【数学 中学1年 #4】比例と反比例（負の比例含む） 練習問題（STEP 3）

\(\displaystyle a=\frac{4}{3}\)、\(\displaystyle b=\frac{8}{3}\)　または　\(\displaystyle a=−2\)、\(\displaystyle b=6\)

解き方

– \(\displaystyle a>0\) のとき：最小は \(\displaystyle x=−3\) のときです。\(\displaystyle −3a=−4\)、\(\displaystyle a=\frac{4}{3}\) です。\(\displaystyle b=\frac{4}{3}×2=\frac{8}{3}\)。
– \(\displaystyle a<0\) のとき：最小は \(\displaystyle x=2\) のときです。\(\displaystyle 2a=−4\)、\(\displaystyle a=−2\) です。\(\displaystyle b=(−2)×(−3)=6\)。
– どちらも仮定に合うので、2 組です。

\(\displaystyle a=12\)、\(\displaystyle b=2\)

解き方

– \(\displaystyle a>0\) なので、\(\displaystyle x>0\) の範囲で、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は減ります。
– \(\displaystyle y\) が最大の \(\displaystyle 6\) になるのは \(\displaystyle x=2\) のときです。\(\displaystyle \frac{a}{2}=6\) から \(\displaystyle a=12\) です。
– \(\displaystyle b=\frac{12}{6}=2\) です。

\(\displaystyle a=−8\)、\(\displaystyle b=−2\)

解き方

– \(\displaystyle x\) が正なのに \(\displaystyle y\) が負の値をとるので、\(\displaystyle a\) は負です。
– \(\displaystyle a<0\) なら、\(\displaystyle x>0\) の範囲で \(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) は増えます。最小の \(\displaystyle −8\) は \(\displaystyle x=1\) のときなので、\(\displaystyle a=−8\) です。
– \(\displaystyle b=−\frac{8}{4}=−2\) です。
– \(\displaystyle a>0\) だと、\(\displaystyle x>0\) で \(\displaystyle y\) はいつも正なので、\(\displaystyle −8\) にはなりません。

12 個、6 個

解き方

– 18 の約数は、1、2、3、6、9、18 の 6 個です。
– \(\displaystyle x\) が正の点が 6 個、\(\displaystyle x\) が負の点（たとえば \(\displaystyle (−2, −9)\)）が 6 個で、合わせて 12 個です。
– \(\displaystyle x\) も \(\displaystyle y\) も正の点は、右上の曲線の 6 個です。

– (1) \(\displaystyle a=−2\)
– (2) \(\displaystyle B(2, −4)\)
– (3) 10 cm²

解き方

– (1)：\(\displaystyle A\) は双曲線の上にあるので、\(\displaystyle y=−\frac{8}{−2}=4\) です。\(\displaystyle A(−2, 4)\) です。\(\displaystyle 4=−2a\) から、\(\displaystyle a=−2\) です。
– (2)：見当は \(\displaystyle (2, −4)\) です。\(\displaystyle y=−\frac{8}{2}=−4\)、\(\displaystyle y=−2×2=−4\) で、両方の式で確かめられます。
– (3)：辺 \(\displaystyle AB\) は原点を通るので、\(\displaystyle y\) 軸の上の \(\displaystyle OC\)（5 cm）を底辺にして、三角形 \(\displaystyle OCA\) と三角形 \(\displaystyle OCB\) に分けます。
– 高さは、\(\displaystyle A\) と \(\displaystyle B\) の \(\displaystyle x\) 座標の符号をとった数で、どちらも 2 cm です。
– \(\displaystyle 5×2÷2+5×2÷2=10 cm²\) です。

答えの図

– (1) \(\displaystyle a=2\)
– (2) \(\displaystyle B(−3, −6)\)
– (3) 13.5 cm²
– (4) 27 cm²

