方程式の文章題② 速さ・解の確かめ・比：「追いつく」問題と、出た解の確かめ方

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 速さの文章題を「道のり＝速さ×時間」の表に整理して、追いつく場面の方程式を作る方法
• 方程式を解いて出た解が、問題の答えになるかを確かめる方法（そのまま答え／読みかえて答え／答えにならない、の 3 通り）
• 合計と比が分かっているときに、比例式を作って解く方法

文章題は 4 つの手順で解く

この記事は、方程式の文章題の 2 回目です。ここでは、次の 3 つを学びます。

• 人が歩いたり、自転車で追いかけたりする速さの文章題
• 方程式を解いて出た答えが、本当にその問題の答えになっているかの確かめ
• 比を使う文章題

2 つ目の「確かめ」は大事です。計算は合っているのに、問題の答えにならないことがあるからです。

どの文章題も、次の 4 つの手順で解きます。

1. 何を x にするか決める
2. 等しい関係を見つける（まず、ことばの式で書く）
3. 方程式を解く
4. 確かめて、単位をつけて答える

手順 2 の「ことばの式」は、等しい関係を、x や数で式にする前に、まずことばで書いた式のことです。この記事の問いでも、式を作る前に、まずことばの式を書きます。

この記事でも、この順に進めます。

速さの決まり：道のり＝速さ×時間

速さの文章題では数がたくさん出てくるので、「どれとどれをかけるんだっけ？」と迷いやすくなります。まず、決まりを 1 つ思い出しましょう。

「分速 60 m」は、1 分間に 60 m 進む速さのことです。

• 2 分歩くと、60×2＝120 m
• 3 分歩くと、60×3＝180 m

つまり、速さに時間をかけると道のりになります。

決まり　道のり＝速さ×時間

数を「整理の表」にまとめる

文章題では、数を表に整理します。作り方は次のとおりです。

• 人ごとに、列を 1 つ作る
• 行は「速さ」「時間」「道のり」の 3 つにする
• 分かっている数を入れ、分からない所は x を使って表す

どの列も、「速さ」と「時間」をかけたもの（速さ×時間）が、いちばん下の「道のり」になります。この表を、ここでは「整理の表」と呼びます。

上の図は、整理の表の形だけを描いたものです。列は「先に出た人」と「後から出た人」で、ますはまだ空いています。右側の矢印は、「速さ」と「時間」をかけると「道のり」になることを表しています。

追いついた瞬間、2 人で同じになるのは？

これから解く問題では、先に出た人を、後から出た人が追いかけます。ここで一度考えてみてください。

後から出た人が追いついた瞬間、2 人で同じになっているのは、歩いた「時間」でしょうか。それとも、歩いた「道のり」でしょうか。

例で確かめます。A さんが分速 50 m で先に家を出て、その 4 分後に、B さんが分速 100 m で追いかけます。

次の表は、さっきの整理の表とは別のものです。B さんが出発してから 1 分ごとに、2 人が家から何 m の所にいるかを並べています。

• B さんが出発したとき（0 分）、B さんは 0 m の所にいます。A さんはもう 4 分歩いているので、50×4＝200 m 先にいます。
• そこから 1 分ごとに見ると、A さんは 250、300、350、400 m と進みます。
• B さんは 100、200、300、400 m と進みます。
• 4 分後、2 人とも家から 400 m の所に並びました。ここで追いついています。

追いついたとき、道のりはどちらも 400 m で同じです。でも、時間は同じではありません。A さんは 8 分、B さんは 4 分歩いています。先に出た人は、出発が早かった分だけ長く歩いているからです。

決まり　追いつく瞬間、2 人は同じ場所にいる
→ 家からの道のりが等しい
時間は等しくない（先に出た人の方が長く歩いている）

追いつく場面の等しい関係は、「先に出た人の道のり＝後から出た人の道のり」です。

問1　兄が弟を自転車で追いかける

上の図は、問題の場面を描いたものです。家から駅（家から 800 m）に向かって、弟が分速 60 m で先に出発し、9 分後に兄が分速 150 m で同じ道を追いかけます。

この表は、弟と兄の整理の表です。分かっているのは速さ（弟 60、兄 150）だけで、時間と道のりはまだ空いています。下の (1) で、この空いている所を埋めながら式を作っていきます。（自分で解いてみたい人は、このページの下にあるプリントと練習問題のページで解けます。）

