【数学 中学1年 #3】一次方程式 練習問題（STEP 2-2）

1200 円

解き方

定価を x 円とします。動画では「2 割増しは 1.2 倍」と言いました。もとの 1 に、増える 0.2 をたして 1.2 倍です。割引きも同じ考えで、もとの 1 から引かれる 0.2 をひきます。1−0.2=0.8 なので、2 割引きの代金は定価の 0.8 倍です。\(\displaystyle 0.8x=960\)、\(\displaystyle x=1200\)。確かめ：\(\displaystyle 1200×0.8=960\)。
\(\displaystyle 0.2x=960\) とした人は、0.2x が「引かれた分」で、払った代金ではないことを確かめてください。この式から \(\displaystyle x=4800\) になりますが、4800 円の 2 割引きは 3840 円で、960 円になりません。

2000 円

解き方

原価を x 円とすると、定価は 1.2x 円です。1 割引きは、もとの 1 から引かれる 0.1 をひいて 0.9 倍です。売値は \(\displaystyle 1.2x×0.9=1.08x\) 円。\(\displaystyle 1.08x−x=160\)、\(\displaystyle 0.08x=160\)、\(\displaystyle x=2000\)。確かめ：定価 2400 円、売値 2160 円、利益 160 円。基準が原価から定価に変わる所に注意します。

480 人

解き方

昨年を x 人とすると、5 % 増えたので \(\displaystyle 1.05x=504\)、\(\displaystyle x=480\)。504 の 5 % をひいて 478.8 とする間違いに注意します。増えた割合の基準は昨年の人数です。

4 km

解き方

速さが時速なので、時間を「時間」の単位にそろえます。50 分は 0.5 時間ではなく、\(\displaystyle \frac{50}{60}=\frac{5}{6}\) 時間です。自転車で進んだ道のりを x km とすると、歩いた道のりは \(\displaystyle (6−x) km\)。時間＝道のり÷速さ なので、ことばの式「自転車の時間＋歩いた時間＝全体の時間」から、\(\displaystyle \frac{x}{12}+\frac{6−x}{4}=\frac{5}{6}\)。12 をかけて \(\displaystyle x+3(6−x)=10\)、\(\displaystyle x+18−3x=10\)、\(\displaystyle −2x=−8\)、\(\displaystyle x=4\)。確かめ：自転車 \(\displaystyle 4÷12=\frac{1}{3}\) 時間（20 分）、歩き \(\displaystyle 2÷4=\frac{1}{2}\) 時間（30 分）、合わせて 50 分。
50 分を 0.5 時間として解くと \(\displaystyle x=6\) になり、歩いた道のりが 0 km になってしまいます。「途中から歩いた」という問題に合わないので、単位のそろえ方を見直します。

6 km

解き方

2 時間 30 分は 2.3 時間ではなく、2 と \(\displaystyle \frac{30}{60}=\frac{5}{2}\) 時間です。片道を x km とすると、\(\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{x}{4}=\frac{5}{2}\)。12 をかけて \(\displaystyle 2x+3x=30\)、\(\displaystyle x=6\)。確かめ：1 時間＋1.5 時間＝2.5 時間。

800 m

解き方

歩いた道のりを x m とすると、\(\displaystyle \frac{x}{80}+\frac{2400−x}{200}=18\)。400 をかけて \(\displaystyle 5x+2(2400−x)=7200\)、\(\displaystyle 3x=2400\)、\(\displaystyle x=800\)。確かめ：10 分＋\(\displaystyle 1600÷200=8\) 分で 18 分。

兄 600 円、弟 600 円（「2 人とも 600 円」「600 円ずつ」と答えても正解です）

解き方

x 円ずつ使ったとすると、\(\displaystyle (3000−x)\):\(\displaystyle (1800−x)=2\):1。\(\displaystyle 3000−x=2(1800−x)\)、\(\displaystyle 3000−x=3600−2x\)、\(\displaystyle x=600\)。確かめ：2400:1200=2:1。同じ額ずつ使うと、2 人の金額の「差」1200 円は変わりません。

