一次方程式（この単元の授業は新しくなりました）
栞先生 しおりアカデミー
比例と反比例の入試応用：場合分け・整数の点・三角形の面積・比例定数の求め方
栞先生
※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。
この記事でわかること
- 比例定数が正か負か分からないとき、場合分けをして答えをもれなく出す方法
- 反比例のグラフ上で、座標がどちらも整数の点をもれなく数える方法
- グラフの交わる点から三角形の面積を求める方法と、分からない比例定数を方程式で求める方法
応用問題でも、新しい知識は要らない
「応用問題」と聞くと、「ひらめく人しか解けないのでは」と思うかもしれません。でも、この記事の 4 問に、新しい知識はひとつも要りません。使うのは、これまでに学んだ次の道具だけです。
- グラフ上の点 → その座標を式に代入すると、式が成り立つ
- 変域 → 両端の値で決まる
- 三角形の面積 → 底辺\(\displaystyle ×\)高さ\(\displaystyle ÷2\)
この道具を、どの順に、どう組み合わせるかを練習します。
この記事は、比例と反比例の基礎の 3 回（比例①・比例②・反比例）と、入試の基礎の回のあとに読む内容です。\(\displaystyle y=ax\) や \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) の式の求め方や、\(\displaystyle y\) の変域の求め方があやしいと感じたら、先にそちらで確かめてから戻ってきてください。
4 問を通して、手がかりは 1 つです。迷ったら、点の座標を式に代入してみる。
考え方 1 正と負で分けて、両方確かめる
入試の基礎の回では、式から変域を出しました。たとえば \(\displaystyle y=−3x\) で、\(\displaystyle x\) の変域が \(\displaystyle −2≦x≦4\) のとき、
- \(\displaystyle x=−2\) のとき \(\displaystyle y=6\)
- \(\displaystyle x=4\) のとき \(\displaystyle y=−12\)
なので、小さいほうを左に書いて、\(\displaystyle y\) の変域は \(\displaystyle −12≦y≦6\) です。グラフでは、左の端で \(\displaystyle y\) がいちばん大きく、右の端で \(\displaystyle y\) がいちばん小さくなっています。
ここでは逆に、変域から式を決めます。困るのは、比例定数 \(\displaystyle a\) が正か負か、問題に書いていないときです。
比例 \(\displaystyle y=ax\) のグラフは直線です。
- \(\displaystyle a>0\) なら右上がりなので、\(\displaystyle y\) がいちばん小さいのは左の端
- \(\displaystyle a<0\) なら右下がりなので、\(\displaystyle y\) がいちばん小さいのは右の端
つまり比例では、\(\displaystyle a\) の符号によって、\(\displaystyle y\) が小さくなる端が入れかわります。
なお、反比例 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) のグラフは直線ではないので、この決まりをそのまま使ってはいけません。反比例のときは、そのつど両端の値を出して比べます。
\(\displaystyle a\) の符号が分からないときは、次のようにします。
- \(\displaystyle a>0\) の場合と \(\displaystyle a<0\) の場合に分けて、両方とも調べる
- 出てきた \(\displaystyle a\) が、最初に置いた仮定（\(\displaystyle a>0\) や \(\displaystyle a<0\)）に本当に合っているかを確かめる。合わないものは答えにしない
問1 変域から \(\displaystyle a\) と \(\displaystyle b\) を求める
問1
\(\displaystyle y=ax\)（\(\displaystyle a≠0\)）で、\(\displaystyle x\) の変域が \(\displaystyle −2≦x≦4\) のとき、
\(\displaystyle y\) の変域は \(\displaystyle −8≦y≦b\) です。
\(\displaystyle a\)、\(\displaystyle b\) の値の組をすべて求めなさい。
\(\displaystyle y\) の変域が \(\displaystyle −8≦y≦b\) なので、\(\displaystyle y\) がいちばん小さい値は \(\displaystyle −8\) です。右上がりと右下がりの 2 つのグラフを並べて、それぞれ \(\displaystyle y\) がいちばん小さくなる端を考えます。
\(\displaystyle a>0\) のとき（右上がり）
