一次方程式の文章題 入試の基礎：割合（原価・定価）・速さが途中で変わる・比が変わる

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 原価・定価・売値・利益の関係を、割合を使って x の式で表し、方程式にする方法
• 途中で速さが変わる問題を表に整理して、「時間の和」で方程式を作る方法
• 玉を移して比が変わる問題で、移した後の数を x で表して比例式を作る方法

この記事で練習する 3 つの形

この記事では、入試によく出る一次方程式の文章題を、3 つの形で練習します。

• 割合（原価・定価・売値・利益）
• 途中で速さが変わる
• やりとりで比が変わる

文章題は、次の順に進めます。

1. 何を x にするか決める
2. 等しい関係を見つけて、式を作る
3. 方程式を解く
4. 答えが文章に合うか確かめて、答える

この流れにまだ自信がない人は、先にこのシリーズの基礎の回「文章題①（1d）」と「文章題②（1e）」を読んでおくと、ついていきやすくなります。いつ戻ってきても大丈夫です。

この記事では、次の 4 つの関係を使います。

• a 割＝a/10　a %＝a/100
• 利益＝売値−原価
• 時間＝道のり÷速さ
• a:b＝c:d なら ad＝bc

割合と、売り買いの言葉

売り買いの問題でまず迷うのは、「3 割」と言われたときに、何に何をかければいいのか、というところです。

割合の表し方（小学校の復習）

• 1 割＝1/10＝0.1
• 3 割＝0.3
• 5 %＝5/100＝0.05

売り買いの 4 つの言葉

• 原価：お店が仕入れた値段
• 定価：お店が最初につけた値段
• 売値：実際に売った値段
• 利益：売れたお金から、仕入れたお金をひいた分。つまり 利益＝売値−原価

例：原価 1000 円に、原価の 2 割の利益を見込む

見込んだ利益は 1000×0.2＝200 円なので、定価は 1000＋200＝1200 円です。

この 200 円は、「定価で売れたら、これだけもうけたい」という見込みです。実際の利益は、実際に売った値段で決まるので、売値−原価で求めます。

1000 に 1000×0.2 をたす計算は、1000×1.2 と同じです。もとの 1 に、増える 0.2 をたして 1.2 倍になります。

2 割増し＝1.2 倍（もとの 1＋増える 0.2）

と考えると、式が短く書けます。

いちばん気をつけたいこと

この単元でいちばん引っかかりやすいのは、計算よりも、「何の」2 割なのかを読み取るところです。原価の 2 割なら原価にかけます。定価の 2 割なら定価にかけます。

問1：割合の問題（原価を求める）

原価・定価・売値と、値段が 3 つ出てきます。まずはそれぞれを x を使って表してから、等しい関係を探します。

考え方

① x を決める
聞かれているのは原価なので、原価を x 円とします。

② 定価と売値を x で表す

• 原価の 3 割の利益を見込んだので、定価は x に 0.3x をたして 1.3x 円です。「2 割増しは 1.2 倍」と同じ考え方で、3 割増しは 1.3 倍です。
• 売値は、定価から 150 円引いたので、(1.3x−150) 円です。

数直線でいうと、原価から定価まで上がって、そこから 150 円下がった所が売値です。

③ 等しい関係を見つける
分かっているのは「利益が 210 円」ということです。利益＝売値−原価 なので、ことばの式は

売値−原価＝210

です。これを x の式にして解きます。

上の解き方の途中にある 0.3x＝360 で小数が気になる人は、両辺を 10 倍して 3x＝3600 にしてもかまいません。

よくある間違い

1. 定価を 0.3x としてしまう
「3 割」と聞いて 0.3 をかけるのは、自然な発想です。ただ、0.3x は見込んだ利益の分です。定価は、それを原価にたした 1.3x です。

2. 「定価の 3 割」と読んでしまう
この問題の 3 割は、原価に対する割合です。割合が出てきたら、いつも「何の」何割かを確かめましょう。

途中で速さが変わるとき

速さの問題では、次の関係を使います。

• 道のり＝速さ×時間
• 時間＝道のり÷速さ

困るのは、途中で速さが変わるときです。歩いてから走るときのように速さが 2 つあると、全体を 1 つの速さで計算することはできません。

区間ごとに表を作る

そこで、区間ごとに分けて考えます。

• 表の列を、区間ごとに分ける
• 行には、速さ・道のり・時間を書く
• 合計の列も作る（全体で分かっていることを書きこめます）

単位をそろえる

分速なら時間は「分」、時速なら時間は「時間」で考えます。

よくある間違いが、1 時間 45 分を 1.45 時間 としてしまうことです。45 分は 60 分のうちの 45 分なので、45/60＝3/4 時間です。だから、

1 時間 45 分＝1 と 3/4 時間

になります。

問2：途中で速さが変わる問題

ここからは、上で見た表を使って、解き方を順に追っていきます。自分で解いてみたい人は、ページの下のプリントで問2 に取り組めます。

考え方

① x を決める
聞かれているのは歩いた道のりなので、これを x m とします。全体が 1800 m なので、走った道のりは (1800−x) m です。

② 表に書きこむ

• 速さの行：歩く 60、走る 150
• 道のりの行：歩く x、走る 1800−x、合計 1800
• 時間の行：時間＝道のり÷速さ で求めます。歩いた時間は x/60 分、走った時間は (1800−x)/150 分、合計は 21 分