解き方

– (1)：\(\displaystyle A(3, 6)\) です。\(\displaystyle 6=3a\) から、\(\displaystyle a=2\) です。
– (2)：\(\displaystyle y=\frac{18}{−3}=−6\)、\(\displaystyle y=2×(−3)=−6\) で、両方の式で確かめられます。
– (3)：\(\displaystyle (0, 0)\)、\(\displaystyle (6, 0)\)、\(\displaystyle (6, 6)\)、\(\displaystyle (0, 6)\) の長方形で囲みます。面積は 36 cm² です。周りの直角三角形を引きます。
– \(\displaystyle O\)、\(\displaystyle (6, 0)\)、\(\displaystyle P\) の三角形：\(\displaystyle 6×3÷2=9 cm²\)
– \(\displaystyle P\)、\(\displaystyle (6, 6)\)、\(\displaystyle A\) の三角形：\(\displaystyle 3×3÷2=4.5 cm²\)
– \(\displaystyle A\)、\(\displaystyle (0, 6)\)、\(\displaystyle O\) の三角形：\(\displaystyle 3×6÷2=9 cm²\)
– \(\displaystyle 36−9−4.5−9=13.5 cm²\) です。
– (4)：三角形 \(\displaystyle ABP\) も、どの辺も斜めです。辺 \(\displaystyle AB\) は原点を通りますが、向かいの頂点 \(\displaystyle P(6, 3)\) が軸の上に無いので、軸の上の線分で 2 つの三角形に分けることはできません。そこで、3 点がぴったり入る長方形で囲みます。
– 長方形の 4 つの角は、\(\displaystyle (−3, −6)\)、\(\displaystyle (6, −6)\)、\(\displaystyle (6, 6)\)、\(\displaystyle (−3, 6)\) です。横は \(\displaystyle 6−(−3)=9\)、縦は \(\displaystyle 6−(−6)=12\) で、面積は \(\displaystyle 9×12=108 cm²\) です。
– 周りの直角三角形を 3 つ引きます。横・縦の長さは、座標の差で出します。
– \(\displaystyle B\)、\(\displaystyle (6, −6)\)、\(\displaystyle P\) の三角形：横 \(\displaystyle 6−(−3)=9\)、縦 \(\displaystyle 3−(−6)=9\) で、\(\displaystyle 9×9÷2=40.5 cm²\)
– \(\displaystyle P\)、\(\displaystyle (6, 6)\)、\(\displaystyle A\) の三角形：横 \(\displaystyle 6−3=3\)、縦 \(\displaystyle 6−3=3\) で、\(\displaystyle 3×3÷2=4.5 cm²\)
– \(\displaystyle A\)、\(\displaystyle (−3, 6)\)、\(\displaystyle B\) の三角形：横 \(\displaystyle 3−(−3)=6\)、縦 \(\displaystyle 6−(−6)=12\) で、\(\displaystyle 6×12÷2=36 cm²\)
– \(\displaystyle 108−40.5−4.5−36=27 cm²\) です。
– 答えがずれたときは、まず長方形の横と縦を見直しましょう。\(\displaystyle −3\) から \(\displaystyle 6\) までを \(\displaystyle 6−3=3\) としてしまうと、長方形も周りの三角形もまちがえます。差は \(\displaystyle 6−(−3)=9\) です。
– 別の見方：\(\displaystyle O\) は \(\displaystyle AB\) の真ん中にあるので、三角形 \(\displaystyle ABP\) は、(3) の三角形 \(\displaystyle OAP\) と三角形 \(\displaystyle OBP\) を合わせたもので、この 2 つの面積は等しくなります。\(\displaystyle 13.5×2=27 cm²\) となり、答えを確かめられます。
– ちなみに \(\displaystyle P\) も \(\displaystyle y=\frac{18}{x}\) のグラフ上の点です（\(\displaystyle 6×3=18\)）。

答えの図

答えの図

\(\displaystyle −12\)