(1) 何分後に追いつくか

手順 1：x を決める
聞かれているのは「兄が家を出てから何分後か」です。そこで、兄が家を出てから x 分後に追いつくとします。

では、弟の時間はどうなるでしょう。弟は兄より 9 分早く出ているので、その分 9 分長く歩いています。だから、弟の時間は (x＋9) 分です。

ここを、弟も x 分にしてしまう人がよくいます。2 人とも同じ x 分で追いつくような気がしますよね。そう思ったら、さっきの A さんと B さんを思い出してください。先に出た A さんは 8 分、後から出た B さんは 4 分で、先に出た人の方が長く歩いていました。

表を埋めます。道のりは速さ×時間なので、弟は 60(x＋9)、兄は 150x です。60 は x＋9 の全体にかけるので、かっこが要ります。

手順 2：等しい関係を見つける
追いつく瞬間、2 人は同じ場所にいます。なので、ことばの式は次のようになります。

弟の道のり＝兄の道のり

手順 3：方程式を解く

• 60(x＋9)＝150x
• かっこをはずして、60x＋540＝150x
• x の項を右辺に集めて、540＝90x
• 両辺を 90 でわって、x＝6

手順 4：確かめる

• 兄は 6 分走るので、150×6＝900 m
• 弟は 9＋6＝15 分歩くので、60×15＝900 m

2 人とも家から 900 m の所にいるので、合っています。答えは 6 分後 です。

(2) 駅に着くまでに追いつけるか

(1) で、兄が弟に追いつくのは家から 900 m の所だと分かりました。でも、駅は家から 800 m です。追いつく場所は、駅より先にあります。

ということは、弟が駅に着いた時点では、兄はまだ弟に追いついていません。答えは 「追いつけない」 です。

この図の実線は、弟が駅に着くまでに 2 人が進んだ所を表しています。

• 弟の実線は、駅（家から 800 m）まで来ています。
• 兄の実線は、家から 650 m の所で終わっています。弟が駅に着いたとき、兄はまだ 650 m の所にいて、弟より 150 m 後ろにいます。
• 2 本の実線の先は、800 m と 650 m という別の点です。

駅から先の点線は、「駅が無く、道がそのまま続いていたら」という部分です。900 m の点は、この点線の上にあります。道が続いていたら追いつく所ですが、弟は駅で止まるので、実際には 2 人はそこまで行きません。

時間でも確かめてみます（弟が家を出てから数えます）。

• 弟が駅に着くのは、800÷60＝13 と 1/3 分後。つまり 13 分 20 秒後です。
• 兄は 9 分後に出て、駅まで 800÷150＝5 と 1/3 分かかります。駅に着くのは 9＋5 と 1/3＝14 と 1/3 分後、つまり 14 分 20 秒後です。

弟の方が 1 分早く駅に着きます。やはり追いつけません。

「6 分後に追いつく」と答えたくなる理由

「(1) で 6 分後に追いつくと出たから、追いつける」と考えた人もいると思います。(1) の答えを使おうとする考え方自体は、悪くありません。実際、方程式の解 x＝6 は、計算としては正しいのです。

ただ、それは「駅のことは考えない」、つまり道がずっと続いているとしたときの話です。「駅まで」という条件をつけると、その出来事は起こりません。

ここは、この回でいちばん引っかかりやすい所です。計算が合っていると、そこで安心して止まりたくなるからです。

問1 の答えと、ここで気をつけることをまとめると、次のとおりです。

出た解の確かめ方は 3 通り

問1 では、計算は正しいのに、問題の条件の中では起こらない解が出ました。では、出た解はいつもどう扱えばよいのでしょうか。

解が出たら、問題に合うかを確かめます。結果は、次の 3 通りです。

決まり　解が出たら、問題に合うか確かめる
① そのまま答え　例：個数 x＝8 → 8 個
② 読みかえて答え　例：東へ x m 進む、x＝−3 → 西へ 3 m
③ 答えにならない　例：人数 x＝2.5 → 合わない