\(\displaystyle y\) がいちばん小さいのは左の端、\(\displaystyle x=−2\) のときです。そのときの \(\displaystyle y\) が \(\displaystyle −8\) なので、\(\displaystyle −2a=−8\) から \(\displaystyle a=4\) です。これは \(\displaystyle a>0\) に合っています。
\(\displaystyle b\) は \(\displaystyle y\) のいちばん大きい値で、右の端の \(\displaystyle x=4\) のときの値です。\(\displaystyle b=4×4=16\) です。
\(\displaystyle a<0\) のとき（右下がり）
\(\displaystyle y\) がいちばん小さいのは右の端、\(\displaystyle x=4\) のときです。\(\displaystyle 4a=−8\) から \(\displaystyle a=−2\) です。これは \(\displaystyle a<0\) に合っています。
\(\displaystyle b\) は左の端の値なので、\(\displaystyle b=(−2)×(−2)=4\) です。
どちらの場合も仮定に合っているので、答えは 2 組です。
\(\displaystyle y\) がいちばん小さい値は \(\displaystyle −8\)
\(\displaystyle a>0\) のとき（右上がり）
いちばん小さいのは左の端 \(\displaystyle x=−2\)
\(\displaystyle −2a=−8\) → \(\displaystyle a=4\)（\(\displaystyle a>0\) に合う）
\(\displaystyle b\) は右の端 \(\displaystyle b=4×4=16\)
\(\displaystyle a<0\) のとき（右下がり）
いちばん小さいのは右の端 \(\displaystyle x=4\)
\(\displaystyle 4a=−8\) → \(\displaystyle a=−2\)（\(\displaystyle a<0\) に合う）
\(\displaystyle b\) は左の端 \(\displaystyle b=(−2)×(−2)=4\)
答え
\(\displaystyle a=4\)、\(\displaystyle b=16\) または \(\displaystyle a=−2\)、\(\displaystyle b=4\)
【注意】1 組見つけても、そこで止めない
「\(\displaystyle a\) は負の数とする」とあれば 1 組にしぼれる
まちがいで多いのは、右上がりだけを考えて、\(\displaystyle a=4\)、\(\displaystyle b=16\) の 1 組で終わってしまうことです。グラフを思いうかべると、まず右上がりの形が出てくるのは自然なことです。それでも、1 組見つけたら、もう一方の符号も確かめましょう。反対に、問題文に「\(\displaystyle a\) は負の数とする」などと書いてあれば、1 組にしぼれます。
考え方 2 \(\displaystyle xy=a\) に言いかえて、負の側も数える
反比例のグラフ上にある点を数える問題では、グラフをかいて目もりの交点を探すと、図の外にはみ出した点を見落としてしまいます。そこで、式で考えます。
グラフ上の点は、式を成り立たせる \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組です。反比例の \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) は、両辺に \(\displaystyle x\) をかけると
$$xy=a$$
と言いかえられます。つまり、かけて \(\displaystyle a\) になる \(\displaystyle x\) と \(\displaystyle y\) の組を探せばよいのです。
もう 1 つ思い出してほしいのは、反比例のグラフが 2 つの曲線に分かれていることです。\(\displaystyle x\) が正の側だけでなく、\(\displaystyle x\) が負の側の曲線にも点があります。
問2 座標が整数の点を数える
問2
\(\displaystyle y=−\frac{12}{x}\) のグラフ上で、
\(\displaystyle x\) 座標と \(\displaystyle y\) 座標がどちらも整数である点は
何個ありますか。
グラフ上の点は \(\displaystyle xy=−12\) を成り立たせます。かけて \(\displaystyle −12\) になる整数の組を探します。
もとになるのは 12 の約数（小学 5 年で習いました）です。12 をわり切れる数で、1、2、3、4、6、12 の 6 個です。もれなく数えるために、表に並べます。
\(\displaystyle x\) が正のとき（右下の曲線）
| \(\displaystyle x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle y\) | −12 | −6 | −4 | −3 | −2 | −1 |
\(\displaystyle x\) が負のとき（左上の曲線）
