中2数学｜一次関数【Step 1a】

中2 数学｜一次関数｜Step 1a

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

基本料金1500円、通話1分あたり20円とします。通話\(\displaystyle x\)分の料金を\(\displaystyle y\)円とすると、通話料金は\(\displaystyle 20x\)円です。基本料金と合わせて\(\displaystyle y=20x+1500\)となり、二つの料金を一つの式で表せます。

学習マップ

この単元の位置づけです。

式のaとb、グラフのどこを見ればよいかが混ざりやすい。

\(\displaystyle y=2x+1\) → 傾き2・切片1 → 点(0,1)から右に1、上に2

一次関数の式から直線をかき、直線から式を読めると、式とグラフの行き来がラクになる。

基本料金と通話料金を一つの式へ

栞先生

基本料金1500円、通話1分あたり20円とします。通話\(\displaystyle x\)分の料金を\(\displaystyle y\)円とすると、通話料金は\(\displaystyle 20x\)円です。基本料金と合わせて\(\displaystyle y=20x+1500\)となり、二つの料金を一つの式で表せます。

家族のひとこと：基本が1500円で、通話は1分ごとに20円かかるみたい。

通話時間が増えるたびに料金が一定ずつ増える関係を、一次関数で表せる。

aとbはグラフの設計情報

栞先生

一次関数は\(\displaystyle y=ax+b\)（\(\displaystyle a\ne0\)）と表します。\(\displaystyle a\)は傾きで、\(\displaystyle x\)が1増えたときの\(\displaystyle y\)の増加量です。\(\displaystyle b\)は切片で、\(\displaystyle x=0\)のときの値、つまり点\(\displaystyle (0,b)\)の\(\displaystyle y\)座標です。

一次関数　\(\displaystyle y=ax+b\)（a、bは定数、\(\displaystyle a≠0\)）

傾きと切片は、式のa・bがそのまま表す大切な意味。ここは焦らず、式のa・bが何を表すかを、くり返し確かめよう。

式の係数を読み取る実演

栞先生

\(\displaystyle y=3x-2\)を\(\displaystyle y=ax+b\)と比べると、\(\displaystyle a=3\)、\(\displaystyle b=-2\)です。したがって、傾きは3、切片は\(\displaystyle -2\)です。負の符号も数の一部として読みます。

係数を読むときは、負の符号も数の一部として受け取る。

\(\displaystyle y=ax+b\)の係数から、傾き=a・切片=bと読み取る。

確認問題①

栞先生

一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)（\(\displaystyle a\ne0\)）について、\(\displaystyle a\)と\(\displaystyle b\)が表すものの組み合わせとして正しいものを選びなさい。ア　\(\displaystyle a\)は切片、\(\displaystyle b\)は傾き。イ　\(\displaystyle a\)は傾き、\(\displaystyle b\)は切片。ウ　\(\displaystyle a\)は\(\displaystyle x\)の値、\(\displaystyle b\)は\(\displaystyle y\)の値。

一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)（\(\displaystyle a≠0\)）について、aとbが表すものの組み合わせとして正しいものを選びなさい。

• ア　aは切片、bは傾き
• イ　aは傾き、bは切片
• ウ　aはxの値、bはyの値

確認問題① 解答

栞先生

答えはイです。\(\displaystyle a\)は傾き、\(\displaystyle b\)は切片を表し、変化する\(\displaystyle x\)、\(\displaystyle y\)とは役割が異なります。

答え：イ

aはxが1増えたときのyの増加量を表す傾きで、bは\(\displaystyle x=0\)のときのyの値を表す切片です。

式に通話時間を当てはめる

栞先生

\(\displaystyle y=20x+1500\)に\(\displaystyle x=10\)を当てはめると、\(\displaystyle y=20\times10+1500=1700\)です。10分通話した料金は1700円となり、\(\displaystyle x\)を変えれば別の通話時間の料金も求められます。

