入試でよく出る一次方程式の解き方：分数・小数・比例式・a の値を求める問題

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 分数・小数・かっこが混ざった一次方程式を、まちがえずに解くやり方
• 両方の比に x がある比例式を、「外側の項の積＝内側の項の積」で解くやり方
• 方程式の解が分かっているときに、式の中の a の値を求めるやり方

入試でよく出る 3 つの形

一次方程式は、入試では次の 3 つの形でよく出ます。

1. 分数や小数、かっこが混ざった方程式
2. 両方の比に x がある比例式
3. 方程式の解が分かっているときに、式の中の a の値を求める問題

この記事の目標は、この 3 つの形を最後まで正確に解き切れるようになることです。

この記事は、移項や、分母をはらうやり方をもう学んだ人に向けて書いています。この記事と同じ授業動画シリーズには、番号のついた前の回（基礎の回）があります。まだの人は、先にその中の 1b の回（移項・かっこ）と 1c の回（小数・分数・比例式）を見ておくと、ずっと分かりやすくなります。分からない所が出てきたら、いつでもそちらに戻って大丈夫です。

答えが合っているか、自分で確かめるには

入試の計算問題を解き終わっても、「これで合っているのかな」と不安になることがありますよね。答えが分数になると、なおさらそう感じるものです。

確かめる手がかりは、解の意味です。

解とは：x に入れると、左辺＝右辺 になる数

だから、出た答えをもとの式に代入し、左辺と右辺を別々に計算して比べれば、合っているかどうかが分かります。同じ値になれば合っています。

もう 1 つ覚えておきたいのは、答えが分数でも、それだけで間違いではないということです。たとえば 3x＝2 なら、x＝2/3 です。これはちゃんと正しい答えです。

この記事で使う 4 つの道具

この記事の問題では、次の 4 つの道具を使います。

• 分数があるとき → 分母の最小公倍数を、両辺のすべての項にかける
• 小数があるとき → 小数点以下のけた数がいちばん多い項に合わせて、10 倍か 100 倍にする
• 比例式 a:b＝c:d → ad＝bc（外側の項の積＝内側の項の積）
• 解いたら → もとの式に代入して確かめる

比例式の「外側」「内側」は、式の並びで見分けます。a:b＝c:d の両はしにある a と d が外側の項、まん中にある b と c が内側の項です。外側どうしをかけたものと、内側どうしをかけたものが等しくなります。

問1　分数・小数・かっこが混ざった方程式

自分で解いてみたい人は、答えを見る前にノートで解いてみましょう。解けたら、代入して確かめるところまでやってみてください。

(1) 分数の方程式：−( ) のはずし方に注意

分母は 2 と 4 です。4 は 2 でもわり切れるので、最小公倍数は 4 です。そこで、両辺に 4 をかけます。

• (3x−1)/2 に 4 をかけると、2(3x−1)
• (x−3)/4 に 4 をかけると、分母が消えて x−3。分子は式なので、かっこをつけたまま (x−3) と書いておきます
• 右辺の 1 にも 4 をかけて、4

これで 2(3x−1)−(x−3)＝4 になります。

次にかっこをはずします。この記事の中で、ここがいちばんまちがえやすい所です。

−(x−3) は −x＋3

前にマイナスがあるので、かっこの中の 2 つの項は両方とも符号が変わります。後ろを −3 のまま書いてしまうのは、本当によくある間違いです。「マイナスがかかるのは先頭の x だけ」と見えてしまうのは自然なことです。でも、−(x−3) は (−1)×(x−3) なので、−3 にも −1 がかかって ＋3 になります。

かっこをはずすと、6x−2−x＋3＝4 です。左辺をまとめると 5x＋1＝4。1 を移項して 5x＝3、x＝3/5 になります。答えは分数ですが、間違いではありません。

確かめ：x＝3/5 を、もとの式に入れてみます。

• 3x−1 は 9/5−1＝4/5。これを 2 でわって 2/5
• x−3 は 3/5−3＝−12/5。これを 4 でわって −3/5
• 左辺は 2/5−(−3/5)＝1

右辺の 1 と同じになったので、合っています。

(2) 小数の方程式：両辺を 100 倍。0.2(x−3) で 100 倍になるのは、かっこの外の係数だけ

0.15 は小数第 2 位まであります。10 倍では 1.5 となり、小数が残ってしまいます。そこで、両辺を 100 倍します。

注意したいのは、左辺の 0.2(x−3) です。

0.2(x−3) を 100 倍すると 20(x−3)。かっこの外の係数だけが 100 倍になり、かっこの中の x−3 はそのまま

「中は 100 倍しないの？」と思うかもしれません。0.2(x−3) は 0.2×(x−3) というかけ算で、これで 1 つの項です。かけ算でできた項を 100 倍するときは、かけている数のうち 1 つを 100 倍すれば足ります。100×0.2×(x−3) では、0.2 の所だけが 20 になって 20×(x−3)、つまり 20(x−3) です。中まで 100 倍して 20(100x−300) のようにしてはいけません。