| \(\displaystyle x\) | −1 | −2 | −3 | −4 | −6 | −12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle y\) | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
たとえば \(\displaystyle x=−1\)、\(\displaystyle y=12\) なら、\(\displaystyle (−1)×12=−12\) で、ちゃんと成り立っています。
右下の曲線に 6 個、左上の曲線に 6 個で、合わせて 12 個です。
グラフ上の点 → \(\displaystyle xy=−12\)
12 の約数：1、2、3、4、6、12
\(\displaystyle x\) が正（右下の曲線）
\(\displaystyle x\)：\(\displaystyle 1\)、\(\displaystyle 2\)、\(\displaystyle 3\)、\(\displaystyle 4\)、\(\displaystyle 6\)、\(\displaystyle 12\)
\(\displaystyle y\)：\(\displaystyle −12\)、\(\displaystyle −6\)、\(\displaystyle −4\)、\(\displaystyle −3\)、\(\displaystyle −2\)、\(\displaystyle −1\)
\(\displaystyle x\) が負（左上の曲線）
\(\displaystyle x\)：\(\displaystyle −1\)、\(\displaystyle −2\)、\(\displaystyle −3\)、\(\displaystyle −4\)、\(\displaystyle −6\)、\(\displaystyle −12\)
\(\displaystyle y\)：\(\displaystyle 12\)、\(\displaystyle 6\)、\(\displaystyle 4\)、\(\displaystyle 3\)、\(\displaystyle 2\)、\(\displaystyle 1\)
答え
12 個
【注意】正の側の 6 個だけで終わらない
まちがいで多いのは、正の側の 6 個だけで答えてしまうことです。6 個そろうと、全部見つけた気持ちになりやすいからです。\(\displaystyle xy=−12\) と書いたあとも、グラフが 2 つに分かれていたことを思い出して、負の側の曲線まで数えましょう。
考え方 3 三角形の面積は、底辺の選び方を順に考える
座標平面の三角形の面積で手が止まるのは、たいてい「どこを底辺にするか」が決められないときです。そこで、底辺は次の順に考えると決めておきます。
① 軸の上に辺があれば、その辺を底辺にする
\(\displaystyle x\) 軸の上の辺を底辺にすると、高さは残りの点の \(\displaystyle y\) 座標からすぐに読めます。ただし、点が \(\displaystyle x\) 軸より下にあると、\(\displaystyle y\) 座標は負になります。長さは負になりません。軸から点までの高さには、座標の符号をとった数を使います。\(\displaystyle y\) 座標が \(\displaystyle −5\) なら、高さは \(\displaystyle 5\) です。
② 原点を通る辺の向かいの頂点が軸の上にあるときだけ、2 つに分ける
軸の上に辺が無いときは、次の 2 つがそろっているかを見ます。
- 三角形の辺の 1 つが、原点を通っている
- その辺の向かいの頂点が、\(\displaystyle x\) 軸か \(\displaystyle y\) 軸の上にある
2 つがそろっているときだけ、原点からその頂点までの、軸の上の線分で三角形を 2 つに分けられます。その線分を、2 つの三角形に共通の底辺にします。高さは、やはり点の座標から読めます。
③ どちらもだめなら、長方形で囲んで、周りの直角三角形を引く
三角形がぴったり入る長方形（辺が座標軸と平行なもの）で囲みます。長方形の面積から周りにできる直角三角形を引けば、真ん中の三角形の面積が残ります。周りの三角形の横や縦は、軸の上にない 2 点のあいだの長さです。これは座標の差（大きいほうから小さいほうを引く）で出します。
長さの出し方をまとめると、次のとおりです。
- 軸から点までの長さ（高さ）→ 座標の符号をとった数
- 軸の上にない 2 点のあいだの横・縦の長さ → 座標の差
もう 1 つ大事なことがあります。2 つのグラフが 2 点で交わるとき、片方の点から、もう片方の点の見当がつくことがあります。でも、見当だけで答えにはしません。必ず両方の式に代入して確かめます。
問3 交わる点と三角形の面積
問3 座標軸の 1 目もりを 1 cm とする
図は略図。座標は式で求める
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) と \(\displaystyle y=ax\) が、点 \(\displaystyle A\)、\(\displaystyle B\) で交わる
\(\displaystyle A\) の \(\displaystyle x\) 座標は \(\displaystyle 2\)、\(\displaystyle C(4, 0)\)
