方程式の文章題の解き方｜4つの手順と「ことばの式」で、代金・余る足りないの問題を解こう

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 文章題を方程式で解くときの「4 つの手順」
• 式を作る前に「ことばの式」を書くやり方と、かっこが要るとき
• 代金と個数の問題、あめを配って「余る・足りない」問題の式の作り方

文章題で手が止まるのはなぜ？

これまでの方程式の問題では、はじめから式が書いてありました。文章題では、その式を自分で作ります。手が止まりやすいのは、ここです。

では、何が分かれば式を作れるのでしょうか。

方程式は「左辺＝右辺」の形をした等式でした。つまり、文章の中から「この量とこの量が等しい」という関係を 1 つ見つければ、それが式になります。

文章題を解く 4 つの手順

文章題は、次の 4 つの手順で解きます。

1. 何を x にするか決める
2. 等しい関係を見つける（ことばの式 → 文字の式）
3. 方程式を解く
4. 確かめて、単位をつけて答える

1 つずつ見ていきましょう。

① 何を x にするか決める
ふつうは、求めたい数を x にします。

② 等しい関係を見つける
文章の中で同じ量を表しているものを探して、「＝」でつなぎます。

③ 方程式を解く
これまでに習った解き方が、そのまま使えます。

• かっこがあれば、はずす
• 移項して、x の項を一方の辺に、数の項をもう一方の辺に集める（移項すると符号が変わる）
• 両辺を x の係数でわる

④ 確かめて、単位をつけて答える
出た答えを文章に戻して、本当に話が合うかを確かめます。そのうえで「何個」「何人」のように単位をつけて答えます。

この中でいちばん難しいのは ② です。ほかの 3 つは、慣れればだいたい決まった作業です。でも ② は、文章をよく読まないと進めません。そこで次は、② をやりやすくするコツを紹介します。

② のコツ：「ことばの式」を先に書く

いきなり x の式を書こうとすると、文章のどこを式のどこに入れればいいのか迷いがちです。そこで、まず「ことばの式」を書きます。

ことばの式とは、等しい関係を、ことばのまま「＝」でつないだ式のことです。

たとえば「ある数に 4 をたした数は、10 です。」という文。「は」の前と後ろが等しいので、ことばの式はこうなります。

（ある数に 4 をたした数）＝ 10

ここで、ある数を x にすると、

x＋4＝10

ことばの式を先に書いておくと、左辺と右辺がそれぞれ何を表しているかがはっきりします。あとは 1 つずつ文字に置きかえるだけです。

決まり：ことばの順番どおりに式にする

置きかえるときは、ことばの順番どおりに式にします。次の 2 つをくらべてみてください。

• 「ある数を 3 倍して 1 をひく」
  先に 3 倍して 3x、次に 1 をひいて → 3x−1

• 「ある数から 1 をひいて 3 倍する」
  先に 1 をひいて x−1、そのまとまり全体を 3 倍するので → 3(x−1)

2 つ目でかっこをつけないと、x だけを 3 倍したことになってしまいます。2 つの式は見た目が似ていますが、別の式です。「まとまり全体を〇倍する」ときは、かっこが要ります。

問 1：ある数を求める問題

さっそく、4 つの手順で解いてみましょう。

ことばの式を書いてから方程式にしてみてください。答えと解き方はすぐ下にあります。

解き方をくわしく

① 何を x にするか
ある数を x とします。

② 等しい関係を見つける
文章に「等しくなります」とあります。等しいのは、この 2 つです。

（ある数を 3 倍して 5 をひいた数）＝（ある数に 7 を加えて 2 倍した数）

これがことばの式です。順番どおりに文字の式にします。

• 左辺：3 倍して 3x、5 をひいて 3x−5
• 右辺：先に 7 を加えて x＋7、そのまとまりを 2 倍して 2(x＋7)

なので、方程式は 3x−5＝2(x＋7) です。

ここで、右辺を 2x＋7 と書いた人もいるかもしれません。「2 倍」と「7」をどちらも読み取れているので、そこはできています。ただ、2x＋7 は「x を 2 倍してから 7 を加えた数」です。文章とは、計算の順番が逆になっています。