18 個

解き方

x 個移すと、\(\displaystyle (30−x)\):\(\displaystyle (18+x)=1\):3。\(\displaystyle 3(30−x)=18+x\)、\(\displaystyle 90−3x=18+x\)、\(\displaystyle 72=4x\)、\(\displaystyle x=18\)。確かめ：A 12 個、B 36 個で 1:3。合計 48 個が変わらないことから、A は \(\displaystyle 48×\frac{1}{4}=12\) 個、と考えることもできます。

3 割

解き方

原価の x 割の利益を見込んだとします。x 割は \(\displaystyle \frac{x}{10}\) なので、見込んだ利益は \(\displaystyle 800×\frac{x}{10}=80x\) 円、定価は \(\displaystyle (800+80x)\) 円です。1 割引きは、もとの 1 から 0.1 をひいて 0.9 倍なので、売値は \(\displaystyle 0.9(800+80x)=720+72x\) 円。利益＝売値−原価 なので、\(\displaystyle 720+72x−800=136\)、\(\displaystyle 72x−80=136\)、\(\displaystyle 72x=216\)、\(\displaystyle x=3\)。確かめ：定価 800+240=1040 円、売値 \(\displaystyle 1040×0.9=936\) 円、利益 936−800=136 円。
1 割引きの 1 割を原価の 1 割（80 円）としてしまうと、\(\displaystyle (800+80x)−80−800=136\) から \(\displaystyle 80x=216\)、\(\displaystyle x=2.7\) になります。確かめると、定価は 800+216=1016 円で、その 1 割引きは \(\displaystyle 1016×0.9=914.4\) 円です。利益は 914.4−800=114.4 円になり、136 円になりません。見込んだ利益は「原価」の割合、1 割引きは「定価」の割合で、基準がちがいます。また、求めた \(\displaystyle x=3\) は「3 円」ではなく「3 割」です。x が何を表していたかに戻って答えます。

1200 m

解き方

速さが「分速○ m」なので、道のりを m にそろえます。3 km=3000 m です。休む前に歩いた道のりを x m とすると、休んだ後の道のりは \(\displaystyle (3000−x) m\)。全体の 45 分には、休んだ 5 分も入っています。ことばの式は「休む前に歩いた時間＋休んだ時間＋休んだ後に歩いた時間＝45」。\(\displaystyle \frac{x}{60}+5+\frac{3000−x}{90}=45\)。180 をかけて \(\displaystyle 3x+900+2(3000−x)=8100\)、\(\displaystyle x+6900=8100\)、\(\displaystyle x=1200\)。確かめ：休む前 \(\displaystyle 1200÷60=20\) 分、休み 5 分、休んだ後 \(\displaystyle 1800÷90=20\) 分、合わせて 45 分。
休んだ 5 分を式に入れ忘れると \(\displaystyle x=2100\) になります。このとき歩いた時間は 35 分＋10 分＝45 分で、休みを足すと 50 分になり、問題に合いません。また、3 km を 3 のまま式に入れると、m と km がまざって正しい式になりません。

20 枚

解き方

使ったのは姉だけなので、妹の 30 枚は変わりません。姉が x 枚使ったとすると、姉は \(\displaystyle (45−x)\) 枚。\(\displaystyle (45−x)\):30=5:6。外側の項の積＝内側の項の積 で、\(\displaystyle 6(45−x)=30×5\)、\(\displaystyle 270−6x=150\)、\(\displaystyle 120=6x\)、\(\displaystyle x=20\)。確かめ：姉 25 枚、妹 30 枚。25:30 は両方を 5 でわると 5:6。合っています。
妹の枚数からも x をひいて \(\displaystyle (45−x)\):\(\displaystyle (30−x)=5\):6 とした人は、問題を読み直して、どちらの数が変わったのかを確かめてください。宿題 7 のように両方が減る場面と、この問いのように片方だけが変わる場面では、式がちがいます。