• ① そのまま答えになる場合：りんごの個数を x として x＝8 が出たら、そのまま 8 個が答えです。
• ② 意味を読みかえると答えになる場合：正負の数で、東へ進むことを正の数で表しました。「東へ x m 進む」として x＝−3 が出たら、「東へ −3 m」は「西へ 3 m」のことです。負の数が出ても、すぐに間違いだと決めずに、意味を考えてみましょう。
• ③ 答えにならない場合：人数を x として x＝2.5 が出ても、2.5 人という人数はないので、問題に合いません。問1(2) も、出来事が条件の中で起こらなかったので「追いつけない」と判断しました。

次の年齢の問題では、出た解が 3 通りのどれになるかを確かめます。その前に、年齢の問題で式を作る方法を見ておきましょう。

年齢の問題は「何年後か」を x にする

年齢の問題で迷うのは、何を x にするかと、2 人の年齢をどう表すかです。年齢の問題では、「何年後か」を x にすることが多いです。

いま、父が 35 歳、子が 5 歳だとします。x 年たつと、父も子も、同じ x 歳ずつ年をとります。父だけ、子だけが年をとることはありません。だから x 年後は、父が (35＋x) 歳、子が (5＋x) 歳です。

このように、「いま」と「x 年後」を並べた表にすると整理しやすくなります。

たとえば、「父の年齢が子の年齢の 3 倍になる」ときを式にしてみます。

• ことばの式：父の年齢＝子の年齢の 3 倍
• 子の年齢 5＋x の全体を 3 倍するので、かっこをつけます。

35＋x＝3(5＋x)

あとは、これまでと同じように解けます。

問2　母の年齢が子の年齢の 5 倍になるのはいつ？

いまの年齢は、母が 40 歳、子が 12 歳です。父と子の例と同じように 2 人の年齢を表して、式を作ります。解が出たら、それが問題に合うかも確かめましょう。

式を作って解く

x 年後に 5 倍になるとします。x 年たつと、母も子も x 歳ずつ年をとるので、母は (40＋x) 歳、子は (12＋x) 歳です。

ことばの式は「母の年齢＝子の年齢の 5 倍」です。子の年齢 12＋x の全体を 5 倍するので、かっこをつけます。

• 40＋x＝5(12＋x)
• かっこをはずして、40＋x＝60＋5x
• x の項を右辺、数の項を左辺に集めて、−20＝4x
• x＝−5

−5 が出たら、どう考える？

年齢の問題で −5 が出ると、「計算を間違えたかな」と思いますよね。答えを疑ってみるのは、よい習慣です。

でも、さっきの 3 通りを思い出してください。x は「何年後か」を表していました。だから、「−5 年後」は 「5 年前」 と読みかえられます。3 通りのうち「② 読みかえて答え」です。

確かめ：5 年前、母は 40−5＝35 歳、子は 12−5＝7 歳です。7×5＝35 なので、本当に 5 倍になっています。答えは 5 年前 です。

比べてみよう：「3 倍」だったら

比べるために、問題が「3 倍」だったらどうなるかも見ておきます。40＋x＝3(12＋x) を解くと x＝2 なので、2 年後です（母 42 歳、子 14 歳）。

「x 年後」と置いたとき、x＝2 のような正の解なら、読みかえずにそのまま「2 年後」が答えです。x＝−5 のような負の解のときだけ、「5 年前」と読みかえます。

問2 の答えと、「3 倍」のときとの比べをまとめると、次のとおりです。

比の文章題の準備：比例式

最後は比の文章題です。比が出てくると、方程式にどうつなげればよいか迷いますよね。でも、比が等しいことを表す式を作れば、ここまでと同じように解けます。

比が等しいことを表す式を、比例式といいます。

• a:b＝c:d は、比の値が等しい、つまり a/b＝c/d ということです。
• この両辺に b×d をかけると、ad＝bc になります。

a:b＝c:d の、外側にある a と d を「外側の項」、内側にある b と c を「内側の項」といいます。外側の項の積と、内側の項の積が等しくなります。

決まり　a:b＝c:d なら ad＝bc（外側の項の積＝内側の項の積）

例：x:4＝3:2

• 外側は x と 2、内側は 4 と 3 なので、2x＝4×3
• 2x＝12
• x＝6

確かめると、6:4 は両方を 2 でわって 3:2 になり、合っています。

合計が分かっているときは「合計−x」

もう 1 つ思い出しておきたいことがあります。合わせて 15 個のうち、一方を x 個とすると、もう一方は (15−x) 個でしたね。合計が分かっているときは、もう一方を「合計−x」で表せます。

