中1数学｜一次方程式【Step 2】
栞先生 しおりアカデミー
中1数学｜文字と式【Step 1c】
栞先生
中1 数学｜文字と式｜Step 1c
この記事でわかること
- 代入は文字を( )に置きかえてから数を入れると、負の数でも符号ミスを防げる
- 同類項は文字の部分が同じ項どうしを集め、係数を足し引きしてまとめる
- −( )のかっこ外しで全項の符号が反転し、乗除は分配法則で各項に作用させる
※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。
栞先生
「数がまだ決まっていないのに、どうやって式を作るの？」と疑問に思ったことはありませんか？
学習マップ
この単元の位置づけです。
代入と一次式の計算（加減乗除）
小学校の 四則計算
↓
小6 分数の計算
↓
中1 正負の数
↓
▶ 文字と式（今回はここ）
↓
中1 一次方程式
↓
中1 比例と反比例
↓
中2 式の計算
なぜ文字を使うのか
栞先生
文化祭の会計係として、お菓子の個数がまだ決まっていない場面を想像してみてください。
【場面】文化祭の係になった！
・1個80円のチョコ … x 個
・1個120円のクッキー … y 個
→ 代金は 80x + 120y 円
後日、先生から「チョコ5個、クッキー3個に決めた！」と連絡。
x=5, y=3 を式に入れて代金を求めたい。
個数は 未定
↓
文字で 80x+120y
↓
個数が 決まる
↓
数を入れる （代入）
↓
代金が 求まる
1個80円のチョコをx個、1個120円のクッキーをy個用意するとき、代金は **80x＋120y** 円と表せます。個数が未定の段階でも式を作っておき、後で個数が確定したらx・yに数を代入すれば代金がすぐに求まります。値が決まる前から計算の準備ができるのが文字を使う利点であり、この「文字に数をあてはめる操作」を**代入**といいます。
代入の手順
栞先生
代入でミスが起きやすいのは、文字の位置に直接数字を書き込んでしまうときです。
【ルール】代入とは
文字に数をあてはめて、式の値を求めること。
手順
① 文字を ( ) に置きかえる
② ( ) の中に数を入れる
③ 計算する
**代入**とは、文字に数をあてはめて式の値を求めることです。手順は3ステップで、①文字を**( )**に置きかえる、②( )の中に数を入れる、③計算する、の順に行います。例えば 80x＋120y にx＝5、y＝3を代入すると、80×(5)＋120×(3)＝400＋360＝**760**となります。必ず( )を作ってから数を入れる習慣が、負の数の代入でもミスを防ぐ鍵です。
負の数の代入と符号の扱い
栞先生
−4を代入するとき、なぜわざわざ (−4) と書く必要があるのでしょう？
【約束】負の数は必ず ( ) をつけて代入する
( ) を忘れると符号がズレて計算ミスのもとになる。
どうしても難しければ、この表を覚えておけば基本は解ける。
| もとの式 | x = −4 を代入 | 値 |
|---|---|---|
| 2x + 3 | 2 × (−4) + 3 | −5 |
| x2 | (−4)2 | +16 |
| −x | −(−4) | +4 |
負の数を代入する際は必ず**( )**で囲みます。2x＋3 にx＝−4を代入すると、2×(−4)＋3＝−8＋3＝**−5** です。x² の場合は (−4)²＝**+16**（負×負＝正）、−x の場合は −(−4)＝**+4** となります。( )がないと符号が混在して読み取りにくくなり、計算ミスの原因になります。代入後の符号処理を正確に行うために、( )をつけることを徹底しましょう。
確認問題① 代入の基本
栞先生
3x−5 にx＝4を代入して、式の値を求めてみましょう。
【確認問題①】
x = 4 のとき、式 3x − 5 の値を求めなさい。
（少し考えてみよう）
- ① 文字を ( ) に置きかえる
- ② ( ) に 4 を入れる
- ③ 計算する
xを( )に置きかえて 3×(4)−5＝12−5＝**7**。( )を作ってから数を入れる手順を習慣にしましょう。
