凸レンズの入試基礎：表から焦点距離を読む・焦点を作図で求める・レンズを隠したときの像

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 実験の結果の表から焦点距離を求め、像の大きさやスクリーンの動きを判断する方法
• 焦点がかいていない図から、3本の光の決まりを逆に使って、焦点を作図で見つける方法
• レンズの端を通る光の進み方と、レンズの一部を隠したときに像がどうなるか

この回で解く問題

この記事は、凸レンズの「入試の基礎」の回の解説です。

入試では、教科書で見た図がそのまま出るとは限りません。よく出るのは、次のような問題です。

• 実験の結果の表を読む問題
• 焦点がかいていない図から、焦点を見つける問題
• レンズの一部を隠したら像がどうなるかを答える問題

この記事では、こうした問題を3つ（問1〜問3）解きます。

凸レンズの3本の光や、焦点・実像・虚像という言葉を「あれ、どうだったっけ」と思った人は、先に基礎の回「凸レンズ①」「凸レンズ②」を見ておくと、ずっと分かりやすくなります。

問題に入る前に、今日使う決まりを2つだけふり返っておきます。

ふり返り①：凸レンズを通る3本の光

まず言葉の確認です。

• 光軸：レンズの中心を通り、レンズの面に垂直な線。
• 焦点：光軸に平行に入った光が集まる点。レンズの両側の、レンズから同じ距離の所に1つずつある。

凸レンズを通る光のうち、進み方が決まっている3本の光があります。

こうして並べると、1本目と3本目は、行きと帰りが入れかわった関係になっています。

本当は、光はレンズに入るときと出るときの2回曲がります。でも作図では、レンズの中心の縦の線で1回だけ曲げてかくという約束にしています。

そして、物体の先端から出た光がレンズを通って交わる点が、像の先端になります。

この図では、レンズの左3マスに高さ1マスの物体（上向きの矢印）があり、焦点（F）はレンズの左右2マスの所にあります。物体の先端から出た3本の光は、次のように進みます。

• 赤：光軸に平行に進んでレンズの上1マスで曲がり、右の焦点を通る
• 青：レンズの中心をまっすぐ通る
• 緑：左の焦点を通ってレンズの下2マスに届き、そこから光軸に平行に進む

3本はレンズの右6マス・光軸から下へ2マスの1点で交わります。ここが像の先端です。

この3本の光は、問2で「逆向きに」使います。

ふり返り②：目印は「焦点」と「焦点距離の2倍」

物体を置く位置によって、できる像が変わります。判断するときの目印は「焦点」と「焦点距離の2倍」の2つです。

• 物体を焦点の上に置くと、レンズを出た光が平行になるので、像はできません。
• 焦点より内側に置くと、スクリーンには映りません。でも、物体と反対側からレンズをのぞくと、物体より大きく、物体と同じ向きの像が見えます。これが虚像です。

実像は光が実際に集まってできる像、虚像は光が集まっていない像です。

この表は、問1でそのまま使います。

問1：実験の結果の表を読む

(1) 焦点距離は「等しい列」の半分

表で最初にさがすのは、上の行と下の行の数が等しい列です。この表では、24 cm と 24 cm の列がそれです。

ふり返り②の表のとおり、物体を焦点距離の2倍の所に置くと、反対側の2倍の所に同じ大きさの実像ができます。つまり、この24 cm が焦点距離の2倍です。

焦点距離は、24 ÷ 2 ＝ 12 cm です。

24 cm と答えた人へ
24と24の列に目をつけたところまでは合っています。抜けていたのは、2でわることだけです。「2つの距離が同じ」と気づいたら、「ここは2倍の位置」と思い出して、半分にしましょう。

(2) 同じ大きさの像は、その列そのもの

(1)で見つけた列が、物体と同じ大きさの像ができる所です。答えは 24 cm です。

(3) 焦点より内側なら虚像

8 cm は、焦点の12 cm より内側です。焦点より内側では、レンズを出た光が広がっていき、交わりません。だからスクリーンには映らず、レンズをのぞくと虚像が見えます。

答えは「虚像で、物体より大きく、物体と同じ向き」です。

「虚像」とだけ書いた人へ
像の種類は合っています。ただ、問いで聞かれている大きさと向きが抜けています。入試では、種類・大きさ・向きの3つをまとめて聞かれることが多いので、セットで言えるようにしておきましょう。

(4) 目印を表に書きこんでから考える

まず、2つの目印を表に書きこみます。焦点は12 cm、2倍は24 cm です。

この図では、表の24の列を丸で囲んで「＝2倍」と書き、上の行の数がどの範囲に入るかを書きこんでいます。

• 18 cm：焦点と2倍のあいだ → 大きい実像。スクリーンは36 cm で、2倍より遠い所。
• 24 cm：ちょうど2倍 → 同じ大きさの実像。スクリーンも24 cm。
• 36・48・60 cm：2倍より遠い → 小さい実像。スクリーンは18・16・15 cm で、どれも焦点と2倍のあいだ。