③ 方程式を解く
かっこをはずして、3x−5＝2x＋14
2x を左辺に、−5 を右辺に移項して、3x−2x＝14＋5
x＝19

④ 確かめる
文章に戻します。

• 19 を 3 倍して 5 をひくと、19×3−5＝52
• 19 に 7 を加えて 2 倍すると、(19＋7)×2＝52

どちらも 52 で等しいので、合っています。答えは 19 です。

確かめをすると、間違いに自分で気づける

もし 2x＋7 で式を作ると、x＝12 になります。これを確かめてみると、

• 12 を 3 倍して 5 をひくと 31
• 12 に 7 を加えて 2 倍すると 38

等しくなりません。このように、④ の確かめをすれば、式の間違いに自分で気づくことができます。

代金と個数の問題で使う 2 つのこと

次は買い物の問題です。その前に、使うことを 2 つ確認しておきます。

知りたい数が 2 つあるとき

2 種類の物を買う問題では、知りたい数が 2 つ出てきます。でも、x にできるのは 1 つだけです。もう 1 つは、x を使って表します。

合計の個数が分かっていれば、表せます。たとえば、合わせて 10 個買ったとき、

• 一方が 3 個なら、もう一方は 10−3＝7（個）
• 一方が x 個なら、もう一方は (10−x) 個

10−x はひとまとまりの数なので、かっこをつけて (10−x) と書きます。

決まり：代金＝1 個の値段×個数

小学校から使っている式です。

• 1 個 50 円を 4 個 → 50×4＝200（円）
• 1 個 50 円を x 個 → 50×x＝50x（円）

個数が x を使った式になっても、やることは同じです。かけ算で代金を表せます。

問 2：りんごとみかんの代金の問題

数がたくさん出てくるので、頭の中だけで考えるとごちゃごちゃしやすい問題です。下のような表にまとめると整理できます。

この表は、列が「りんご」「みかん」「合計」、行が「1 個の値段」「個数」「代金」です。はじめに分かっているのは、1 個の値段（りんご 120 円、みかん 80 円）と、合計の個数 15 個、合計の代金 1520 円だけです。りんごとみかんの個数と代金の 4 つのマスが空いています。ここを埋めてから、ことばの式を考えます。

解き方をくわしく

① 何を x にするか
りんごを x 個とします。合わせて 15 個なので、みかんは (15−x) 個です。これで表の個数の行が埋まります。

次に代金の行です。代金＝1 個の値段×個数 なので、

• りんごの代金：120×x＝120x 円
• みかんの代金：80×(15−x)＝80(15−x) 円

80 は 15−x のまとまり全体にかかるので、ここでもかっこが要ります。

表のすべてのマスを埋めると、こうなります。

個数の行は x、15−x、15。代金の行は 120x、80(15−x)、1520 です。

② 等しい関係を見つける
表の代金の行を横に見ると、りんごの代金とみかんの代金を合わせて 1520 円です。ことばの式は、

（りんごの代金）＋（みかんの代金）＝1520

文字の式にすると、

120x＋80(15−x)＝1520

③ 方程式を解く
かっこをはずします。80×15＝1200、80×(−x)＝−80x なので、
120x＋1200−80x＝1520
x の項を左辺、数の項を右辺に集めて、120x−80x＝1520−1200
40x＝320
両辺を 40 でわって、x＝8

りんごは 8 個です。

ここで終わりにしないこと！ x が出るとほっとして手を止めたくなりますが、聞かれているのはりんごとみかんの 2 つです。みかんは 15−8＝7 個です。

④ 確かめる

• 代金：120×8＋80×7＝960＋560＝1520（円）
• 個数：8＋7＝15（個）

文章の 2 つの条件のどちらにも合っています。答えは、りんご 8 個、みかん 7 個です。

なお、みかんを x 個にしても解けます。そのときは x＝7 が出て、りんごは 15−7＝8 個。どちらを x にしても、答えは同じになります。

「余る・足りない」問題の考え方

最後は、物を配る問題です。「5 個ずつ配ると余る」「7 個ずつ配ると足りない」のような文章は、何と何が等しいのかが見つけにくいですね。

そこで、まずは人数が分かっている例で考えてみます。

例）3 人の子どもにあめを配る

4 個ずつ配ると 2 個余るとき
配ったのは 4×3＝12 個。それに余った 2 個があるので、
あめ＝4×3＋2＝14 個

5 個ずつ配ると 1 個足りないとき
全員に配るには 5×3＝15 個要ります。でも、あめはそれより 1 個少ないので、
あめ＝5×3−1＝14 個

この様子を線の図（線分図）にすると、次のようになります。

上の線は、4 個ずつ 3 人に配った 12 個の右に、余りの 2 個をつなげたものです。全体があめの 14 個です。
下の線は、5 個ずつ 3 人分の、要る 15 個です。そのうち右端の 1 個分は点線になっていて、これが足りない 1 個です。点線の手前（実線の右端）は、上の線の右端とそろっています。どちらも実際にあるあめの数 14 個だからです。

どちらの配り方でも 14 個。配り方を変えても、あめの数そのものは変わりません。

決まり：同じ量を 2 通りの式で表して「＝」でつなぐ

同じあめの数を、2 通りの式で表せました。人数が分からないときは、人数を x にすれば、同じように 2 通りの式が作れます。その 2 つを「＝」でつなげば、方程式になります。

