいいか迷います。
A. \(\displaystyle x\) の両端を式に入れて \(\displaystyle y\) の両端を出したら、どちらが小さいかを確かめて、小さいほうを左に書きます。\(\displaystyle x\) の左の端から出た \(\displaystyle y\) が小さいとは限りません（右下がりのグラフでは大きいほうになります）。迷ったら、グラフを少しかいて、その範囲の部分の高さを見てください。

Q. 交わる点の問題で、どちらの式から使えばいいのですか？
A. 全部分かっている式から使います。問5 なら、\(\displaystyle a\) が分からない \(\displaystyle y=ax\) ではなく、\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) に \(\displaystyle x=3\) を入れて、交わる点の座標 \(\displaystyle (3, 4)\) を出します。交わる点は両方の式を成り立たせるので、その座標をもう一方の式 \(\displaystyle y=ax\) に入れれば \(\displaystyle a\) が出ます。

この単元の授業

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