物体を18 cm から60 cm まで遠ざけると、像は「大きい→同じ→小さい」と小さくなっていきます。スクリーンは36 cm から15 cm へと、レンズに近づけます。

「物体を遠ざけたら、スクリーンも遠ざける」と答えた人へ
2つが同じ向きに動くと考えたのですね。そう感じるのは自然です。でも、表の上の行と下の行を見比べてみてください。上の数が大きくなると、下の数は小さくなっています。反対向きに変わるのです。
また、スクリーンはレンズに近づいていきますが、焦点の12 cm より近くにはなりません。

問2：焦点がかいていない図から焦点を見つける

問1では、表から焦点距離を求めました。今度は図から求めます。

方眼の図に、物体と凸レンズ、スクリーンに映った実像がかいてあります。物体はレンズの左6マスにある高さ2マスの上向きの矢印です。実像はレンズの右12マスにある長さ4マスの下向きの矢印です。焦点はかいてありません。

「焦点がないのに、どうやって？」と思うかもしれません。でも、3本の光の決まりを逆に使えば見つけられます。物体の先端と像の先端は、もう図にあります。これを手がかりにします。

(1) 右側の焦点：「平行に入る光 → 反対側の焦点を通る」を使う

1. 物体の先端から、光軸に平行にレンズまで線を引きます。レンズに届く所は、光軸から上へ2マスです。
2. この光はレンズで曲がって、像の先端に届くはずです。像の先端は、レンズの右12マス・下へ4マスです。
3. レンズの上2マスの点と像の先端を結びます。
4. この線が光軸を横切るのは、レンズの右4マスの所です。ここが右側の焦点です。

(2) 左側の焦点：「手前の焦点を通る光 → 平行に出る」を使う

今度は像の側から考えます。

1. 像の先端に、光軸と平行に届く光を考えます。この光は、レンズの「下へ4マス」の点から出ています（像の先端が下へ4マスなので）。
2. この光は、レンズに入る前に左の焦点を通ってきた光のはずです。
3. 物体の先端と、レンズの下4マスの点を結びます。
4. この線が光軸と交わるのは、レンズの左4マスの所です。ここが左側の焦点です。

(3) 左右がそろえば正解

焦点は、レンズの両側の、同じ距離の所にあるのでした。左右どちらも4マスでそろったので、焦点距離は4マスです。

もし左右がそろわなかったら、どこかの線がずれています。そろうかどうかが、そのまま答え合わせになります。

ふり返り②の目印でも確かめる

焦点は4マス、2倍は8マスです。物体は6マスなので、焦点と2倍のあいだにあります。だから、大きい実像になるはずです。図の像は4マスで、物体の2マスより大きくなっています。ちゃんと合っています。

問3の前に：3本以外の光はどこへ行く？

ここまで、作図にはいつも3本の光を使ってきました。でも、物体の先端から出ている光は、本当に3本だけでしょうか。

実は、物体からは光が四方八方へ出ています。だから、レンズのいろいろな所に光が当たっています。では、3本以外の光は、レンズを通ったあとどこへ行くのでしょう。ここでは、物体が焦点より外側にあって、スクリーンに実像が映っているときで考えます。

手がかりは、スクリーンに映ったはっきりした像です。像では、物体の先端がくっきり1点に映っています。もし3本以外の光がばらばらの所へ行っていたら、先端はぼやけて広がって見えるはずです。

図で確かめてみます。

この図は、問2とは別の図です。焦点はレンズの左右3マスにあります。レンズの左6マスに高さ2マスの物体があり、3本の光はレンズの右6マス・下へ2マスで交わっています。

ここに、物体の先端から、3本とは別の高さ（レンズの上1マスと下1マス）を通る光を2本足しました（黄色の線）。どちらの光も、レンズを通ったあと、3本が交わったのと同じ点（像の先端）に集まっています。

まとめると、次のようになります。

物体が焦点より外側にあるとき、物体の1点から出た光は、レンズのどこを通っても、像の1点に集まり、実像ができる。

3本の光は、行き先が分かりやすいから作図に選んでいるだけです。

ただし、物体が焦点より内側にあるときは別です。問1(3)で見たとおり、レンズを出た光は広がっていき、交わりません。この決まりは、実像ができるときの話です。

問3：レンズの端を通る光と、レンズを隠したときの像

問2と同じ図を使います。問2で求めた焦点（レンズの左右4マス）もかいてあります。物体の先端からレンズの上の端（光軸から上へ5マス）までの線が引いてあります。

2つとも、さっきの決まりで答えられます。問2の物体はレンズの左6マスにあり、焦点の4マスより外側です。スクリーンにも実像が映っています。だから、「物体の1点から出た光は、レンズのどこを通っても、像の1点に集まる」が使えます。