(1) \(\displaystyle a\) の値を求めなさい。
(2) 点 \(\displaystyle B\) の座標を求めなさい。
(3) 三角形 \(\displaystyle ABC\) の面積を求めなさい。
(4) \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) のグラフ上で、\(\displaystyle x\) 座標が \(\displaystyle 6\) の点を \(\displaystyle P\) とします。
三角形 \(\displaystyle OAP\) の面積を求めなさい。
図は形が分かるだけの略図です。点の座標は図から読まずに、式で求めます。\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) のグラフと原点を通る直線 \(\displaystyle y=ax\) が、右上の点 \(\displaystyle A\) と左下の点 \(\displaystyle B\) で交わっています。\(\displaystyle x\) 軸の上の点 \(\displaystyle C(4, 0)\) と合わせて、三角形 \(\displaystyle ABC\) をつくります。
(4) では図が変わります。\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) のグラフ上で \(\displaystyle x\) 座標が \(\displaystyle 6\) の点を \(\displaystyle P\) として、三角形 \(\displaystyle OAP\) を考えます。
(1) \(\displaystyle a\) の値
\(\displaystyle A\) は双曲線の上にあるので、\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) に \(\displaystyle x=2\) を代入します。\(\displaystyle y=\frac{6}{2}=3\) なので、\(\displaystyle A(2, 3)\) です。
\(\displaystyle A\) は直線の上にもあるので、\(\displaystyle y=ax\) に代入すると、\(\displaystyle 3=2a\) から \(\displaystyle a=\frac{3}{2}\) です。
(2) 点 \(\displaystyle B\) の座標
図を見ると、\(\displaystyle B\) は原点をはさんで \(\displaystyle A\) の反対側にあります。そこで、\(\displaystyle A(2, 3)\) の符号を両方変えた \(\displaystyle (−2, −3)\) ではないかと見当をつけます。小学 6 年の点対称で考えると、原点を中心に 180° 回したとき、2 つのグラフはどちらも自分自身と重なるからです。
見当がついたら、両方の式に代入して確かめます。
- \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\)：\(\displaystyle \frac{6}{−2}=−3\) 成り立つ
- \(\displaystyle y=\frac{3}{2}x\)：\(\displaystyle \frac{3}{2}×(−2)=−3\) 成り立つ
どちらの式も成り立つので、\(\displaystyle B(−2, −3)\) です。
(3) 三角形 \(\displaystyle ABC\) の面積
三角形 \(\displaystyle ABC\) には、軸の上にある辺がありません。そこで②を考えます。
- 辺 \(\displaystyle AB\) は原点 \(\displaystyle O\) を通っている
- \(\displaystyle AB\) の向かいの頂点 \(\displaystyle C(4, 0)\) は \(\displaystyle x\) 軸の上にある
2 つがそろったので、②が使えます。\(\displaystyle x\) 軸の上の線分 \(\displaystyle OC\) で、三角形 \(\displaystyle ABC\) を三角形 \(\displaystyle OCA\) と三角形 \(\displaystyle OCB\) に分けます。\(\displaystyle OC=4\) cm が、2 つの三角形に共通の底辺です。
- 三角形 \(\displaystyle OCA\)：高さは \(\displaystyle A\) の \(\displaystyle y\) 座標で 3 cm。面積は \(\displaystyle 4×3÷2=6\) cm²
- 三角形 \(\displaystyle OCB\)：高さは \(\displaystyle B\) の \(\displaystyle y\) 座標 \(\displaystyle −3\) の符号をとった数で 3 cm。面積は \(\displaystyle 4×3÷2=6\) cm²
合わせて 12 cm² です。高さに \(\displaystyle −3\) をそのまま使わないように気をつけましょう。座標をそのまま入れたくなりますが、長さは負になりません。