右辺は、すべての項に 100 をかけて 15x−50 です。これで 20(x−3)＝15x−50 になります。

ただし、かっこをはずすときは話が変わります。かっこの中の x−3 は、x から 3 をひく式です。こういうたし算・ひき算の式に数をかけるときは、中の全部の項にかかります。だから、20x−60 になります。

20x−60＝15x−50 を移項すると 5x＝10、x＝2 です。

確かめ：x＝2 のとき

• 左辺は 0.2×(2−3)＝0.2×(−1)＝−0.2
• 右辺は 0.15×2−0.5＝0.3−0.5＝−0.2

等しくなったので、合っています。

問1 のポイント

• かける数は、両辺のすべての項にかける
• 分数・小数をなくすために両辺に数をかけるとき、かっこのある項で変わるのはかっこの外の係数だけ（そのあとかっこをはずすときは、かっこの外の数が中の全部の項にかかる）

問2　両方の比に x がある比例式

今度は、両方の比に x が入っています。でも、やり方はいつもの比例式と同じです。

まず、外側の項と内側の項を見分けます。

• 外側の項：両はしにある 2 と 4x−1
• 内側の項：まん中にある x＋1 と 6

外側の項の積＝内側の項の積 なので、2(4x−1)＝6(x＋1) になります。

x をふくむ項は、かっこごとかける

4x−1 や x＋1 は、かっこをつけたままかけます。2×4x−1 のように書いて −1 にかけ忘れると、答えがずれてしまいます。

かっこをはずすと 8x−2＝6x＋6。x の項を左辺、数を右辺に移項して 2x＝8、x＝4 です。

確かめ：x＝4 のとき、x＋1 は 5、4x−1 は 15 です。左の比は 2:5、右の比は 6:15 になります。6:15 の両方を 3 でわると 2:5 です。同じ比になったので、合っています。

両方の比に x があっても、外側の項の積＝内側の項の積 を使えば、いつもの方程式になります。

問3　解から a の値を求める

この問題には x と a の 2 つの文字が出てきます。「どっちを求めるんだろう？」と迷うかもしれません。

• x：「x についての方程式」とは、この方程式で分からない数として扱う文字、つまり解を表す文字が x だ、という意味です
• a：ある決まった数を表していますが、その値はまだ分かりません

この問題では、x の解（3）はもう分かっています。求めたいのは a のほうです。

まず x に 3 を代入する

「解が 3」というのは、x に 3 を入れると左辺と右辺が等しくなる、ということです。これは、確かめのときに毎回やっていたことと同じです。だから、解が分かっているときは、まず x に 3 を代入します。

5×3−a＝a×3＋7

ax の x にも 3 を入れる。a×3＝3a

ここで見落としやすいのが、右辺の ax です。5x の x には 3 を入れたのに、ax の x には入れ忘れて a のまま残してしまう人がとても多いです。x は式の中に 2 か所あるので、両方に 3 を入れます。

計算すると 15−a＝3a＋7 になります。x が消えて、a だけの式になりました。これは a についての方程式なので、いつもどおりに解けます。a の項を右辺に、数を左辺に移項してまとめると 8＝4a、a＝2 です。

確かめ：a＝2 をもとの方程式に入れると、5x−2＝2x＋7 になります。移項して 3x＝9、x＝3 です。問題の「解が 3」と同じになったので、合っています。

まとめ

• 分数は分母の最小公倍数、小数は 10 倍・100 倍。両辺のすべての項にかけて整数にする
• −( ) をはずすときは、中の項の符号を全部変える
• 比例式は、外側の項の積＝内側の項の積。式はかっこごとかける
• 解が分かっていたら、まず x に代入する。すると a の方程式になる
• どの問題でも、解いたら代入して確かめる。答えが分数でも、確かめて合っていれば大丈夫

あやしい所があったら、何回でも読み返してください。ページの下にあるプリントや練習問題で、自分の手でも解いてみましょう。

よくある質問

Q. 答えが分数になりました。どこかで間違えたのでしょうか？
A. 分数というだけで、間違いとはかぎりません。たとえば 3x＝2 の答えは x＝2/3 で、これは正しい答えです。不安なときは、答えをもとの式に代入してください。左辺と右辺を別々に計算して同じ値になれば、合っています。

Q. 0.2(x−3) を 100 倍するとき、かっこの中も 100 倍しないのはなぜですか？
A. 0.2(x−3) は 0.2×(x−3) というかけ算で、これで 1 つの項です。かけ算でできた項を 100 倍するときは、かけている数のうち 1 つ（ここでは 0.2）を 100 倍すれば足ります。だから 20(x−3) になります。一方、かっこをはずすときは、20 がかっこの中の x と −3 の両方にかかるので、20x−60 になります。

Q. 「x についての方程式」で a も出てくるとき、どちらを求めればいいのですか？
A. 「x についての方程式」とは、解を表す文字が x だという意味です。a は、決まった数ですが値がまだ分からない文字です。問3 のように x の解が分かっている問題では、まず x にその値を代入します。すると a だけの式になるので、それを解いて a を求めます。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2
• STEP 1-3
• STEP 1-4
• STEP 1-5
• STEP 2-1（この記事）
• STEP 2-2（準備中）
• STEP 3

栞先生

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