(1) 端を通る光は、像の先端へ向かう

レンズの端を通る光は、3本の光の決まりのどれにも当てはまりません。そこで、先に像の先端を確かめます。

1. 物体の先端から光軸に平行に進む光は、レンズの上2マスで曲がり、右の焦点（右4マス）を通ります。
2. 中心を通る光は、「右へ3マス進むと下へ1マス」の傾きで、まっすぐ進みます。
3. この2本が交わるのは、右12マス・下へ4マス。スクリーンの像の先端と同じ点です。
4. 物体の先端から出た光は、レンズのどこを通っても、この点に集まります。だから、レンズの上の端と像の先端を直線で結べば完成です。この線は「右へ12マス進むと下へ9マス」の傾きになります。

図の太い緑の線が答えの線です。うすい色の破線は、次に説明するまちがいの線です。

いちばん多いまちがい：端を通った光を、右の焦点に通してしまう
レンズを出たあと反対側の焦点を通るのは、光軸に平行に入った光だけです。端に来た光は、物体の先端から斜めに上がってきた光なので、平行ではありません。
実際、正しい線が光軸を横切るのは、焦点よりレンズから遠い所です。右の焦点に通した線をスクリーンまでのばすと、光軸から下へ10マスの所に行ってしまいます（図の「×」の所）。像の先端（下へ4マス）からはずれてしまうのです。
端から光軸に平行に出してしまうのも、同じまちがいです。どちらも像の先端を通らなくなります。

(2) 隠しても、像は欠けずに暗くなる

物体の先端からは、光がレンズ全体に当たっています。

• 上半分を隠すと、上半分を通る光（図の灰色の光）はなくなります。
• でも、下半分を通る光（図の赤い光）は残っていて、やはり像の先端に集まります。
• 先端だけでなく、物体のどの点から出た光でも同じです。

だから、像は欠けずに全体ができます。ただ、集まる光の量が減るので暗くなります。答えはウです。

この問題は、今回の中でいちばん直感と合わない所かもしれません。

アやイを選んだ人へ
「レンズの上半分が像の上半分をつくっている」と考えたのですね。そう見えてしまうのは無理もありません。でも本当は、レンズのどの場所も、像の全体をつくっています。

エを選んだ人へ
中心を通る光や平行な光が隠れたから、像がつくれないと考えたのだと思います。3本の光を大事にしてきた証拠です。でも、3本は作図しやすいから選んでいるだけで、ほかの光も同じ点に集まります。

まとめ

1. 表が出たら：2つの距離が等しい列をさがす。そこが焦点距離の2倍なので、半分にすれば焦点距離。そのあとは、焦点と2倍の目印を表に書きこんで、像を判断する。
2. 焦点がかいていない図では：3本の光の決まりを逆に使って焦点を見つける。左右の焦点がそろえば正解。
3. 物体が焦点より外側にあって実像ができるとき：物体の1点から出た光は、レンズのどこを通っても像の1点に集まる。だから、端を通る光は像の先端へ向かい、レンズを一部隠しても像は欠けずに暗くなる。

この3つを、自分の言葉で言えるか確かめてみてください。ページの下から行けるプリントと練習問題のページで、もう一度使ってみましょう。自分のペースで大丈夫です。

このシリーズは「基礎」「入試基礎」「入試応用」の3段になっていて、この回は「入試基礎」です。もっと難しい問題に挑戦したい人向けの「入試応用」の回も、順番に公開していきます。

よくある質問

Q. 焦点を作図で求めたら、左と右で距離がちがってしまいました。
A. 焦点はレンズの両側の、同じ距離の所にあります。左右がそろわないときは、どこかの線がずれています。右側は「光軸に平行に入る光が、レンズの所で曲がって像の先端へ行く線」になっているか、確かめましょう。左側は、まず像の先端から光軸と平行にレンズまで線をもどします。その線がレンズに届く点（問2では、レンズの「下へ4マス」の点）と、物体の先端を結んだ線になっているか、もう一度確かめましょう。

Q. 物体をレンズから遠ざけたら、スクリーンも遠ざければいいのではないですか？
A. 反対です。問1の表のとおり、物体が遠くなると、スクリーンはレンズに近づけます。像も小さくなっていきます。ただし、スクリーンが焦点よりレンズに近くなることはありません。

Q. レンズの上半分を隠したのに、どうして像の上半分（または下半分）は欠けないのですか？
A. 物体のどの点から出た光も、レンズ全体に当たっていて、レンズのどこを通っても像の同じ1点に集まるからです。上半分を隠しても、下半分を通った光が像のすべての点に集まります。そのため像は欠けません。ただ、集まる光の量が減るので暗くなります。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2
• STEP 1-3
• STEP 1-4
• STEP 2-1
• STEP 2-2（この記事）
• STEP 3-1（準備中）
• STEP 3-2（準備中）

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