中1数学｜文字と式【Step 3】

中1 数学｜文字と式｜Step 3

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

「−aなんだから負の数でしょ」と思った人、その思い込みが最大のつまずきです。

学習マップ

この単元の位置づけです。

今日のギモン「−aは正？負？」
答え：aの値によって変わる。a<0のとき、−aは必ず正の数になる

文字と式 応用編
証明・符号判断・規則性

基礎ルールの確認

栞先生

step1・2の内容に不安があれば、先にそちらの記事を確認してから進んでください。

Step1・2で学んだ約束をサッと確認

主な約束：(1)×は省略し係数を文字の前に書く（1aは誤り、aと書く）、(2)÷は分数で書く（a÷5=a/5）、(3)負の数を代入するときはかっこ必須、(4)同類項は文字部分が同じ項どうしでまとめる、(5)かっこをはずすときは中の全項に掛ける。

ウォームアップ：a<0のときa²の符号

栞先生

「具体例で確かめ、符号ルールで一般化する」流れを体に染み込ませましょう。

【例題】a<0 のとき、a² の符号を考えよう

a=−2を代入すると(−2)²=4となり正の数です。乗法の同符号の積は正というルールから、aがどんな負の数であってもa²は必ず正の数（0にはなりません）と一般化できます。この「代入で確認→ルールで一般化」の流れは、以降の問題すべてに共通します。

問題1：a<0のとき必ず負になる式はどれか

栞先生

「−が付いているから負」という直感が裏切られる選択肢が混ざっています。

【問題1】a<0 のとき、次のア〜オの式のうち、aがどんな負の数であっても、その値が必ず負の数になるものをすべて選びなさい。

• ア: -a
• イ: a²
• ウ: -a²
• エ: a+1
• オ: a³

a<0のとき、ア（−a）・イ（a²）・ウ（−a²）・エ（a+1）・オ（a³）のうち必ず負の数になるものを選びます。正解はウとオ。ア：−aは符号が逆になるので正の数。イ：a²は同符号の積なので正の数。ウ：−a²は正の数の符号を逆にするので負の数。エ：a=−0.5のときa+1=0.5となり正になるため、必ず負とは言えない。オ：負の数が奇数個かけられた奇数乗は必ず負の数になります。

問題2：aと−aの大小関係を不等号で表す

栞先生

符号の向きが分かれば、大小の比較も一本道で解けます。

【問題2】a<0 のとき、aと-aの大小関係を、不等号を使った式で表しなさい。また、そのように言える理由を1〜2文で説明しなさい。ただし、aに具体的な数を1つ代入して確かめるだけの説明は認めません。「aが負の数のとき、-aの符号がどうなるか」にふれて説明すること。

a<0のとき、aと−aを不等号で比べます。正解：a<−a。a<0よりaは負の数、−aはその符号を逆にした正の数であり、負の数は常に正の数より小さいためa<−aが成り立ちます。具体的な数の代入だけでなく「−aの符号がどうなるか」に触れた説明が求められます。

問題3：碁石の規則性を文字式で表す

栞先生

数え方が違っても同じ式になる——それが文字式で規則性を表す力の証明です。

【問題3】碁石を、正方形の周上（辺の上だけ）に、1辺の碁石の個数がn個になるように並べます（nは2以上の整数）。角の碁石は、となり合う2つの辺の両方にふくまれています。図はn=2、3、4のときの並べ方です。

• (1) 碁石全体の個数を表す式を、異なる2通りの数え方で、それぞれnを使って作りなさい。どのように数えたのかの説明も、それぞれ1文ずつ添えること。
• (2) (1)で作った2つの式がどちらも同じ個数を表すことを、かっこをはずして整理することで確かめなさい。また、整理した式にn=3を代入した値が、図のn=3の並びの碁石の個数と一致することを確かめなさい。

正方形の周上に1辺n個（n≧2）の碁石を並べるとき、全体の個数を2通りの式で求めます。数え方①：各辺をn個ずつ4回数え、重複する角4個を引く→4n−4。数え方②：角を1つだけ含む(n−1)個のまとまりを4辺分数える→4(n−1)。4(n−1)のかっこをはずすと4n−4となり、数え方①と一致します。n=3で確認すると4×3−4=8個、実際に並べた碁石も8個で一致します。

問題4：連続する3整数の和が3の倍数であることの証明

栞先生

「2つの例で成り立ったから正しい」は証明にはなりません。なぜかを理解することが出発点です。

【問題4】「連続する3つの整数の和は、いつでも3の倍数になる」ということがらについて、太郎さんは「1+2+3=6、4+5+6=15で、どちらも3の倍数だから、正しいと説明できた」と言っています。しかし、この説明では十分ではありません。太郎さんの説明で十分でない理由に1文でふれたうえで、下の手順で説明しなさい。

