【数学 中学3年 #1】多項式の展開と因数分解 練習問題（ステップ2）

数学 中学3年 ステップ2｜全12問

基本の因数分解

まず式全体に共通因数がないかを確かめ、そのあとに定数項や中間項の形を見ます。因数分解した式を展開して元に戻るか確認すると、符号の間違いにも気づきやすくなります。

次の式を因数分解しなさい。

\(\displaystyle 4a²+6a\)を因数分解しなさい

\(\displaystyle x²-49\)を因数分解しなさい

\(\displaystyle x²-10x+25\)を因数分解しなさい

\(\displaystyle x²+11x+18\)を因数分解しなさい

組み合わせて因数分解

4つの項を2項ずつに分け、各組をくくったときに同じかっこが現れる組み合わせを探します。最初の分け方でそろわないときは、別の組み合わせも試してみましょう。

項の組み合わせを考えて、次の式を因数分解しなさい。

\(\displaystyle mn+4m+3n+12\)を因数分解し、mを含む因数を先に書きなさい

係数から定数を求める

かっこのある式を丁寧に展開し、同じ次数の項どうしの係数を比べます。完全平方式では、中間項の係数と定数項のつながりに注目してください。

展開した式の係数を比べて、空欄に当てはまる数を求めなさい。

問6\(\displaystyle (x+p)(x-4)=x²-10x+q\)が成り立つとき、p=①、q=②です。①、②に当てはまる数を書きなさい。

完全平方式になるように、空欄に当てはまる数を求めなさい。

問7\(\displaystyle x²+14x+k\)が完全平方式になるとき、k=①です。①に当てはまる数を書きなさい。

因数分解の活用

すぐに数値を計算せず、平方の差として表せないかを先に考えます。積の形に直してから計算や代入をすると、見通しよく進められる場合があります。

平方の差を利用して、次の計算を工夫しなさい。

問819.7×20.3を平方の差を利用して工夫して計算すると、答えは①です。①に当てはまる数を書きなさい。

先に因数分解してから値を代入しなさい。

問9\(\displaystyle x=68\)、\(\displaystyle y=32\)のとき、\(\displaystyle x²-y²\)の値を先に因数分解してから求めると、答えは①です。①に当てはまる数を書きなさい。

誤りを直す

答えを直すだけでなく、どの符号や公式の使い方に誤りがあるのかを説明します。因数分解した式を展開し、もとの式と比べる方法も使ってみてください。

因数分解の誤りを見つけ、正しい式と理由を書きなさい。

問10\(\displaystyle x²-12x+36=(x+6)²\)という因数分解には誤りがあります。正しい因数分解に直し、誤りの理由を書きなさい。

文字式で証明する

数量を文字式で表し、式を整理して、何と整数の積になっているかを示します。最後に、その積の形からいえる性質を言葉で書くところまでが証明です。

文字式を使って、次の性質を証明しなさい。

問11十の位がa、一の位がbである2桁の自然数と、その数の十の位と一の位を入れ替えた数との和は、11の倍数になります。このことを文字式で表し、因数分解して証明しなさい。

計算方法を説明する

使った因数分解の公式、変形した式、計算しやすくなる理由を順につなげて書きます。計算結果だけでなく、もとの方法と比べて何が変わったのかも説明しましょう。

因数分解を利用した計算方法と、そのよさを説明しなさい。

問12\(\displaystyle x=1001\)、\(\displaystyle y=999\)のとき、\(\displaystyle x²-y²\)は、xとyをそのまま代入してそれぞれ2乗するより、先に因数分解してから代入すると計算しやすくなります。平方の差の利用に触れ、式を示して理由を説明しなさい。

解答・解説

問1\(\displaystyle 2a(2a+3)\)

問2\(\displaystyle (x+7)(x-7)\)

問3\(\displaystyle (x-5)²\)

問4\(\displaystyle (x+2)(x+9)\)

問5\(\displaystyle (m+3)(n+4)\)

問6①＝−6、②＝24

問7①＝49

問8①＝399.91

問9①＝3600

問10正しくは\(\displaystyle x²-12x+36=(x-6)²\)である。中間項が−12xなので、かっこの中の符号は負になる。また、\(\displaystyle (x+6)²\)を展開すると\(\displaystyle x²+12x+36\)となる。

問11もとの数は\(\displaystyle 10a+b\)、位を入れ替えた数は\(\displaystyle 10b+a\)と表せる。その和は、\(\displaystyle (10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)\)となる。\(\displaystyle a+b\)は整数なので、\(\displaystyle 11(a+b)\)は11の倍数である。

問12\(\displaystyle x²-y²=(x+y)(x-y)\)と因数分解してから代入すると、\(\displaystyle (1001+999)(1001-999)=2000×2=4000\)となる。大きな数をそれぞれ2乗する計算が、和と差を求めてかける計算に変わるため、計算しやすい。