小数・分数がある方程式と比例式の解き方｜両辺に同じ数をかけて整数に直そう

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 小数がある方程式を、両辺に 10 や 100 をかけて整数だけの方程式に直す方法
• 分数がある方程式で「分母をはらう」方法と、「＝」のない式の計算ではやってはいけない理由
• 比例式の意味と、「外側の項の積＝内側の項の積」を使った解き方

この記事で使う3つの道具

方程式に 0.3 や 3分の1（1/3）のような数が入っていると、計算がややこしくなり、まちがいも出やすくなります。
そこでこの回では、小数や分数がある方程式を、整数だけの方程式に直してから解く方法を学びます。直してしまえば、あとはこれまでと同じように解くだけです。後半では、比が等しいことを表す「比例式」も解けるようにします。

この回で使う道具は、次の3つです。

• 小数 → 両辺に 10 や 100 をかけて整数にする
• 分数 → 両辺に分母の公倍数をかけて分母をはらう（最小公倍数にすると楽）
• 比例式 a:b＝c:d → ad＝bc（外側の項の積＝内側の項の積）

ここから1つずつ見ていきます。

小数がある方程式は、両辺に10や100をかける

例として、次の方程式を考えます。

0.2x＋0.5＝1.1

このままでも解けます。でも小数の計算では、小数点の位置を1つずらしただけでまちがえることがよくあります。0.2 や 0.5 が整数なら、ずっと楽ですよね。

両辺に同じ数をかけてよい理由

ここで使うのが等式の性質です。

【決まり】等式の性質
両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ

てんびんで考えてみましょう。両方の皿の重さを同じように10倍しても、つり合ったままです。だから、方程式の両辺を10倍してよいのです。

10倍して小数を消す

10倍すると、0.2x は 2x、0.5 は 5、右辺の 1.1 は 11 になります。

3つの項すべてに、同じ「×10」をかけています。すると、

• 2x＋5＝11（小数が消えました）
• 5 を、符号を変えて右辺に移す（これを「移項」といいます）と　2x＝6
• 両辺を 2 でわって　x＝3

もとの式に x＝3 を入れて確かめると、0.2×3＋0.5＝0.6＋0.5＝1.1 です。ちゃんと合っています。

注意：全部の項にかける

0.2x も 0.5 も 1.1 も、全部の項を10倍します。x の項だけを10倍すると、両辺に同じ数をかけたことにならないので、等式がくずれてしまいます。

10倍で足りないときは100倍

0.25 のように小数第2位まである数は、10倍すると 2.5 で、まだ小数が残ります。100倍すると 25 で、やっと整数になります。
かける数は、全部の項が整数になる数を選びましょう。

問1　何倍すればよいかを先に決める

解き始める前に、何倍すれば全部の項が整数になるかを先に決めます。自分で考えたい人は、ここで少し考えてから読み進めてください。

10倍だと、小数が残る

まず10倍してみます。0.3x は 3x、1.2 は 12、0.05x は 0.5x、0.3 は 3 になって、

3x−12＝0.5x＋3

0.5x がまだ小数のままです。10倍から試すのは自然な選び方です。大切なのは、ここで小数が残っていることに気づくことです。

何倍するかは、けた数がいちばん多い数で決める

0.05 は小数第2位まである数なので、100倍しないと整数になりません。

【決まり】何倍するか
小数点以下のけた数がいちばん多い数で決める
0.05 は小数第2位まで → 100倍

100倍すると、0.3x は 30x、1.2 は 120、0.05x は 5x、右辺の 0.3 は 30 になります。

4つの項それぞれに「×100」がかかっています。どれか1つの項だけ10倍してしまうのは、よくあるまちがいです。たとえば右辺の 0.3 を 3 と書くと、100倍した式になりません。4つの項が1つずつ100倍になっているか、見直しましょう。

あとは移項です。5x を左辺へ、−120 を右辺へ、符号を変えて移すと 30x−5x＝30＋120。25x＝150 なので、x＝6 です。

確かめでは、左辺も右辺も 0.6 になりました。等しいので、x＝6 で合っています。

分数がある方程式は「分母をはらう」

小数は10倍か100倍で整数にできました。では、分数を整数にするには、何をかければよいでしょうか。
次の方程式で考えます。

x/3＋2＝x/2（3分の x たす 2 は、2分の x に等しい）

分数のままだと、何度も通分が必要になって大変です。小数のときと同じように、両辺に同じ数をかけて整数にしましょう。

何をかければいい？

• x/3 の係数を整数にするには、3 でわり切れる数をかければよい
• x/2 の係数を整数にするには、2 でわり切れる数をかければよい

両方を一度に整数にするには、3 でも 2 でもわり切れる数、つまり 3 と 2 の公倍数をかけます。
公倍数は 6、12、18、…と続きます。いちばん小さい 6 を最小公倍数といいます（小学校で習いました）。かける数は小さいほうが計算が楽なので、最小公倍数の 6 を使います。