③ 等しい関係を見つける
表の時間の行から、ことばの式は

歩いた時間＋走った時間＝21

です。式にすると x/60＋(1800−x)/150＝21 です。

④ 分母をはらって解く
60 と 150 の最小公倍数は 300 なので、両辺に 300 をかけます。

• x/60 は 5x になります
• (1800−x)/150 は 2(1800−x) になります
• 右辺の 21 は 6300 になります

分子の 1800−x はひとまとまりの式なので、かっこをつけたまま 2 倍するのがポイントです。

よくある間違い：道のりで式を作ってしまう

「x＋(1800−x)＝1800」という式を作った人もいるかもしれません。道のりの関係に目をつけたのは、よい着眼点です。ただ、この式は x がどんな数でも成り立つので、x が決まりません。

まだ使っていない条件は「21 分」です。だから、時間で式を作ります。

なお、歩いた道のりではなく、歩いた時間を文字にしても解くことができます。何を x にするとよいかは、このシリーズの入試応用の回で考えます。

比が変わるとき

比が等しいことを表す式を、比例式といいます。

• a:b＝c:d なら ad＝bc（外側の項の積＝内側の項の積）
• 項に x を使った式が入るときは、かっこごとかけます

入試では、やりとりをして数が変わり、その後で比がいくつになった、という問題がよく出ます。ここで迷うのは、前の数と後の数のどちらで比を作るのか、というところです。

比を作るのは、文章で「その比になった」と言っている時の数です。「前」の数と「後」の数を分けて書いておけば、取り違えずにすみます。

問3：やりとりで比が変わる問題

移す前と移した後で、A と B の数がそれぞれどうなるかを書いてから、比例式を作ります。

考え方

① x を決める
移した玉の数を x 個とします。

② 移した後の数を x で表す

• A は x 個減って (63−x) 個
• B は x 個増えて (27＋x) 個

③ 比例式を作る
4:5 になったのは移した後なので、移した後の数で比例式を作ります。

(63−x):(27＋x)＝4:5

外側の項の積は (63−x)×5、内側の項の積は (27＋x)×4 です。かっこごとかけて、5(63−x)＝4(27＋x) になります。かっこをはずしたら、x の項を右辺に、数の項を左辺に集めて解きます。

よくある間違い：B も減らしてしまう

B を 27−x として、両方から減らしてしまう間違いがよくあります。「移す」と聞いて減るほうに意識が向くのは、自然なことです。でも、A から出た玉は B に入るので、B は増えます。上の図で、矢印が A から B に向いていることを確かめましょう。

別の見方：変わらない量に目をつける

玉を移しても、全部の数 63＋27＝90 個は変わりません。移した後の A と B は 4:5 なので、A は全体を 4＋5＝9 に分けたうちの 4 つ分です。

90×4/9＝40 個

もとは 63 個だったので、63−40＝23 個移したと分かります。

このように、変わらない量に目をつけると、式がぐっと簡単になることがあります。この見方は、入試応用の回でも使います。

まとめ：3 つの形で気をつけること

• 割合：「何の」何割かを確かめる。○割増しは「1＋割合」倍。利益＝売値−原価 で式を作る
• 速さが変わる：区間ごとに表を作り、時間の和で式を作る
• 比が変わる：変わった後の数を x で表し、比例式を作る

3 つとも見た目はちがいますが、表や図に整理してから、等しい関係を探すという流れは同じです。むずかしく感じたところは、自分のペースでもう一度読み返してみてください。

このページの下から、問1〜問3 を書きこんで解けるプリントと宿題、画面で解ける練習問題、宿題の解説動画へ進めます。

よくある質問

Q. 「3 割の利益を見込んで定価をつける」とき、定価は 0.3x ですか、1.3x ですか？
A. 定価は 1.3x です。0.3x は見込んだ利益の分なので、それを原価 x にたして x＋0.3x＝1.3x になります。「3 割増し＝1.3 倍」と覚えておくと便利です。ただし、その 3 割が原価の 3 割なのか定価の 3 割なのかは、いつも文章で確かめましょう。

Q. 速さの問題で、道のりの合計で式を作ったら x が消えてしまいました。どうすればいいですか？
A. 歩いた道のりを x m、走った道のりを (1800−x) m とおいた時点で、道のりの合計 1800 m はもう使っています。そのため、x＋(1800−x)＝1800 は x がどんな数でも成り立ち、x が決まりません。まだ使っていない条件（問2 なら「全体で 21 分」）を使って、時間の和で式を作りましょう。

Q. 比が変わる問題では、前の数と後の数のどちらで比例式を作るのですか？
A. 文章で「その比になった」と言っている時の数で作ります。問3 では、4:5 になったのは移した後なので、移した後の数 (63−x) 個と (27＋x) 個で比例式を作ります。前と後の数を分けて書いておくと、取り違えにくくなります。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2
• STEP 1-3
• STEP 1-4
• STEP 1-5
• STEP 2-1
• STEP 2-2（この記事）
• STEP 3

栞先生

続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）

しおり先生

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