【数学 中学1年 #4】比例と反比例（負の比例含む） 練習問題（STEP 2）

– (1) \(\displaystyle y=3x+70\)、どちらでもない
– (2) \(\displaystyle y=−500x\)、比例する
– (3) \(\displaystyle y=200−30x\)、どちらでもない
– (4) \(\displaystyle y=\frac{30}{x}\)、反比例する

解き方

– 「ともに増える\(\displaystyle ＝\)比例」「一方が減る\(\displaystyle ＝\)反比例」で決めると、(1)・(2)・(3) の 3 問をまちがえます。式の形で決めましょう。
– (1)：ともに増えますが、\(\displaystyle ＋\allowbreak 70\) があるので \(\displaystyle y=ax\) の形ではありません。\(\displaystyle x\) が 1 から 2（2 倍）になっても、\(\displaystyle y\) は 73 から 76 で、2 倍ではありません。台の高さ 70 cm は、本の冊数を 2 倍にしても変わらないからです。
– (2)：1 か月で −500 円なので、\(\displaystyle y=−500x\) です。\(\displaystyle y\) は減っていきますが、\(\displaystyle y=ax\) の形なので比例です。\(\displaystyle x\) が 1 から 2 になると、\(\displaystyle y\) は −500 から −1000 で、2 倍になっています。
– (3)：\(\displaystyle 2 m=200 cm\) です。30 cm を \(\displaystyle x\) 本切り取るので、残りは \(\displaystyle y=200−30x\) です。\(\displaystyle y\) は減りますが、\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) の形ではありません。\(\displaystyle x\) が 1 から 2 になっても、\(\displaystyle y\) は 170 から 140 で、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍ではありません。
– (4)：平行四辺形の面積は「底辺\(\displaystyle ×\)高さ」なので、\(\displaystyle xy=30\)、\(\displaystyle y=\frac{30}{x}\) です。反比例です。

– (1) \(\displaystyle y=−2\)
– (2) \(\displaystyle y=2\)

解き方

– 先に、問題文の「比例」「反比例」に印をつけます。比例なら \(\displaystyle y=ax\)（\(\displaystyle a=y÷x\)）、反比例なら \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)（\(\displaystyle a=xy\)）です。
– (1)：比例なので、\(\displaystyle −12=−3a\) より \(\displaystyle a=4\) です。\(\displaystyle y=4×(−\frac{1}{2})=−2\)。
– (2)：反比例なので、\(\displaystyle a=(−4)×(−5)=20\)、\(\displaystyle y=\frac{20}{10}=2\) です。
– (2) で比例のくせで \(\displaystyle y÷x\) をすると、\(\displaystyle a=(−5)÷(−4)=\frac{5}{4}\) になってしまいます。「反比例」を見たら、かけ算です。

– (1) \(\displaystyle x=−2\)
– (2) \(\displaystyle x=−12\)

解き方

– 2 問とも「\(\displaystyle y=9\) となる \(\displaystyle x\)」を求めますが、(1) は反比例、(2) は比例です。\(\displaystyle a\) の出し方が違います。
– (1)：反比例なので、\(\displaystyle a=6×(−3)=−18\) です。\(\displaystyle x×9=−18\) より、\(\displaystyle x=−2\)。
– (2)：比例なので、\(\displaystyle −6=8a\) より \(\displaystyle a=−\frac{3}{4}\) です。\(\displaystyle 9=−\frac{3}{4}x\)、\(\displaystyle x=−12\)。
– 求めた \(\displaystyle x\) を式に入れて、\(\displaystyle y=9\) に戻るかを確かめましょう。(1) は \(\displaystyle −\frac{18}{−2}=9\)、(2) は \(\displaystyle −\frac{3}{4}×(−12)=9\) です。

– (1) ① \(\displaystyle y=−\frac{4}{3}x\)、② \(\displaystyle y=−\frac{6}{x}\)
– (2) \(\displaystyle −\frac{3}{2}\)
– (3) \(\displaystyle −8\)

解き方

– まず形で型を決めます。①は原点を通る右下がりの直線なので比例で、\(\displaystyle y=ax\) と置きます。②は左上と右下の双曲線なので反比例で、\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) と置きます。
– ①は、\(\displaystyle 4=−3a\) より \(\displaystyle a=−\frac{4}{3}\) です。
– ②は、\(\displaystyle xy=(−2)×3=−6\) です。\(\displaystyle (3, −2)\) でも、\(\displaystyle 3×(−2)=−6\) で確かめられます。
– (2) と (3) は、目もりでは読めないので、式で出します。(3) の点は図の外にあります。
– (2)：②の式に \(\displaystyle x=4\) を入れて、\(\displaystyle y=−\frac{6}{4}=−\frac{3}{2}\) です。
– (3)：①の式に \(\displaystyle x=6\) を入れて、\(\displaystyle y=−\frac{4}{3}×6=−8\) です。