同じ式で、通話時間を変えたときの料金も求められる。

確認問題②

栞先生

ある携帯電話の料金プランは、基本料金が1500円で、通話1分あたり20円が加わります。通話\(\displaystyle x\)分の料金\(\displaystyle y\)円は\(\displaystyle y=20x+1500\)で表されます。30分通話したときの料金は何円ですか。

ある携帯電話の料金プランは、基本料金が1500円で、通話1分あたり20円が加わります。通話x分の料金y円は\(\displaystyle y=20x+1500\)で表されます。30分通話したときの料金は何円ですか。

確認問題② 解答

栞先生

答えは2100円です。\(\displaystyle x=30\)を当てはめると、\(\displaystyle y=20\times30+1500=600+1500=2100\)です。

答え：2100

したがって、料金は2100円です。

一次関数の範囲を見分ける

栞先生

一次関数は\(\displaystyle y=ax+b\)（\(\displaystyle a\ne0\)）の形です。比例\(\displaystyle y=ax\)は\(\displaystyle b=0\)の場合で、一次関数に含まれます。反比例\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)や、\(\displaystyle x\)の項がない\(\displaystyle y=5\)は一次関数ではありません。

xを含む式がすべて一次関数なのではない。yがxの1次式で表されるかを確かめる。

この区別が難しいときは、まず\(\displaystyle y=ax+b\)の形と見比べよう。式の形を手がかりにすると基本を確かめられる。

確認問題③

栞先生

次の式のうち、\(\displaystyle y\)が\(\displaystyle x\)の一次関数であるものをすべて選びなさい。ア　\(\displaystyle y=3x+2\)。イ　\(\displaystyle y=5x\)。ウ　\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)。

次の式のうち、yがxの一次関数であるものをすべて選びなさい。

• ア　\(\displaystyle y=3x+2\)
• イ　\(\displaystyle y=5x\)
• ウ　\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)

確認問題③ 解答

栞先生

答えはア、イです。アは\(\displaystyle y=ax+b\)の形、イは\(\displaystyle b=0\)の比例であり、ウは反比例です。

答え：ア、イ

一次関数のグラフの形

栞先生

一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)のグラフは直線です。傾き\(\displaystyle a\)が一定なので、\(\displaystyle x\)が1増えるごとの\(\displaystyle y\)の増加量も一定です。この説明は一次関数の直線についてのもので、反比例には当てはまりません。

一次関数 \(\displaystyle y=ax+b\) のグラフは直線

傾きaが一定なので、xが1増えるごとのyの増加量も一定になり、点が同じ向きに並ぶ。

反比例は一次関数ではなく、ここで扱う直線\(\displaystyle y=ax+b\)には当てはまらない。

傾きと切片から式を組み立てる

栞先生

傾き\(\displaystyle -1\)を\(\displaystyle a\)、切片4を\(\displaystyle b\)に当てはめると、\(\displaystyle y=(-1)x+4\)です。係数1を省けば\(\displaystyle y=-x+4\)となります。傾きと切片の両方が分かるときの考え方です。

傾き→a、切片→bと対応させれば、直線の式にできる。

確認問題④

栞先生

傾きが2、切片が\(\displaystyle -3\)である直線の式を、\(\displaystyle y\)を\(\displaystyle x\)の式で表す形で書きなさい。

傾きが2、切片が−3である直線の式を、yをxの式で表す形で書きなさい。

確認問題④ 解答

栞先生

答えは\(\displaystyle y=2x-3\)です。\(\displaystyle a=2\)、\(\displaystyle b=-3\)を\(\displaystyle y=ax+b\)に当てはめます。

答え：\(\displaystyle y=2x-3\)

傾きの符号と直線の向き

栞先生

\(\displaystyle a>0\)なら、\(\displaystyle x\)が増えると\(\displaystyle y\)も増えるため右上がりです。\(\displaystyle a<0\)なら、\(\displaystyle x\)が増えると\(\displaystyle y\)は減るため右下がりです。\(\displaystyle y=2x+1\)は前者、\(\displaystyle y=-3x+2\)は後者に当たります。