解き方

– \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) とします。(あとの \(\displaystyle y\))\(\displaystyle −\)(はじめの \(\displaystyle y\))\(\displaystyle ＝\allowbreak 2\) なので、\(\displaystyle \frac{a}{6}−\frac{a}{3}=2\) です。
– 両辺に \(\displaystyle 6\) をかけて、\(\displaystyle a−2a=12\)、\(\displaystyle −a=12\)、\(\displaystyle a=−12\) です。
– 確かめます。\(\displaystyle y=−\frac{12}{x}\) で、\(\displaystyle x=3\) のとき \(\displaystyle −4\)、\(\displaystyle x=6\) のとき \(\displaystyle −2\) です。\(\displaystyle 2\) 増えています。
– 比例定数が負なので、\(\displaystyle x>0\) の範囲で、\(\displaystyle x\) が増えると \(\displaystyle y\) も増えます。

– (1) \(\displaystyle a=10\)、面積 10 cm²
– (2) 10 cm²
– (3) 長方形の横は \(\displaystyle P\) の \(\displaystyle x\) 座標、縦は \(\displaystyle P\) の \(\displaystyle y\) 座標で、面積は \(\displaystyle x×y\) である。グラフ上の点では \(\displaystyle xy=a\)（一定）なので、面積はいつも \(\displaystyle a\) になるから。
– (4) \(\displaystyle a=−8\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle a=2×5=10\) です。面積は、横 \(\displaystyle 2 cm×\)縦 \(\displaystyle 5 cm=10 cm²\) です。
– (2)：\(\displaystyle y=\frac{10}{5}=2\) なので、\(\displaystyle P(5, 2)\) です。面積は \(\displaystyle 5×2=10 cm²\) です。
– (3)：横は \(\displaystyle x\) 座標、縦は \(\displaystyle y\) 座標です。グラフ上の点は \(\displaystyle xy=a\) を成り立たせるので、面積はいつも \(\displaystyle a\) です。
– (4)：グラフが左上と右下にあるので、\(\displaystyle a\) は負です。\(\displaystyle P\) は右下にあり、\(\displaystyle y\) 座標は負です。
– 長方形の縦は、\(\displaystyle y\) 座標の符号をとった数です。
– 面積が 8 なので、\(\displaystyle xy\) の符号をとった数が 8 です。\(\displaystyle a\) は負なので、\(\displaystyle a=−8\) です。

答えの図

– (1) \(\displaystyle a=3\)、\(\displaystyle B(−2, −6)\)
– (2) \(\displaystyle P(0, 6)\)
– (3) \(\displaystyle Q(2, 0)\)

解き方

– (1)：\(\displaystyle A(2, 6)\) なので、\(\displaystyle 6=2a\)、\(\displaystyle a=3\) です。\(\displaystyle B\) は \(\displaystyle (−2, −6)\) と見当をつけ、\(\displaystyle \frac{12}{−2}=−6\)、\(\displaystyle 3×(−2)=−6\) で確かめます。
– (2)：\(\displaystyle P\) の座標が分からないので、文字で置きます。\(\displaystyle P(0, p)\)（\(\displaystyle p>0\)）とします。
– 辺 \(\displaystyle AB\) は原点を通るので、\(\displaystyle y\) 軸の上の \(\displaystyle OP\) を底辺にして、三角形 \(\displaystyle OPA\) と三角形 \(\displaystyle OPB\) に分けます。
– 高さは、\(\displaystyle A\) と \(\displaystyle B\) の \(\displaystyle x\) 座標の符号をとった数で、どちらも 2 です。
– \(\displaystyle p×2÷2+p×2÷2=12\) から、\(\displaystyle 2p=12\)、\(\displaystyle p=6\) です。\(\displaystyle P(0, 6)\) です。
– (3)：\(\displaystyle Q(q, 0)\)（\(\displaystyle q>0\)）とします。
– \(\displaystyle x\) 軸の上の \(\displaystyle OQ\) を底辺にします。高さは、\(\displaystyle A\) と \(\displaystyle B\) の \(\displaystyle y\) 座標の符号をとった数で、どちらも 6 です。
– \(\displaystyle q×6÷2+q×6÷2=12\) から、\(\displaystyle 6q=12\)、\(\displaystyle q=2\) です。\(\displaystyle Q(2, 0)\) です。
– 分からない座標は、文字で置いて方程式にします。

答えの図

答えの図