– (1) \(\displaystyle −6≦y≦3\)
– (2) \(\displaystyle −3≦y≦2\)
– (3) \(\displaystyle −6≦y≦−2\)
– (4) \(\displaystyle −8≦y≦−2\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle x=−2\) のとき −6、\(\displaystyle x=1\) のとき 3 です。
– (2)：\(\displaystyle x=−4\) のとき 2、\(\displaystyle x=6\) のとき −3 です。右下がりなので、小さいほうは右の端の値です。
– (3)：\(\displaystyle x=2\) のとき −6、\(\displaystyle x=6\) のとき −2 です。比例定数が負なので、\(\displaystyle x>0\) の範囲で \(\displaystyle y\) は増えます。
– (4)：\(\displaystyle x=−4\) のとき −2、\(\displaystyle x=−1\) のとき −8 です。−8 のほうが小さい数です。
– どれも、小さいほうを左に書きます。

\(\displaystyle a=−2\)

解き方

– \(\displaystyle y=−\frac{18}{−3}=6\) なので、交わる点は \(\displaystyle (−3, 6)\) です。
– \(\displaystyle 6=−3a\) より、\(\displaystyle a=−2\) です。

\(\displaystyle a=−3\)、\(\displaystyle b=−12\)

解き方

– 交わる点は、両方の式を成り立たせます。
– \(\displaystyle 6=−2a\) より \(\displaystyle a=−3\)、\(\displaystyle b=xy=(−2)×6=−12\) です。

\(\displaystyle a=−12\)、\(\displaystyle b=4\)

解き方

– \(\displaystyle a=2×(−6)=−12\) です。
– \(\displaystyle b=−\frac{12}{−3}=4\) です。

– (1) 4
– (2) \(\displaystyle a=−\frac{3}{2}\)
– (3) \(\displaystyle y=3\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle x×(−6)=−24\) より、\(\displaystyle x=4\) です。\(\displaystyle A(4, −6)\) です。
– (2)：\(\displaystyle −6=4a\) より、\(\displaystyle a=−\frac{3}{2}\) です。
– (3)：\(\displaystyle y=−\frac{3}{2}×(−2)=3\) です。
– 動画の問5 は \(\displaystyle x\) 座標が与えられていましたが、\(\displaystyle y\) 座標から \(\displaystyle x\) 座標を出す順番も同じ考えです。

– [A] (1) \(\displaystyle y=60x\)　(2) \(\displaystyle 0≦x≦20\)　(3) \(\displaystyle 0≦y≦1200\)
– (2) を \(\displaystyle 0<x≦20\)、(3) を \(\displaystyle 0<y≦1200\) と書いた答えは、正解にしません。\(\displaystyle x=0\)（家を出た時）は、この場面にふくまれるからです。
– [B] (1) \(\displaystyle y=\frac{24}{x}\)　(2) \(\displaystyle 3≦y≦8\)

解き方

– [A]：変域は、変数のとりうる値の範囲でした（\(\displaystyle 1a\)）。場面から変域を読むときは、次の順に考えます。
1. 始まりの時と終わりの時の \(\displaystyle x\) を出す。
2. その時が場面にふくまれるかを考える。ふくまれるなら \(\displaystyle ≦\)（以上・以下）、ふくまれないなら \(\displaystyle ＜\) にする。
– (2)：
– 始まりは家を出る時で、\(\displaystyle x=0\) です。このとき進んだ道のりは 0 m で、「家を出てから図書館に着くまで」の中の時なので、ふくみます。
– 終わりは図書館に着いた時です。\(\displaystyle 1200÷60=20\) なので \(\displaystyle x=20\) です。着いた時もふくみます。
– だから \(\displaystyle x\) は 0 以上 20 以下で、\(\displaystyle 0≦x≦20\) です。
– 「家を出てから」と読んで \(\displaystyle 0<x\) と書くと、家を出た時（\(\displaystyle x=0\)）が抜けてしまいます。
– (3)：\(\displaystyle x=0\) のとき \(\displaystyle y=0\)、\(\displaystyle x=20\) のとき \(\displaystyle y=1200\) です。両端の時はどちらもふくむので、\(\displaystyle 0≦y≦1200\) です。(2) で \(\displaystyle x=0\) をふくめなかった人は、(3) でも同じように \(\displaystyle y=0\) が抜けてしまいます。
– [B]：\(\displaystyle x=3\) のとき \(\displaystyle y=8\)、\(\displaystyle x=8\) のとき \(\displaystyle y=3\) です。小さいほうを左に書いて、\(\displaystyle 3≦y≦8\) です。