直線の向きを確かめる手がかり

栞先生

正直、右上がりと右下がりは言葉だけだと混ざりやすいところです。傾きは\(\displaystyle x\)が1増えたときの\(\displaystyle y\)の増加量なので、正なら上へ、負なら下へ進みます。この手がかりは一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)の直線に使います。

傾きはxが1増えたときのyの増加量。正なら上へ、負なら下へ進むので、直線の向きが決まる。

どうしても迷うときは、a>0：右上がり、a<0：右下がりの対比を手がかりにし、あとで傾きの意味に戻って確かめよう。

この手がかりは一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)の直線に使う。反比例のグラフを同じ見方で判定するものではない。

確認問題⑤

栞先生

一次関数\(\displaystyle y=-1.5x+3\)のグラフについて、正しい説明を選びなさい。ア　右下がりの直線である。イ　右上がりの直線である。ウ　直線にはならない。

一次関数\(\displaystyle y=-1.5x+3\)のグラフについて、正しい説明を選びなさい。

• ア　右下がりの直線である
• イ　右上がりの直線である
• ウ　直線にはならない

確認問題⑤ 解答

栞先生

答えはアです。傾き\(\displaystyle -1.5\)は負なので、\(\displaystyle x\)が増えると\(\displaystyle y\)は減り、右下がりの直線になります。

答え：ア

傾き−1.5は負なので、xが増えるとyは減ります。したがって、グラフは右下がりの直線です。

切片から傾きぶん進んで作図する

栞先生

\(\displaystyle y=2x+1\)では切片\(\displaystyle (0,1)\)をとり、傾き2に従って右に1、上に2進み、点\(\displaystyle (1,3)\)をとります。二点を通る直線をかけば完成です。ほかの正しい二点を使っても同じ直線になります。

切片の点から傾きで次の点をとるのは、作図しやすくする工夫の一つ。別の2点を正しくとっても同じ直線をかける。

確認問題⑥

栞先生

座標平面に、一次関数\(\displaystyle y=-3x+2\)のグラフをかきなさい。切片を表す点と、その点から\(\displaystyle x\)が1増えたときの点もプロットしなさい。

座標平面に、一次関数\(\displaystyle y=-3x+2\)のグラフをかきなさい。切片を表す点と、その点からxが1増えたときの点もプロットしなさい。

確認問題⑥ 解答

栞先生

答えは点\(\displaystyle (0,2)\)と点\(\displaystyle (1,-1)\)を通る直線\(\displaystyle y=-3x+2\)です。切片から右に1、下に3進んで二点目をとります。

答え：点(0,2)と点(1,−1)をプロットし、その2点を通る直線\(\displaystyle y=-3x+2\)

グラフから傾きと切片を読む

栞先生

点\(\displaystyle (0,-2)\)と点\(\displaystyle (3,-1)\)を通る直線では、切片は\(\displaystyle -2\)です。\(\displaystyle x\)が3増える間に\(\displaystyle y\)が1増えるため、傾きは\(\displaystyle \frac{1}{3}\)です。したがって、式は\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x-2\)となります。

切片はy軸との交点のy座標。傾きはxが1増えたときのyの増加量。この二つで直線の式を読める。

確認問題⑦

栞先生

グラフに示された直線は、\(\displaystyle y\)軸と点\(\displaystyle (0,1)\)で交わり、点\(\displaystyle (2,2)\)を通っています。この直線の式を選びなさい。ア　\(\displaystyle y=2x+1\)。イ　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-1\)。ウ　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\)。エ　\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+1\)。

グラフに示された直線は、y軸と点(0,1)で交わり、点(2,2)を通っています。この直線の式を選びなさい。

• ア　\(\displaystyle y=2x+1\)
• イ　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-1\)
• ウ　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\)
• エ　\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+1\)

確認問題⑦ 解答

栞先生

答えはウです。切片は1で、\(\displaystyle x\)が2増える間に\(\displaystyle y\)が1増えるため、傾きは\(\displaystyle \frac{1}{2}\)です。