両辺に6をかける

x/3×6 は 2x、2×6 は 12、x/2×6 は 3x になります。

• 2x＋12＝3x（分数が消えました）
• 2x を右辺に移項して　12＝x
• つまり　x＝12

確かめると、左辺は 12÷3＋2＝6、右辺は 12÷2＝6。合っています。

【決まり】分母をはらう
分母の公倍数を両辺の全部の項にかけて、分母をなくす
かける数は最小公倍数にすると計算が楽

6 のかわりに 12 をかけても、分母はなくなって同じ答えになります。でも数が大きくなって計算が大変になるので、ふつうは最小公倍数をかけます。

注意が2つ

1. 分母のない項にもかける
上の例の「2」には分母がありませんが、ここにも6をかけて 2×6＝12 にします。分数の項だけにかけると、両辺に同じ数をかけたことになりません。

2. 分子が式のときは、かっこをつける
(x−1)/3 に6をかけると、6÷3＝2 が分子の x−1 の全体にかかります。なので、かっこをつけて 2(x−1) と書きます。

問2　分子が式の方程式

2分の (x＋1) から、3分の (2x−1) をひくと 1 になる、という方程式です。分子が式になっている所に気をつけましょう。

最小公倍数の6を両辺にかける

分母は 2 と 3 なので、最小公倍数の 6 を両辺にかけます。

• 1つ目の分数：6÷2＝3 が分子の x＋1 全体にかかって 3(x＋1)
• 2つ目の分数：6÷3＝2 が分子の 2x−1 全体にかかって 2(2x−1)
• 間のひき算は、そのまま残る
• 右辺の 1 も6倍して 6

右辺を 1 のままにしてしまうまちがいがよくあります。分数をなくすことに気をとられると、分母のない項を忘れがちです。分母のない項にもかけることを忘れないでください。

いちばんまちがえやすい所：かっこの前のひき算

次にかっこをはずします。

• 3(x＋1) は 3x＋3
• −2(2x−1) は、−2 を 2x にも −1 にもかける
  • −2×2x＝−4x
  • −2×(−1)＝＋2

この回でいちばんまちがいが出やすいのがここです。＋2 を −2 にしてしまう人がとても多いです。かっこの前にひき算があったら、うしろの項の符号まで確かめましょう。

3x＋3−4x＋2＝6 をまとめると −x＋5＝6。5 を移項して −x＝1。−x は −1×x なので、両辺を −1 でわって x＝−1 です。

下の答えの板書の終わりには、「式の計算」についての【注意】も入っています。これは、このあとの「似ているけれど違うもの」で見る、「＝」のない式の話です。

確かめでは、x＋1 は 0 なので、1つ目の分数は 0 です。2x−1 は −3 なので、2つ目の分数は −3÷3＝−1 です。0−(−1)＝1 となって、右辺と等しくなりました。

似ているけれど違うもの：「＝」のない式では分母をはらわない

次の式を見てください。

(1/2)x−(1/3)x＋1

これは「＝」のない、ただの式です。計算すると、通分して (3/6)x−(2/6)x＋1＝(1/6)x＋1 になります。

ここで、さっきと同じように6をかけて x＋6 としたくなりますが、これはまちがいです。
たとえば x に 6 を入れると、もとの式は 2、x＋6 は 12 になります。値が6倍に変わっていて、別の式になってしまっています。

方程式で6をかけてよかったのは、両辺に同じ6をかけても「等しい」という関係が変わらないからでした。式には両辺がないので、この方法は使えません。

【注意】分母をはらえるのは「＝」のある方程式だけ
式の計算ではしない

比例式は「外側の項の積＝内側の項の積」

ここからは比の話です。比が等しいことを表す式も、方程式として解くことができます。

比の値と比例式

小学校で習った比を思い出しましょう。a:b という比で、a を b でわった a/b を「比の値」といいました。

• 2:3 の比の値は 2/3
• 4:6 の比の値は 4/6 で、約分すると 2/3

比の値が同じなので、2:3 と 4:6 は等しい比です。これを 2:3＝4:6 と書きます。
このように、比が等しいことを表す式を「比例式」といいます。名前のとおり、比どうしを「＝」で結んだ式です。