問 3：あめを配る問題

前の節の「例）3 人の子どもにあめを配る」で見た線分図（上下 2 本の線の図）を思い出しながら考えると、進めやすくなります。

解き方をくわしく

① 何を x にするか
子どもの人数が分からないので、子どもを x 人とします。

② 等しい関係を見つける
あめの数を 2 通りに表します。線分図で見てみましょう。

上の線（5 個ずつ配ったとき）
配ったのは 5×x＝5x 個。そこに余った 12 個を足すと、全部のあめになります。
あめ＝5x＋12

下の線（7 個ずつ配るとき）
全員に配るには 7x 個要ります。でも、6 個足りません。図の点線の部分が、この足りない 6 個です。実際のあめは要る数より 6 個少ないので、
あめ＝7x−6

上の線の右端と、下の線の点線の手前（実線の右端）がそろっています。どちらも、実際にあるあめの数だからです。点線まで入れた下の線全体は、要る数の 7x 個で、あめの数ではありません。

ことばの式は、

（5 個ずつのときのあめの数）＝（7 個ずつのときのあめの数）

文字の式にすると、

5x＋12＝7x−6

③ 方程式を解く
x の項はどちらの辺に集めてもかまいません。ここでは右辺に集めると、x の係数が正のまま計算できます。
5x を右辺に、−6 を左辺に移項します。移項すると符号が変わるので、5x は −5x に、−6 は ＋6 になります。
12＋6＝7x−5x
18＝2x
両辺を 2 でわって、9＝x、つまり x＝9

子どもは 9 人です。

これも、聞かれているのは 2 つです。あめの数は、5x＋12 の x に 9 を入れて、
5×9＋12＝57 個

④ 確かめる
9 人に 7 個ずつ配るには、7×9＝63 個要ります。あめは 57 個なので、63−57＝6 個足りません。文章の「6 個足りません」と合っています。

答えは、子ども 9 人、あめ 57 個です。

よくある間違い：足りないときに「＋6」にしてしまう

足りないときのあめの数を 7x＋6 としてしまう間違いは、とても多いです。「6 個」と聞くとたしたくなる気持ちは分かりますし、文章に出てきた数を式に入れようとするのは大事な考え方です。

でも、足りないということは、要る数より実際のあめが少ないということです。だから、ひきます。

7x＋6 で解くと、x＝3、あめは 27 個になります。文章に戻すと、3 人に 7 個ずつなら 21 個で足りて、6 個余ってしまいます。文章と合いません。ここでも、確かめれば間違いに気づけます。

あめの数を表すときは、

• 余る → 配った分に たす（＋）
• 足りない → 要る分から ひく（−）

まとめ

• 文章題は 4 つの手順で解く。
  ① 何を x にするか決める　② 等しい関係を見つける　③ 方程式を解く　④ 確かめて、単位をつけて答える

• ② は、ことばの式を先に書いてから文字の式に直す。ことばの順番どおりに式にし、まとまり全体を〇倍するときはかっこをつける。

• 代金の問題では、代金＝1 個の値段×個数。もう一方の個数は（合計−x）で表す。
• 余る・足りない問題では、同じ量を 2 通りに表して「＝」でつなぐ。

問 1〜問 3 のような文章題で、4 つの手順にそって、ことばの式から自分で方程式を作り、確かめて答えられたら、この回の内容は身についています。配る問題なら、「同じ量を 2 つの式で表して、＝でつなげば方程式になる」と自分で言えるかが目安です。

あやしいところがあれば、その見出しに戻って読み直してみてください。自分のペースで大丈夫です。ページの下のプリントや練習問題で、実際に手を動かして解いてみましょう。

よくある質問

Q. 何を x にすればいいのか分かりません。
A. ふつうは、求めたい数を x にします。問 2 のように知りたい数が 2 つあるときは、どちらか 1 つを x にして、もう一方は「合計−x」のように x を使って表します。問 2 では、りんごを x にしても、みかんを x にしても、答えは同じになります。

Q. 2(x＋7) と 2x＋7 の違いがよく分かりません。
A. 計算の順番が違います。2(x＋7) は「x に 7 を加えて、そのまとまり全体を 2 倍した数」です。2x＋7 は「x を 2 倍してから 7 を加えた数」です。ことばの順番どおりに式にして、まとまり全体を〇倍するときはかっこをつけましょう。迷ったら、出た答えを文章に戻して確かめると、間違いに気づけます。

Q. 「足りない」のに、どうしてひくのですか？
A. 「足りない」ということは、全員に配るのに要る数より、実際のあめが少ないということだからです。問 3 なら、要るのは 7x 個で、実際のあめはそれより 6 個少ないので 7x−6 です。余るときは、配った分に余りをたします（5x＋12）。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2（準備中）
• STEP 1-3（準備中）
• STEP 1-4（この記事）
• STEP 1-5（準備中）

栞先生

続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）

しおり先生

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