方程式と解・等式の性質　てんびんで分かる x の見つけ方

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 「方程式」と「解」の意味と、ある数が解かどうかを確かめる方法
• 「等式の性質」（両辺に同じことをしても等式は成り立つ）が、てんびんで見るとなぜ成り立つのか
• 等式の性質を使って、4x−5＝7 のような方程式の x を自分で求める方法

まずは問題：x＋5＝8 の x はいくつ？

この記事では、式の中にかくれている数 x を見つける方法を学びます。目標は、4x−5＝7 の x を自分で求められるようになることです。言葉も決まりも、初めて聞く人に向けて 1 つずつ説明していきます。

まず、次の式を見てください。

x＋5＝8　x はいくつ？

「3 でしょ」と思った人は多いのではないでしょうか。3＋5 は 8 です。

このときあなたは、頭の中で「＝ の左と右が同じ大きさになる数」を探していました。

等式・左辺・右辺・両辺

x＋5＝8 のように、＝ を使って、左と右が等しいことを表した式を等式といいます。「文字と式」の単元で一度出てきた言葉です。

等式には、場所を表す名前があります。

• ＝ の左側 → 左辺
• ＝ の右側 → 右辺
• 左辺と右辺を合わせて → 両辺

x＋5＝8 なら、左辺は「x＋5」、右辺は「8」です。

では、x に入る数は本当に 3 だけなのでしょうか。いろいろな数を入れて調べてみましょう。

方程式と解

x＋5＝8 の x に、1、2、3、4 を順に入れて、左辺を計算します。右辺はいつでも 8 です。

• x＝1 のとき、左辺は 6。右辺の 8 と等しくありません。
• x＝2 のとき、左辺は 7。等しくありません。
• x＝3 のとき、左辺は 8。右辺と同じになりました。
• x＝4 のとき、左辺は 9。今度は大きすぎます。

x を大きくすると左辺も大きくなっていくので、左辺と右辺が等しくなるのは x が 3 のときだけです。

x＋5＝8 のように、x にどんな数を入れるかによって、成り立ったり成り立たなかったりする等式を方程式といいます。

そして、方程式を成り立たせる x の値を、その方程式の解といいます。x＋5＝8 の解は 3 です。

解を求めることを、方程式を解くといいます。

解かどうかの確かめ方

ある数が解かどうかは、上でやったように確かめられます。

x にその数を代入して、左辺と右辺を別々に計算して比べる。

等しくなれば解、等しくならなければ解ではありません。

負の数を代入するときは、かっこをつける

1 つ気をつけたいのが、負の数を代入するときです。かっこをつけて代入します。

たとえば、2−x に x＝−2 を代入すると、

2−(−2)＝2＋2＝4

となります。かっこを忘れて「2−2」と書くと 0 になってしまい、答えが変わります。

問1　解が 3 である方程式はどれ？

上の確かめ方を使ってみましょう。

ウ（3x＝x＋6）は、右辺にも x があります。これをどう確かめるかも考えてみてください。

「解が 3」とは、x に 3 を入れたとき、左辺と右辺が同じ値になるということです。ア・イ・ウのそれぞれで、左辺と右辺を別々に計算して比べます。

• ア：左辺は 2×3−1＝5、右辺は 5。等しいので、3 は解です。
• イ：左辺は 4−3＝1、右辺は −1。等しくないので、3 は解ではありません。
• ウ：左辺は 3×3＝9、右辺は 3＋6＝9。等しいので、3 は解です。

イで「1 と −1 は数字が同じだから OK」とした人もいるかもしれません。計算はちゃんとできています。でも、1 と −1 は違う数です。符号までぴったり同じになって、はじめて解といえます。

ウのように両辺に x があっても、確かめ方は変わりません。両方の x に同じ 3 を入れて、左辺と右辺を比べます。

これで、解かどうかを確かめられるようになりました。とはいえ、数を 1 つずつ試して解を探すのは大変です。解が −12 だったり分数だったりしたら、なかなか見つかりません。そこで次は、数を試さずに解を見つける方法を考えます。

てんびんで考える

x＋5＝8 を、数を試さずに解く方法を考えます。手がかりにするのはてんびんです。

左の皿には、重さの分からない「x の箱」が 1 つと、重さ 1 の重りが 5 個のっています。右の皿には、重さ 1 の重りが 8 個のっています。左辺と右辺が等しいので、てんびんはつり合っています。

知りたいのは x の箱の重さです。左の皿に箱だけが残れば、重さが分かります。

そこで、両方の皿から、重さ 1 の重りを 5 個ずつ取ってみます。てんびんは左に傾くでしょうか、右に傾くでしょうか。それとも、つり合ったままでしょうか。どちらの皿からも同じ重さが減る、というところが手がかりです。