外側どうし、内側どうしをかけてみる

では、x:4＝3:2 のように、比例式の中に x があったら、どう解けばよいでしょうか。
手がかりを探すために、2:3＝4:6 で試してみます。外側にあるのは 2 と 6、内側にあるのは 3 と 4 です。外側どうし、内側どうしをかけると、どうなるでしょうか。

• 外側は 2×6＝12
• 内側は 3×4＝12

同じになりました。もう1つ、1:4＝3:12 でも試してみます。

• 外側は 1×12＝12
• 内側は 4×3＝12

また同じです。

なぜいつも等しくなるの？

これは、たまたまではありません。
a:b＝c:d は、比の値が等しい、つまり a/b＝c/d ということです。この両辺に b×d をかけると、分数の方程式のときと同じように分母がはらわれて、a×d＝c×b になります。

だから比例式では、いつでも外側どうしの積と内側どうしの積が等しくなるのです。

【決まり】比例式の性質
a:b＝c:d ならば ad＝bc
外側の項の積＝内側の項の積

外側の項を「外項」、内側の項を「内項」ともいいます。

使ってみよう

x:4＝3:2 で使ってみます。

• 外側は x と 2 で 2x、内側は 4 と 3 で 12
• 2x＝12
• x＝6

確かめると、6:4 は両方を2でわって 3:2 になります。合っています。

問3　かっこのある比例式

まず、どれが外側の項で、どれが内側の項かを確かめてから式を作ります。

外側の項は x＋2 と 3、内側の項は 6 と 5 です。

式を作る

外側の項の積＝内側の項の積 なので、

(x＋2)×3＝6×5

大事なのは、x＋2 をひとまとまりとしてかけることです。x＋2 の全体に 3 をかけるので、かっこをつけて 3(x＋2) と書きます。分数の方程式で、分子の式にかっこをつけたのと同じ考え方です。

かっこを忘れて 3x＋2＝30 としてしまうまちがいがよくあります。x に 3 をかけることはできていますが、2 に 3 をかけ忘れているので、答えがずれてしまいます。正しくは 3x＋6 です。

3(x＋2)＝30 の両辺を3でわると x＋2＝10。2 を移項して x＝8 です。
かっこをはずして 3x＋6＝30、3x＝24、x＝8 と解いても、同じ答えになります。

x＝8 なら x＋2 は 10 なので、比は 10:6 です。両方を2でわると 5:3 になり、右の比と等しくなります。このように、比例式は比を簡単にすれば確かめられます。

まとめ

• 小数や分数が入った方程式は、両辺に同じ数をかけて、整数だけの方程式に直してから解く。
• 小数は、小数点以下のけた数がいちばん多い数を見て、全部の項が整数になるように 10、100、1000 などをかける。
• 分数は、分母の公倍数をかけて分母をはらう。かける数は最小公倍数にすると楽。
• どちらも、かける数は数だけの項（分数では分母のない項）もふくめて、全部の項にかける。
• 両辺に同じ数をかけてよいのは方程式だから。「＝」のない式の計算ではしない。
• 比例式は、外側の項の積＝内側の項の積 を使って解く。
• どれも、解いたあとにもとの式に入れれば、自分で答え合わせができる。

ページの下のプリントと練習問題で、この3つの道具を使ってみてください。分からなくなったら、いつでもこのページに戻ってきて大丈夫です。

よくある質問

Q. 小数の方程式で、10倍と100倍のどちらにすればいいか迷います。
A. 小数点以下のけた数がいちばん多い数を見て決めます。0.3 のように小数第1位までなら10倍、0.05 のように小数第2位まである数がふくまれていたら100倍です。かけたあと、全部の項が整数になっているかを確かめましょう。

Q. 分母をはらうとき、最小公倍数でなくてもいいのですか？
A. 公倍数であれば分母はなくなり、同じ答えになります。たとえば x/3＋2＝x/2 で、6 のかわりに 12 をかけても x＝12 です。ただ、数が大きくなって計算が大変になるので、ふつうは最小公倍数をかけます。

Q. (1/2)x−(1/3)x＋1 のような式でも、6をかけて分母をはらっていいですか？
A. いいえ。分母をはらえるのは「＝」のある方程式だけです。方程式では両辺に同じ数をかけても「等しい」という関係が変わりませんが、「＝」のない式に6をかけると、値が6倍の別の式になってしまいます。式の計算では、通分して (1/6)x＋1 のように計算します。

この単元の授業

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