例示は特定の場合を確かめるだけで、すべての整数で成り立つとは示せません。最小の整数をnとすると3つの整数はn・n+1・n+2と表せます。和はn+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)。n+1は整数なので3(n+1)は3の倍数です。このようにnで一般化して3×（整数）の形を導くことで、どんな整数でも成り立つと示せます。この証明の型は入試でも頻出です。

問題5：料金プランの比較

栞先生

追加教材の冊数によって「お得なプラン」が逆転するポイントを求めましょう。

【問題5】あるオンライン学習サービスには、2つの料金プランがあります。1か月にダウンロードする追加教材の冊数をx冊とします。

• プランA・プランBの1か月の料金を、それぞれxを使った式で表しなさい。
• 「プランAのほうが安くなる」「2つのプランの料金が等しくなる」「プランBのほうが安くなる」のは、それぞれxがどんな値のときかを、不等号または等号を使った式を示して説明しなさい。

月額500円+1冊80円のプランA（500+80x円）と、月額900円+1冊30円のプランB（900+30x円）を比較します。基本料金の差は400円、1冊あたりの差は50円なので、400÷50=8冊で両者が等しくなります（各1140円）。x<8ではプランAが安く（500+80x＜900+30x）、x>8ではプランBが安くなります（500+80x＞900+30x）。

問題6：計算の誤りを指摘する

栞先生

×の省略は、代入するときに最も事故が起きやすい記号です。

【問題6】次は、ある生徒がx=-3のとき、式2(4x-5)-3(2x-7)の値を求めた計算です。この計算には誤りが1か所あります。

• 誤っている箇所を指摘し、その誤りがどのような考え方から起こったのかを説明しなさい。
• そのうえで、正しい式の値を求めなさい。

式2(4x−5)−3(2x−7)を整理すると2x+11（この部分は正しい）。x=−3を代入する際の誤りは「2x+11を2−3+11と計算した」箇所です。2xは2×xの略記なので、代入時は×を書き戻しかっこを付けて2×(−3)+11と計算しなければなりません。正しい式の値は−6+11=5です。

よくある計算ミス3選

栞先生

テストで繰り返し失点しやすいミスには、共通したパターンがあります。

演習で引っかかりやすいポイント

(1)係数1は省略する（1aとは書かずaと書く）。(2)異なる文字の項はまとめられない（3a+2bを5abにはできない――aとbは同類項ではない）。(3)負の数の代入にはかっこをつける（2xにx=−3を代入するとき「2×(−3)」と書く）。

まとめ：文字と式・応用のポイント

栞先生

「なぜ−aが正になることがあるのか」を自分の言葉で説明できれば、この記事の内容はマスターです。

・aの符号は代入して確かめるだけでなく符号のルールで判断する（-aは必ずしも負ではない）
・規則性は複数の数え方で式を作り、かっこをはずして同じ式になることを確かめる
・証明はn, n+1, n+2のように文字で一般化して示す
・文章題は求めたい量をxと置き、等式・不等式で条件を表す

自己点検：「なぜ-aが正になることがあるのか」を自分の言葉で説明できたら今日はOK。あやしい人は問題1・2に戻ろう

a<0のとき−a>0、a²>0、a³<0。規則性の問題は複数の数え方で式を立て、整理して一致を確かめる。証明はnで一般化して3×（整数）の形を導く。式の値の計算では代入時のかっこを忘れない。これらは次の単元（一次方程式）でも土台となる考え方です。

よくある質問

a<0のとき−aが正の数になるのはなぜですか？

「−a」はaの符号を逆にする操作を表します。aが負の数のとき符号を逆にすると正の数になるため、−aは正になります。「−が付いているから負」という思い込みを捨て、「符号を逆にする操作」と捉えることが重要です。

具体的な数を代入して確かめるだけでは、なぜ証明にならないのですか？

特定の例で成り立つことを示しても、すべての整数で成り立つかどうかは保証できません。nを使った文字式で一般化することで、どんな整数にも当てはまると示すことができます。

碁石の規則性問題で、2通りの式が本当に同じかどうかはどう確かめますか？

かっこをはずして展開・整理し、両者が同じ式になることを確認します。さらに具体的な値（例：n=3）を代入して計算結果が一致することも確かめると確実です。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b
• Step 1c
• Step 2
• Step 3（この記事）

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栞先生

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