確認問題② 負の数の代入
栞先生
x＝−3のとき、2x＋5の値を求めてみましょう。
【確認問題②】
x = −3 のとき、式 2x + 5 の値はどれ？
ア. 11 イ. −1 ウ. 1 エ. −11
（少し考えてみよう）
- ヒント：x を ( ) に置きかえてから −3 を入れる
- ( ) を忘れて符号を取り違えないように
2×(−3)＋5＝−6＋5＝**−1**。( )を忘れて 2×3＋5＝11 としてしまうのがよくある間違いです。マイナス符号を取りこぼさないよう注意しましょう。
同類項のまとめ方
栞先生
3x と 2x、3x と 2—まとめられるのはどちらのペアでしょう？
【ルール】同類項とは
文字の部分が同じ項どうしのこと。
係数（文字にかかる数）どうしを足し引きしてまとめる。
注意：文字の項と数の項はまとめられない
（リンゴ3個＋ミカン2個が「5個」と言えないのと同じ）
| ペア | 同類項？ | 理由 |
|---|---|---|
| 3x と 2x | ○ | 文字 x が同じ |
| 3x と 2 | × | 文字の項と数の項 |
| 3x と 2y | × | 文字が違う |
**同類項**とは、文字の部分が同じ項どうしのことです。同類項は**係数**（文字にかかる数）を足したり引いたりしてまとめられます。一方、文字の項と数の項、または文字の種類が異なる項はまとめられません。3x と 2x は同類項（○）ですが、3x と 2 や 3x と 2y は同類項ではない（×）です。リンゴとミカンを合わせて「○個」とは言えないのと同じ理由です。
式を整理するときは、**文字の項どうし**と**数の項どうし**をそれぞれ集めてから係数を計算します。
確認問題③ 同類項をまとめる
栞先生
4x＋3−x＋2 を同類項でまとめてみましょう。
【確認問題③】
次の式の同類項をまとめなさい。
4x + 3 − x + 2 = ア x + イ
（少し考えてみよう）
- 文字の項どうし：4x と −x（−x は係数 −1 の x）
- 数の項どうし：3 と 2
文字の項：(4x−x)＝**3x**、数の項：(3＋2)＝**5**、答えは **3x＋5**。−x の**係数は−1**であることに注意してください。
一次式の加減とかっこの外し方
栞先生
−(x−5) のかっこを外すと、なぜ −x＋5 になるのか疑問に感じませんか？
【ルール】かっこの外し方
＋( ) … 中の符号はそのまま
−( ) … 中の各項の符号を全部反転
（−( ) は −1×( ) と同じ。−1 を中の項すべてにかけるから符号が変わる）
| かっこ | 外すと | 符号 |
|---|---|---|
| +(3x + 2) | 3x + 2 | そのまま |
| +(x − 5) | x − 5 | そのまま |
| −(x − 5) | −x + 5 | 全部反転 |
一次式どうしの加減では、**かっこの外し方**が重要なポイントです。**＋( )** は中の符号をそのまま外せますが、**−( )** は中の各項の符号をすべて反転させます。これは −( ) が −1×( ) と同じ意味で、−1をかっこ内の全項にかけるからです。例えば −(x−5)＝−x＋5 となり、−5 が +5 に変化します。後ろの項の符号反転を見落とさないよう意識しましょう。
確認問題④ 一次式の足し算
栞先生
(2x＋5)＋(3x−2) を計算してみましょう。
【確認問題④】
次の計算をしなさい。
(2x + 5) + (3x − 2) = ア x + イ
（少し考えてみよう）
- ①+( ) はそのまま外す
- ②文字の項どうし、数の項どうしをまとめる
＋( ) をそのまま外すと 2x＋5＋3x−2。同類項をまとめて (2x＋3x)＋(5−2)＝**5x＋3**。
確認問題⑤ 一次式の引き算
栞先生
−( ) の符号反転を確実に行えるか確認しましょう。(5x＋3)−(2x＋1) はいくつですか？
【確認問題⑤】
次の計算をしなさい。
(5x + 3) − (2x + 1) = ?