この 2 つを使って、次の問題を解きます。

問3　色紙を 5:3 に分ける

比例式を作って解く

姉を x 枚とします。合わせて 120 枚なので、妹は (120−x) 枚です。

姉と妹の比が 5:3 なので、比例式は次のようになります。

x:(120−x)＝5:3

外側の項は x と 3、内側の項は 120−x と 5 です。「外側の項の積＝内側の項の積」より、

• 3x＝5(120−x)　（120−x の全体に 5 をかけるので、かっこをつけます）
• かっこをはずして、3x＝600−5x
• −5x を左辺に移項して、8x＝600
• x＝75

確かめ：姉が 75 枚なら、妹は 120−75＝45 枚です。75:45 は両方を 15 でわると 5:3 になります。合わせて 120 枚にもなっています。答えは 75 枚 です。

別の見方：全体を 8 つに分ける

5:3 ということは、全体を 5＋3＝8 つに分けて、姉がそのうちの 5 つ分を持つということです。図のテープでいうと、120 枚を同じ大きさの 8 ますに分け、左の 5 ます分が姉、右の 3 ます分が妹です。

だから姉は、全体の 5/8 です。120×5/8＝75 で、同じく 75 枚になります。これを比例式で書くと、x:120＝5:8 です。どちらの見方でも、答えは同じになります。

まとめ

この回で使う決まり
– 道のり＝速さ×時間
– 解が出たら、問題に合うか確かめる（そのまま答え／読みかえて答え／答えにならない）
– a:b＝c:d なら ad＝bc（外側の項の積＝内側の項の積）

1. 速さの問題は、道のり＝速さ×時間を使って、人ごとに表に整理します。追いつく瞬間は、2 人の道のりが等しくなります。
2. 解が出たら、問題に合うかを確かめます。 結果は、そのまま答えになる・意味を読みかえて答えになる・答えにならない、の 3 通りです。兄が自転車で追いかける問題では、6 分後という解が出ても、駅までには追いつけませんでした。年齢の問題では、−5 年後を 5 年前と読みかえました。
3. 合計と比が分かっているときは、一方を x、もう一方を（合計−x）として比例式を作れば解けます。

「解が出たら、問題に合うか確かめる」。これを自分の言葉で言えるようになっていれば、この回の大事な所は身についています。あやしいなと思ったら、その場所に戻って読み直してみてください。

問いを自分で解いてみたい人は、このページの下からプリントと練習問題のページへ進めます。

よくある質問

Q. 追いつく問題で、2 人の時間を両方とも x にしてはいけないのはなぜですか。
A. 先に出た人は、出発が早かった分だけ長く歩いているからです。問1 では、兄が x 分走ったとき、9 分早く出た弟は (x＋9) 分歩いています。追いついた瞬間に 2 人で同じになるのは、時間ではなく、家からの道のりです。だから、ことばの式は「弟の道のり＝兄の道のり」になります。

Q. 方程式の答えがマイナスになりました。計算を間違えたのでしょうか。
A. すぐに間違いだと決めなくて大丈夫です。x が何を表していたかを思い出して、出た解が問題に合うかを確かめましょう（この記事で言う「確かめ」です）。問2 のように x を「何年後か」としていたら、x＝−5 は「5 年前」と読みかえられます。マイナスの解は、このように意味を読みかえると答えになることがあります。なお、マイナスかどうかに関係なく、出た解が問題に合わず、答えにならないこともあります（3 通りの③。たとえば、人数を x として x＝2.5 が出たとき）。

Q. 計算が正しいのに「答えにならない」ことがあるのはなぜですか。
A. 方程式は、問題の条件をすべて表しているとは限らないからです。問1(1) の x＝6 は、「駅のことは考えない」として道がずっと続いているときの解です。(2) で「駅まで」という条件が加わると、追いつく所（家から 900 m）は駅（家から 800 m）より先なので、その出来事は起こりません。解が出たら、問題の条件に合うかを確かめましょう。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2（準備中）
• STEP 1-3
• STEP 1-4（準備中）
• STEP 1-5（この記事）
• STEP 2-1（準備中）
• STEP 2-2（準備中）
• STEP 3（準備中）

栞先生

続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）

しおり先生

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