取ったあと、左の皿は x の箱だけ、右の皿は重り 3 個になります。てんびんはつり合ったままです。

だから、x の箱の重さは 3 です。表で 1 つずつ試して見つけた解と、同じになりました。

これを式で書くと、両辺から 5 をひいて、

x＋5−5＝8−5

x＝3

となります。数を試さずに、解が見つかりました。

等式の性質

てんびんで確かめたような決まりを、等式の性質といいます。

まず、てんびんで分かったように、両辺から同じ数をひいても、等式は成り立ちます。

同じように考えると、両方の皿に同じ重さの重りをのせても、つり合ったままです。つまり、両辺に同じ数をたしても、等式は成り立ちます。

下の図は、左の皿に x の箱 1 つと重り 2 個、右の皿に重り 5 個がのったてんびんです。両方の皿に重りを 1 個ずつのせても、つり合ったままです。

また、両方の皿の物をそれぞれ 2 倍や 3 倍にしても、つり合ったままです。つまり、両辺に同じ数をかけても、等式は成り立ちます。

下の図は、左の皿に x の箱 1 つと重り 1 個、右の皿に重り 4 個がのったてんびんです。両方の皿の物をそれぞれ 2 倍にしても、つり合ったままです。

わっても、入れかえても成り立つ

両辺を同じ数でわる

「かけてもいいなら、わるのはどうなの？」と思った人は、いいところに気づいています。2x＝6 という等式で考えてみましょう。

てんびんにすると、左の皿に x の箱が 2 つ、右の皿に重りが 6 個のっていて、つり合っています。

両方の皿の物を、それぞれ半分にします。左の皿は x の箱 1 つ、右の皿は重り 3 個です。つり合ったままです。

半分にするというのは、両辺を 2 でわるということです。式で書くと、

2x÷2＝6÷2

x＝3

となります。両辺を同じ数でわっても、等式は成り立ちます。

ただし、約束が 1 つだけあります。0 ではわりません。 0 でわる計算はできないからです。

両辺を入れかえる

8＝x＋5 のように、x が右辺にある式もあります。てんびんを反対側から見ても、つり合っていることは変わりません。

だから、両辺を入れかえても、等式は成り立ちます。

• 8＝x＋5 は、x＋5＝8 と書きかえてよい
• 3＝x は、x＝3 と書きかえてよい

等式の性質のまとめ

ここまでの決まりを並べると、次の 5 つです。どれも「こうしても等式は成り立つ」という決まりです。

• 両辺から同じ数をひく
• 両辺に同じ数をたす
• 両辺に同じ数をかける
• 両辺を同じ数でわる（0 ではわらない）
• 両辺を入れかえる

方程式は「x＝数」の形を目指して解く

では、等式の性質をどう使えば方程式が解けるのでしょうか。

方程式を解くとき、つまり解を求めるときに目指すのは、x＝3 のように、左辺が x だけ、右辺が数だけの形です。

そのために、x に何がくっついているかを見て、反対の操作で外していきます。

• x に 5 がたされている（x＋5）→ 両辺から 5 をひく
• 3x は 3×x → 両辺を 3 でわる
• x/5 は x÷5 → 両辺に 5 をかける

x にかかっている数が負の数のときは、その負の数でわります。

例として、3x＝12 を解いてみます。両辺を 3 でわると、

3x÷3＝12÷3

x＝4

となります。3×4 は 12 なので、合っています。

問2　等式の性質を使って解く

これで道具がそろいました。

使った性質は、上の「等式の性質のまとめ」の 5 つから選んでかまいません。

(1) x＋5＝2

左辺の「＋5」をなくしたいので、両辺から 5 をひきます。

x＋5−5＝2−5

x＝−3

使った性質は「両辺から同じ数をひく」です。

「てんびんだと重りが足りないのでは？」と思った人もいるかもしれません。前に見たてんびんは、右の皿に重りが 8 個あったので、5 個取ることができました。

右辺が 2 だと、重りを 5 個取ることはできません。それでも、数の計算なら 2−5＝−3 と求められます。てんびんで見つけた性質は、答えが負の数になっても同じように使えます。

(2) −4x＝28

−4x は、x に −4 がかけられているということです。だから、両辺を −4 でわります。

−4x÷(−4)＝28÷(−4)

x＝−7

使った性質は「両辺を同じ数でわる」です。

ここでとても多いのが、4 でわって x＝7 とする間違いです。x に 4 がくっついていると気づけているところは、ちゃんとできています。でも、4 でわると、左辺は −x のまま残ってしまいます。x にかかっている −4 ごとわりましょう。