(4) 三角形 \(\displaystyle OAP\) の面積
\(\displaystyle P\) は \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) の上にあるので、\(\displaystyle y=\frac{6}{6}=1\) で、\(\displaystyle P(6, 1)\) です。
三角形 \(\displaystyle OAP\) はどの辺も斜めで、軸の上の辺がありません（①は使えない）。辺 \(\displaystyle OA\) と \(\displaystyle OP\) は原点を通っていますが、その向かいの頂点 \(\displaystyle P\) と \(\displaystyle A\) は、どちらも軸の上にありません（②も使えない）。そこで③の「長方形で囲んで引く」を使います。
3 点がぴったり入る長方形の 4 つの角は、\(\displaystyle (0, 0)\)、\(\displaystyle (6, 0)\)、\(\displaystyle (6, 3)\)、\(\displaystyle (0, 3)\) です。面積は \(\displaystyle 6×3=18\) cm² です。
ここから、周りにできる 3 つの直角三角形を引きます。
- \(\displaystyle O\)、\(\displaystyle (6, 0)\)、\(\displaystyle P\) の三角形：\(\displaystyle 6×1÷2=3\) cm²
- \(\displaystyle P\)、\(\displaystyle (6, 3)\)、\(\displaystyle A\) の三角形：横は \(\displaystyle 6−2=4\)、縦は \(\displaystyle 3−1=2\) なので、\(\displaystyle 4×2÷2=4\) cm²（軸の上にない 2 点のあいだの長さなので、座標の差で出します）
- \(\displaystyle A\)、\(\displaystyle (0, 3)\)、\(\displaystyle O\) の三角形：\(\displaystyle 2×3÷2=3\) cm²
\(\displaystyle 18−3−4−3=8\) で、三角形 \(\displaystyle OAP\) の面積は 8 cm² です。斜めの三角形でも、囲んで引けば面積が出せます。
(1) \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) に \(\displaystyle x=2\)：\(\displaystyle y=\frac{6}{2}=3\) → \(\displaystyle A(2, 3)\)
\(\displaystyle y=ax\) に代入：\(\displaystyle 3=2a\) → \(\displaystyle a=\frac{3}{2}\)
答え
(1) \(\displaystyle a=\frac{3}{2}\)
(2) 見当：\(\displaystyle A(2, 3)\) の符号を両方変えて \(\displaystyle (−2, −3)\)
確かめ
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\)：\(\displaystyle \frac{6}{−2}=−3\) 成り立つ
\(\displaystyle y=\frac{3}{2}x\)：\(\displaystyle \frac{3}{2}×(−2)=−3\) 成り立つ
答え
(2) \(\displaystyle B(−2, −3)\)
(3) 辺 \(\displaystyle AB\) は原点 \(\displaystyle O\) を通る
向かいの頂点 \(\displaystyle C(4, 0)\) は \(\displaystyle x\) 軸の上
→ 線分 \(\displaystyle OC\) で 2 つに分ける（②）
底辺 \(\displaystyle OC=4\) cm
三角形 \(\displaystyle OCA\)：高さ 3 cm \(\displaystyle 4×3÷2=6\)
三角形 \(\displaystyle OCB\)：高さ 3 cm（\(\displaystyle −3\) でなく \(\displaystyle 3\)） \(\displaystyle 4×3÷2=6\)
\(\displaystyle 6+6=12\)
答え
(3) 12 cm²
(4) \(\displaystyle P(6, 1)\) 原点を通る辺 \(\displaystyle OA\)・\(\displaystyle OP\)
向かいの頂点 \(\displaystyle P\)・\(\displaystyle A\) は軸の上に無い
→ ②は使えない → 長方形で囲む（③）
長方形：\(\displaystyle 6×3=18\)
直角三角形：\(\displaystyle 6×1÷2=3\) \(\displaystyle 4×2÷2=4\) \(\displaystyle 2×3÷2=3\)
\(\displaystyle 18−3−4−3=8\)
答え
(4) 8 cm²
考え方 4 分からない数は文字のまま方程式に
最後は、比例定数そのものが分からない問題です。
