中2数学｜連立方程式【Step 1a】

中2 数学｜連立方程式｜Step 1a

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

「式が2本並ぶと、どっちから手をつければいいんだろう」と戸惑う人は多いです。

学習マップ

この単元の位置づけです。

連立方程式 の 解き方 ――加減法 と 代入法
どっちで解く？ → 式の形 を見て選ぶ！

2元1次方程式とは

栞先生

文字が1つ増えると、解の数はどう変わるのでしょう？

2元1次方程式 ―― 2つの文字 x, y をふくむ 1次方程式
例: x + y = 9

2元1次方程式の解 ―― 式を成り立たせる (x, y) の組
図のように、解は無数にある

2元1次方程式とは x と y の2つの文字を含む1次方程式です（例: x+y=9）。この式を満たす (x,y) の組は無数に存在します。x=1,2,3 と値を決めるたびに対応する y が1つ決まりますが、その組み合わせは際限なく作れます。

連立方程式とは

栞先生

「1本の式では解が無数にある」という話をしましたが、2本になるとどうなるのでしょう？

連立方程式 ―― 2つ以上の方程式を組にしたもの

連立方程式の解 ―― すべての式を同時に成り立たせる (x, y) の組
答えは 解の組 (x, y) の形で表す

2本以上の方程式の組み合わせを連立方程式といいます。連立方程式の解とはすべての式を同時に満たす (x,y) の組で、(x,y)=(,) の形で表します。

x+y=9 の解は無数ありますが、2x+y=12 と組み合わせると共通するのは (x,y)=(3,6) だけです。1本では無数だった解が2本そろうことで1組に決まります。

確認問題①：連立方程式の解を見つける

栞先生

両方の式に代入して確かめる習慣をつけましょう。

【問題①】次のア〜エの(x, y)の組のうち、連立方程式 x + y = 7, 3x − y = 5 の解はどれですか。1つ選びなさい。

• ア: (x, y) = (2, 5)
• イ: (x, y) = (4, 3)
• ウ: (x, y) = (3, 4)
• エ: (x, y) = (2, 1)

連立方程式 x+y=7、3x-y=5 の解を選んでください。ア(2,5)・イ(4,3)・ウ(3,4)・エ(2,1)

解答①

栞先生

正解はウ (x,y)=(3,4)。

正解：ウ (x, y) = (3, 4)

3+4=7 かつ 3×3-4=5 でどちらも成立します。2本とも代入して確認する習慣をつけましょう。

解き方の核心：文字を1つ消去する

栞先生

文字が2つある連立方程式、中1の解き方がそのまま使えないのはなぜでしょうか？

文字の消去 ―― 1つの文字を消して 1元1次方程式 にする考え方

例: 2x + y = 8 と 3x + 2y = 13 → yを消せば x だけの式になる → 解ける！

連立方程式を解く鍵は文字の消去です。2文字ある式から一方を消去して1元1次方程式に変換します。文字を消去する具体的な方法が加減法と代入法の2種類です。

加減法の手順

栞先生

加減法の「加」はたすこと、「減」はひくこと。どちらを選ぶかは係数の符号が教えてくれます。

加減法 ―― 文字の係数の絶対値をそろえ、式を たす・ひく ことで1文字を消す解法

yの係数が +1 と −1 → たすと y が消えて x だけの式に

加減法は、消したい文字の係数の絶対値をそろえ、式をたすかひくかして1文字を消去する方法です。係数の符号が逆（例: +1 と -1）なら式をたすと消え、同符号なら式をひくと消えます。

例: x+y=9 と 2x-y=3 を連立する場合、y の係数が +1/-1 なので両式をたすと 3x=12、x=4。これを代入して y=5。解は (x,y)=(4,5)。

確認問題②：加減法の基本

栞先生

y の係数の符号に注目しましょう。

【問題②】連立方程式 2x + y = −1, 4x − y = −11 を加減法で解きなさい。答えは (x, y) = ( ①, ② ) の形で書きなさい。

ヒント：yの係数の符号に注目しよう

連立方程式 2x+y=-1、4x-y=-11 を加減法で解いて (x,y)=(,) の形で答えてください。

解答②

栞先生

正解は (x,y)=(-2,3)。

正解: (x, y) = (−2, 3)

y の係数が +1/-1 なので両式をたすと 6x=-12、x=-2。①に代入して y=3。

係数がそろっていない場合：何倍かしてそろえる

栞先生

係数が都合よくそろっていない場合、どうすればよいでしょうか？

係数がそろっていないときは、式を何倍かしてそろえてから たす・ひく

例: 2x + 3y = 13, 4x + y = 11 → 上の式を2倍して x の係数を4にそろえる

消したい文字の係数の絶対値をそろえるよう、一方の式を定数倍してから加減します。例えば 2x+3y=13 と 4x+y=11 で x を消去する場合、①を2倍して 4x+6y=26 にしてから②をひくと 5y=15、y=3。①に代入して x=2、解は (x,y)=(2,3)。

確認問題③：係数をそろえて加減法

栞先生

y の係数をそろえるところから考えてみましょう。

【問題③】連立方程式 2x + y = 8, 3x + 2y = 13 を加減法で解きなさい。答えは (x, y) = ( ①, ② ) の形で書きなさい。

さっき『文字の消去』で見た式だね。yの係数をそろえてみよう

連立方程式 2x+y=8、3x+2y=13 を加減法で解いて (x,y)=(,) の形で答えてください。

解答③

栞先生

正解は (x,y)=(3,2)。

正解: (x, y) = (3, 2)