ア. 3x + 2 イ. 3x + 4
ウ. 7x + 4 エ. 3x − 2
（少し考えてみよう）
- ヒント：−( ) は中の各項の符号を全部反転
- +1 → −1 になることを忘れずに
後ろの ( ) を外すと 5x＋3−2x−1（+1 が −1 に変化）。同類項をまとめて **3x＋2**。+1 の符号変換を忘れると誤答になるので注意しましょう。
一次式と数のかけ算・わり算
栞先生
3(2x＋4) を計算するとき、3 はどこにかければよいでしょうか？
【ルール】分配法則 a(b + c) = ab + ac
・乗法：かっこの外の数を、中の項すべてにかける
・除法：÷n は ×(1/n) と同じ。各項を n でわってもよい
注意：1にもかける／わるのを忘れない！
| 操作 | やり方 | 例 |
|---|---|---|
| 乗法 | 外の数を各項にかける | 2(3x+1) = 6x+2 |
| 除法 A | ÷n を ×(1/n) に直して分配 | (6x+4)÷2 = (6x+4)×(1/2) |
| 除法 B | 各項を n でわる | (6x+4)÷2 = 3x+2 |
一次式と数のかけ算・わり算には**分配法則** a(b＋c)＝ab＋ac を使います。かっこの外の数を、かっこ内の**全項**にかける（またはわる）のがポイントです。÷n は各項を n でわることと同じで、各項を直接わる方法と ×(1/n) に変換して分配する方法のどちらでも構いません。後ろの項への適用を忘れないよう注意しましょう。
確認問題⑥ 一次式のかけ算
栞先生
3(2x＋4) を計算してみましょう。
【確認問題⑥】
次の計算をしなさい。
3(2x + 4) = ア x + イ
（少し考えてみよう）
- 3 を 2x にかける
- 3 を 4 にもかける（忘れない！）
3を両方の項にかけて 3×2x＋3×4＝**6x＋12**。最初の項だけにかけて 6x＋4 とするミスに注意しましょう。
確認問題⑦ 一次式のわり算
栞先生
(8x＋12)÷4 を計算してみましょう。
【確認問題⑦】
次の計算をしなさい。
(8x + 12) ÷ 4 = ア x + イ
（少し考えてみよう）
- ÷4 をかっこの中の各項にかける
- 8x ÷ 4 と 12 ÷ 4 をそれぞれ計算
各項を4でわって 8x÷4＋12÷4＝**2x＋3**。かけ算と同じ構造で各項に ÷4 を作用させます。
まとめ
栞先生
加減乗除それぞれの操作、一通り流れを確認できましたか？
【今日のまとめ】
① 代入：文字を ( ) に置きかえてから数を入れる
② 同類項：文字の項どうし／数の項どうしでまとめる
③ かっこ：+( )はそのまま、−( )は中の符号を全部反転
④ 乗除：分配法則で外の数を各項にかける／わる
| 操作 | ポイント |
|---|---|
| 代入 | ( ) を作ってから数を入れる |
| 加減 | −( ) で符号反転 → 同類項 |
| 乗除 | 分配法則で各項に作用 |
本記事の4つのポイントをまとめます。①**代入**は文字を( )に置きかえてから数を入れる。②**同類項**は文字の項どうし・数の項どうしを別々にまとめる。③かっこの外し方は **＋( )そのまま** / **−( )符号全反転**。④**乗除**は分配法則で外の数を全項にかける・わる。この4点を押さえれば、一次式の基本計算はひと通り対応できます。
よくある質問
代入するとき、なぜ( )をつけなければならないのですか？
( )をつけることで、負の数を代入した際に符号が混在せず計算ミスを防げます。特に −x に負の数を代入するときなど、( )がないと符号が読み取りにくくなります。
−( )のかっこを外すとき、なぜ符号が全部変わるのですか？
−( ) は −1×( ) と同じ意味で、−1をかっこ内のすべての項にかけるため各項の符号が反転します。後ろの項の変化を見落としやすいので意識して確認しましょう。
同類項かどうかの見分け方を教えてください。
文字の部分（種類と次数）が完全に一致する項どうしが同類項です。3x と 2x は同類項ですが、3x と 2（数の項）や 3x と 2y（文字の種類が異なる）はまとめられません。
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解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
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