一次方程式では、分からない数を \(\displaystyle x\) などの文字で置いて式を作りました。ここでも同じです。比例定数が分からなければ、\(\displaystyle a\) のまま式に入れてしまいます。\(\displaystyle a\) の入った \(\displaystyle y\) の値を使って問題の条件を式にすると、\(\displaystyle a\) の方程式ができます。
問4 変わり方から比例定数を求める
問4
\(\displaystyle y\) は \(\displaystyle x\) に反比例し、
\(\displaystyle x\) の値が \(\displaystyle 2\) から \(\displaystyle 6\) まで増えると、
\(\displaystyle y\) の値は \(\displaystyle 4\) 減ります。
比例定数を求めなさい。
比例定数が分からないので、\(\displaystyle a\) のまま \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) と置きます。
- \(\displaystyle x=2\) のとき \(\displaystyle y=\frac{a}{2}\)
- \(\displaystyle x=6\) のとき \(\displaystyle y=\frac{a}{6}\)
\(\displaystyle y\) は 4 減るので、（はじめの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle −\)（あとの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle ＝\allowbreak 4\) です。
$$\frac{a}{2}−\frac{a}{6}=4$$
両辺に 6 をかけて \(\displaystyle 3a−a=24\)、\(\displaystyle 2a=24\) で、\(\displaystyle a=12\) です。
確かめます。\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) では、\(\displaystyle x=2\) のとき \(\displaystyle y=6\)、\(\displaystyle x=6\) のとき \(\displaystyle y=2\) です。6 から 2 で、ちゃんと 4 減っています。
気をつけたいのは、引く順番です。「変化は、あとからはじめを引く」と覚えている人ほど、（あとの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle −\)（はじめの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle ＝\allowbreak 4\) としてしまいがちです。その考え方自体は大事ですが、それで 4 にすると「4 増える」という式になり、\(\displaystyle a=−12\) が出てきてしまいます。減るのなら、はじめの \(\displaystyle y\) のほうが大きいはずです。
別の解き方もあります。\(\displaystyle x\) が 2 から 6 になると 3 倍なので、反比例では \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍になります。\(\displaystyle x=2\) のときの \(\displaystyle y\) を \(\displaystyle p\) と置くと、\(\displaystyle x=6\) のときは \(\displaystyle \frac{p}{3}\) です。\(\displaystyle p−\frac{p}{3}=4\) から \(\displaystyle \frac{2}{3}p=4\) で、\(\displaystyle p=6\)。比例定数は \(\displaystyle xy\) なので、\(\displaystyle a=2×6=12\) です。
どちらの解き方でも、分からない数を文字のままにしておくと方程式が作れました。
\(\displaystyle a\) のまま \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) と置く \(\displaystyle x=2\) → \(\displaystyle \frac{a}{2}\)、\(\displaystyle x=6\) → \(\displaystyle \frac{a}{6}\)
\(\displaystyle 4\) 減る → (はじめの \(\displaystyle y)−(\)あとの \(\displaystyle y\))＝\(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle \frac{a}{2}−\frac{a}{6}=4\)
両辺に \(\displaystyle 6\) をかけて \(\displaystyle 3a−a=24\) → \(\displaystyle a=12\)