①を2倍して 4x+2y=16、②をひくと x=3。①に代入して y=2。

確認問題④：係数がすでにそろっている場合

栞先生

y の係数をよく見ると、何倍もしなくて済む場合があります。

【問題④】連立方程式 3x + 2y = 13, x + 2y = 7 を加減法で解きなさい。答えは (x, y) = (①, ②)。

yの係数はすでに同じ → そのまま引くだけでyが消える

連立方程式 3x+2y=13、x+2y=7 を加減法で解いて (x,y)=(,) の形で答えてください。

解答④

栞先生

正解は (x,y)=(3,2)。

正解: (x, y) = (3, 2)

y の係数がどちらも2なので①−②だけで 2x=6、x=3。②に代入して y=2。

確認問題⑤：加減法の仕上げ

栞先生

片方の式を何倍すれば絶対値がそろうか考えてみましょう。

【問題⑤】連立方程式 5x + 2y = 16, 3x − y = 3 を加減法で解きなさい。答えは (x, y) = (①, ②)。

②を2倍すればyの係数の絶対値がそろう → たしてyを消す

連立方程式 5x+2y=16、3x-y=3 を加減法で解いて (x,y)=(,) の形で答えてください。

解答⑤

栞先生

正解は (x,y)=(2,3)。

正解: (x, y) = (2, 3)

②を2倍して 6x-2y=6、①とたすと 11x=22、x=2。①に代入して y=3。

代入法の手順

栞先生

y=·s という式があったとき、それをどう活かすかが代入法の出発点です。

代入法 ―― 一方の式を他方に代入して1文字を消す解法

y=…の式は、そのままyの場所に代入できる（2項以上ならかっこをつける）

代入法は、一方の式を y=·s（または x=·s）の形に整理し、その右辺をもう一方の式の対応する文字にかっこをつけて代入する方法です。2項以上の式を代入するときのかっこは省略禁止です。かっこを省くと分配法則が正しくかからず、計算ミスの原因になります。

例: ①y=2x-1、②3x+y=9 の場合、②の y に (2x-1) を代入すると 3x+(2x-1)=9、整理して 5x=10、x=2。①に代入して y=3。解は (x,y)=(2,3)。

確認問題⑥：代入法

栞先生

かっこをつけて代入するところから始めましょう。

【問題⑥】連立方程式 y = 3x + 1, 2x + 4y = 11 を代入法で解きなさい。答えは (x, y) = ( ①, ② ) の形で書きなさい。分数は約分した形のまま答えなさい。

yの場所に 3x+1 をかっこをつけて代入しよう

連立方程式 y=3x+1、2x+4y=11 を代入法で解いて (x,y)=(,) の形で答えてください（分数になっても構いません）。

解答⑥

栞先生

正解は (x,y)=($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)。

正解: (x, y) = ($\frac{1}{2}$, $\frac{5}{2}$)

②の y に (3x+1) を代入すると 2x+4(3x+1)=11、整理して 14x=7、x=$\frac{1}{2}$。①に代入して y=$\frac{5}{2}$。答えが分数になるのは連立方程式では普通のことです。

よくある3つのミス

栞先生

計算の手順は合っているはずなのに答えが違うとき、どこを疑えばよいでしょうか？

符号とかっこ、ここが加減法・代入法の勝負どころ！

ミスが集中しやすい箇所は3つです。①加減法でひき算するとき、引く式の全項の符号を変え忘れる。②代入するとき2項以上の式にかっこをつけない（y に 3x+1 を代入する際、かっこなしでは4が全項にかからない）。③かっこをはずすとき、分配法則で一部の項への掛け算を忘れる。いずれも1項ずつ丁寧に確認することで防げます。

加減法と代入法の使い分け

栞先生

加減法と代入法、どちらを選べばよいか迷ったことはありますか？

加減法と代入法に共通する考え ―― どちらも2つの文字のうち1つを消去して一元の方程式をつくる方法

y=…の式があれば代入法が速い。なければ加減法で係数をそろえる方が楽なことが多い

どちらの方法もアプローチが違うだけで、1文字を消去して1元1次方程式を作るというゴールは同じです。目安は、y=·s や x=·s の形の式があれば代入法（式をそのまま代入できて速い）、そうでなければ加減法（係数をそろえて消去する）を選ぶとよいでしょう。

まとめ

栞先生

ここまでで学んだ2つの解法を整理しておきましょう。

2元1次方程式→連立方程式→文字の消去→加減法・代入法。『どっちで解く？』に自分の言葉で答えられたら今日はOK！

加減法は係数の絶対値をそろえて式をたし引きし1文字を消去します。代入法は y=·s の式をもう一方にかっこつきで代入して1文字を消去します。どちらも最終的に1元1次方程式を導くのがゴールです。y=·s の式があれば代入法が速く、そうでなければ加減法を選ぶと見通しよく解けます。

よくある質問

加減法と代入法、どちらを使っても答えは同じになりますか？

はい、どちらを使っても同じ答えになります。2つの方法は「1文字を消去して1元1次方程式にする」という目標が共通で、アプローチが違うだけです。問題の式の形を見て計算しやすい方を選んでください。

代入するときにかっこを忘れるとどうなりますか？

分配法則が正しく適用されず計算結果が変わります。例えば y=3x+1 を 4y に代入する際、かっこなしだと後ろの +1 に4がかかりません。必ず 4(3x+1) とかっこをつけましょう。

解が分数になった場合、計算が間違っていますか？

間違いではありません。連立方程式の解が分数になることは普通にあります。計算過程が正しければ分数のまま答えてください。

この単元の授業

• Step 1a（この記事）

栞先生

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