答え：ウ

xの変域からyの変域を求める

栞先生

変数がとりうる値の範囲を変域といいます。\(\displaystyle y=2x+1\)で\(\displaystyle -1\leqq x\leqq3\)なら、両端の\(\displaystyle x=-1,3\)を代入すると\(\displaystyle y=-1,7\)です。傾きが正なので、\(\displaystyle -1\leqq y\leqq7\)となります。

変数のとりうる値の範囲を変域という。一次関数では、xの変域の両端に対応するyを調べる。

右下がりでは大小が逆転する

栞先生

\(\displaystyle y=-2x+1\)で\(\displaystyle -1\leqq x\leqq2\)なら、両端での値は\(\displaystyle y=3,-3\)です。傾きが負なので大小の対応が逆になります。小さい順に並べ、\(\displaystyle y\)の変域は\(\displaystyle -3\leqq y\leqq3\)です。

よくある間違い

栞先生

\(\displaystyle y=3x-2\)の二つの数に注目できても、役割を逆にすると傾き\(\displaystyle -2\)、切片3となります。正しくは傾き3、切片\(\displaystyle -2\)です。また、切片2は点\(\displaystyle (2,0)\)ではなく、\(\displaystyle y\)軸上の点\(\displaystyle (0,2)\)です。

× \(\displaystyle y=3x-2\) → 傾き−2、切片3

○ \(\displaystyle y=3x-2\) → 傾き3、切片−2

× 切片2だから、点(2,0)からグラフをかく

○ 切片2なら、y軸上の点(0,2)から考える

よくある間違い：変域

栞先生

右下がりでは、端に対応した順のまま\(\displaystyle 3\leqq y\leqq-3\)と書きがちです。二つの値を小さい順に並べれば、正しくは\(\displaystyle -3\leqq y\leqq3\)です。

× \(\displaystyle y=-2x+1\)では、\(\displaystyle 3≦y≦-3\)

○ yの変域は小さい順に書き、−3≦y≦3

式とグラフを行き来するまとめ

栞先生

\(\displaystyle y=ax+b\)では\(\displaystyle a\)が傾き、\(\displaystyle b\)が切片です。切片と傾きから直線をかけ、直線から式を読めます。式を見て、傾き・切片・直線の向きを説明できるか確かめましょう。

• \(\displaystyle y=ax+b\)では、aは傾き、bは切片
• 切片の点と傾きから直線をかける
• 直線の傾きと切片を読めば式がわかる

自己点検：式を見て傾きと切片を言い、どちら向きの直線になるか自分の言葉で説明できるか確かめよう。あやしければ「aとbはグラフの設計情報」に戻ろう。

この先、変化の割合や2直線の交点も登場する。ここでは、式とグラフを行き来する土台までを押さえよう。

よくある質問

\(\displaystyle x\)を含む式はすべて一次関数ですか？

いいえ。\(\displaystyle y=ax+b\)（\(\displaystyle a\ne0\)）の形で表せるかを確かめます。たとえば反比例\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)は\(\displaystyle x\)を含みますが、一次関数ではありません。

傾きと切片を逆に読んでしまうときはどうしますか？

\(\displaystyle y=ax+b\)では、\(\displaystyle x\)の前の\(\displaystyle a\)が傾き、最後に加える\(\displaystyle b\)が切片です。切片は\(\displaystyle x=0\)のときの\(\displaystyle y\)の値だと確かめると、役割を整理できます。

傾きが分数のとき、分子と分母をどう読みますか？

\(\displaystyle x\)がどれだけ増えたときに\(\displaystyle y\)がどれだけ増えたかを見ます。\(\displaystyle x\)が2増えて\(\displaystyle y\)が1増えるなら、\(\displaystyle x\)が1増えたときの増加量は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)です。

傾きが小数でもグラフは直線ですか？

はい。一次関数\(\displaystyle y=ax+b\)なら、傾きが小数でもグラフは直線です。傾きが負なら、\(\displaystyle x\)が増えると\(\displaystyle y\)が減る右下がりになります。

この単元の授業

• Step 1a（この記事）

栞先生

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