(3) x/2＝−6

x/2 は x÷2 のことで、x が 2 でわられています。だから、両辺に 2 をかけます。

x/2×2＝−6×2

x＝−12

使った性質は「両辺に同じ数をかける」です。

補足：−x＝5 は x＝5 ではない

−x＝5 のような形もよく出てきます。−x は (−1)×x のことです。両辺を −1 でわって、x＝−5 になります（両辺に −1 をかけても同じ結果になります）。

「−x＝5 だから x＝5」とはしないようにしましょう。

代入して確かめる

最後に、求めた x を元の方程式に代入して確かめます。

• (1) −3＋5＝2
• (2) −4×(−7)＝28
• (3) −12÷2＝−6

どれも右辺と等しくなりました。解いたあとに代入すれば、答えが合っているかを自分で確かめられます。

問3　4x−5＝7 を解く

問2では、x にくっついている物は 1 つだけでした。では、2 つくっついていたらどうすればよいでしょう。

じつは、等式の性質は何回続けて使ってもかまいません。 この記事の目標の問題です。

外す順番を考える

4x−5 は、x に 4 をかけて 4x にし、そこから 5 をひいて作られた式です。x には「×4」と「−5」の 2 つがくっついています。

外すときは、最後にくっついた物から外すと、手間が少なく解けます。 先に「−5」を外し、次に「×4」を外す、という順番です。これは楽に解くための進め方で、守らないといけない決まりではありません。ほかの順番（先に 4 でわる）で解いても間違いではありません（このあとの「たす・ひくを先にすると手間が少ない」で説明します）。

1. 両辺に 5 をたします。4x−5＋5＝7＋5 で、4x＝12
2. 両辺を 4 でわって、x＝3

確かめると、4×3−5＝12−5＝7 です。右辺の 7 と等しいので、合っています。

解く途中の書き方

書き方にも気をつけましょう。

• 解く途中は、1 行に 1 つの等式を、上から下へ書く
• 「＝」は、左と右が等しいときにだけ使う

だから、4x＝12 と x＝3 は、行を変えて書きます。

「4x＝12＝12÷4＝3」のように続けてつなぐと、「4x と 12÷4 が等しい」「12 と 3 が等しい」という意味になってしまいます。12 と 3 は等しくないので、これは正しくない書き方です。

計算の流れとしては合っているので、自分では間違いに気づきにくいところです。気をつけてください。

たす・ひくを先にすると手間が少ない

4x−5 のように、x に数をかけてから、たす・ひくをした形の式は、たす・ひくを先に、かける・わるを後にすると、手間が少なく解けます。

先に 4 でわった人もいるかもしれません。それも等式の性質をちゃんと使えています。その場合は x−5/4＝7/4（x ひく 4 分の 5 イコール 4 分の 7）と分数が出てきます。間違いではなく、続ければ同じ x＝3 になりますが、手間が増えます。

次の回へ：移項

最後に、4x−5＝7 と 4x＝12 を見比べてみてください。両辺に 5 をたした結果、左辺の −5 が、右辺に ＋5 として移ったように見えませんか。これを移項といいます。次の回で詳しく学びます。

まとめ

• 解：方程式を成り立たせる x の値
• 解かどうかの確かめ方：代入して、左辺と右辺を別々に計算して比べる。負の数は、かっこをつけて代入する
• 解き方：等式の性質を使って、両辺に同じことをしながら「x＝数」の形にする
• 4x−5 のような形：たす・ひくを先に、かける・わるを後にすると、手間が少ない

この 4 つを自分の言葉で言えたら、この回の内容は身についています。あやしいところがあったら、そこを読み直してみてください。

よくある質問

Q. 4x−5＝7 を、先に 4 でわって解いたら間違いですか？
A. 間違いではありません。等式の性質を正しく使えています。ただ、x−5/4＝7/4（x ひく 4 分の 5 イコール 4 分の 7）と分数が出てきて、手間が増えます。たす・ひくを先に、かける・わるを後にすると、楽に解けます。

Q. −4x＝28 は、4 でわってはだめですか？
A. 4 でわると、左辺が −x のまま残ってしまいます。x にかかっている −4 ごとわって、x＝−7 にします。−x＝5 のような形も同じで、−x は (−1)×x なので、両辺を −1 でわって x＝−5 です。

Q. 自分の答えが合っているか、どうすれば分かりますか？
A. 求めた数を元の方程式の x に代入して、左辺と右辺を別々に計算してみましょう。等しくなれば正解です。負の数を代入するときは、かっこをつけるのを忘れないでください。

この単元の授業

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