確かめ \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)：\(\displaystyle x=2\) → \(\displaystyle 6\)、\(\displaystyle x=6\) → \(\displaystyle 2\)（\(\displaystyle 4\) 減る）
答え
12
別解 \(\displaystyle x\) が \(\displaystyle 3\) 倍 → \(\displaystyle y\) は \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍。\(\displaystyle x=2\) の \(\displaystyle y\) を \(\displaystyle p\) と置く
\(\displaystyle p−\frac{p}{3}=4\) → \(\displaystyle p=6\) → \(\displaystyle a=xy=2×6=12\)
【注意】「減る」はひく順に気をつける
(あとの \(\displaystyle y)−(\)はじめの \(\displaystyle y\))＝\(\displaystyle 4\) は「増える」の式
まとめ：応用で使う 4 つの考え方
- 正と負で分けて、両方確かめる（問1：答えは 2 組）
- \(\displaystyle xy=a\) に言いかえて、負の側も数える（問2：12 個）
- 軸の上の辺を底辺に。原点を通る辺の向かいの頂点が軸の上なら分ける。だめなら囲んで引く（問3：(3) は \(\displaystyle AB\) が原点を通り、\(\displaystyle C\) が \(\displaystyle x\) 軸の上にあったので②で分けた。(4) は向かいの頂点が軸の上に無かったので③で囲んで引いた）
- 分からない数は文字のまま方程式に（問4：比例定数は 12）
長さは、軸から点までなら座標の符号をとった数、軸の上にない 2 点のあいだなら座標の差です。
どの問題も、新しい知識は使っていません。「点の座標を式に代入する」という道具を組み合わせただけです。この 4 行を自分の言葉で言えるか、確かめてみてください。ページの下のプリントと練習問題で、実際に手を動かして解いてみましょう。
よくある質問
Q. 反比例でも「右上がりなら左の端で \(\displaystyle y\) がいちばん小さい」を使ってよいですか？
A. 使いません。この決まりは、グラフが直線になる比例 \(\displaystyle y=ax\) のためのものです。反比例 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) のグラフは直線ではないので、そのつど両端の \(\displaystyle y\) の値を出して比べてください。
Q. 座標平面の三角形で、どこを底辺にすればよいか分かりません。
A. 次の順に考えます。① 軸の上に辺があれば、その辺を底辺にする。② 原点を通る辺があり、その向かいの頂点が軸の上にあるときは、原点からその頂点までの軸の上の線分で 2 つに分け、その線分を底辺にする。③ どちらもだめなら、長方形で囲んで周りの直角三角形を引く。順番を決めておけば、手が止まりにくくなります。
Q. 問4 で \(\displaystyle a=−12\) になってしまいました。どこがちがいますか？
A. 引く順番が逆になっています。「4 減る」なので、（はじめの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle −\)（あとの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle ＝\allowbreak 4\) です。（あとの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle −\)（はじめの \(\displaystyle y\)）\(\displaystyle ＝\allowbreak 4\) は「4 増える」の式です。答えが出たら、\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) に \(\displaystyle x=2\)、\(\displaystyle x=6\) を代入して、本当に 4 減っているか確かめると安心です。
このシリーズについて
この記事は、シリーズの「入試応用」の回です。このシリーズには「基礎」「入試基礎」「入試応用」の 3 段があります。続きの回も、順番に公開していきます。
この単元の練習問題ページへ →
解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
この単元の授業
- STEP 1-1（準備中）
- STEP 1-2（準備中）
- STEP 1-3（準備中）
- STEP 2（準備中）
- STEP 3（この記事）
栞先生
続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）
ABOUT ME
「だれでも、いつでも、自分のペースで」をモットーに、中学・高校5教科の授業動画を配信しています。わからないところは何度でも巻き戻してOK。間違いを見つけたら正直に訂正する、そんな先生を目指しています。質問はYouTubeのコメント欄でお気軽にどうぞ！
