移項とは？ なぜ符号が変わるのか｜両辺に x がある方程式・かっこのある方程式の解き方（中1）

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

この記事でわかること

• 「移項」とは何か、移すとなぜ符号が変わるのか
• 左辺にも右辺にも x がある方程式の解き方と、方程式を解く 4 つの手順
• かっこのある方程式の解き方と、−( ) のはずし方

この回で学ぶこと

この記事では、方程式を速く、まちがえずに解くための書き方を学びます。内容は次の 3 つです。

• 移項：毎回「両辺に同じ数をたす（ひく）」と書かなくても、式を短く書けるようになります。
• 両辺に x がある方程式：5x−3＝2x＋9 のように、左辺にも右辺にも x がある方程式です。
• かっこのある方程式：3(x−1)＝x＋5 のような方程式です。

この 3 つが分かれば、中学 1 年の方程式の計算の、いちばん大事なところが解けるようになります。

まず思い出そう：等式の性質

方程式は「等式の性質」を使って解きます。等式は、次のどれをしても成り立ったままです。

• 両辺に同じ数をたす
• 両辺から同じ数をひく
• 両辺に同じ数をかける
• 両辺を同じ数でわる（ただし、0 ではわれません）

この性質を使って、4x−5＝7 を途中まで変形してみます。

4x−5 は、4x と −5 という 2 つの項でできています。−5 を消したいので、両辺に 5 をたします。

4x−5＋5＝7＋5

左辺の −5 と ＋5 は合わせて 0 になるので、

4x＝7＋5

になります。

ここでは、右辺の 7＋5 をわざと計算しないまま残しておきます。次の見出しで、はじめの式 4x−5＝7 と見比べるためです。

移項とは何か

ここで、はじめの式 4x−5＝7 と、最後の式 4x＝7＋5 を見比べてみましょう。

左辺にあった −5 が消えて、右辺に ＋5 が出てきています。−5 が「＝」をこえて、符号を変えて右辺に移ったように見えます。

ほかの式でも同じことが起きるのか、確かめてみましょう。x＋3＝10 で、左辺の ＋3 を右辺に移すとどうなりそうか、先に予想してから読み進めてください。

＋3 を消すには、両辺から 3 をひきます。

x＋3−3＝10−3
x＝10−3

右辺に出てきたのは −3 です。＋3 が符号を変えて、−3 になって移りました。計算すると x＝7 です。

【決まり】移項
等式の一方の辺の項を、符号を変えて、もう一方の辺に移すこと
理由：両辺に同じ数をたす・ひくのと同じだから

移項は、新しく覚える特別な決まりではありません。両辺に同じ数をたしたり、ひいたりした結果を短く書いているだけです。だから、移すと符号が変わります。「なんだ、等式の性質と同じだ」と思った人は、まさにそのとおりです。

x の項も移項できる（両辺に x がある方程式）

3x＋2＝x＋8 は、左辺にも右辺にも x があります。このままでは「x＝数」の形にできません。そこで、x の項を一方の辺に、数の項をもう一方の辺に集めます。

「x は数ではないのに、移せるの？」と思うかもしれません。x は、まだ分からないけれど何かの数を表しています。だから、両辺から x をひいても、等式は成り立ったままです。

両辺から x をひきます。

3x＋2−x＝x＋8−x

右辺の x と −x が消えて、3x＋2−x＝8 になります。ここではまだ計算はせず、左辺の項の順番だけを入れかえて、x の項を前に並べて書くと、

3x−x＋2＝8

右辺の x が、符号を変えて −x として左辺に移りました。数と同じように、x の項も移項できるのです。

続けて、左辺の ＋2 を右辺に移項すると −2 になります。

3x−x＝8−2
2x＝6（両辺をそれぞれ計算する）
x＝3（両辺を 2 でわる）

x に 3 を入れて確かめます。左辺は 3×3＋2＝11、右辺は 3＋8＝11 です。等しいので、x＝3 は正しい解です。

x の項は、どちらの辺に集めてもよい

同じ 3x＋2＝x＋8 で、今度は x の項を右辺に集めてみます。左辺の 3x を右辺へ移項すると −3x、右辺の 8 を左辺へ移項すると −8 になります。左辺には 2 と −8、右辺には x と −3x が残るので、

2−8＝x−3x
−6＝−2x（両辺をそれぞれ計算する）
3＝x（両辺を −2 でわる）

x が右辺にあります。等式は、左辺と右辺を入れかえても成り立ちます。両辺を入れかえて、x＝3。さっきと同じ答えになりました。

【決まり】 x の項も移項できる。x の項と数の項は、どちらの辺に集めてもよい

ひとつコツがあります。x の係数が大きい方の辺に集めると、x の係数が正の数になって、負の数でわらずにすみます。3x＋2＝x＋8 なら、3x のある左辺に集めた方が楽です。

方程式を解く手順

ここまでの解き方を、手順にまとめます。このあとの問題でも、この手順を使います。

方程式を解く手順
① 移項して、x の項と数の項を左右に分ける（移すと符号が変わる）
② 両辺をそれぞれ計算して、ax＝b の形にする
③ 両辺を x の係数 a でわる
④ もとの式に代入して確かめる

②の「ax＝b の形」とは、2x＝6 のような形のことです。

「1次方程式」という言葉

3x＋2＝x＋8 で、右辺の項を全部左辺に移項してみます。x は −x に、8 は −8 になって、

3x＋2−x−8＝0
2x−6＝0（左辺を計算する）

2x や 2x−6 のように、x の 1 次の項だけの式や、x の 1 次の項と数の項の和で表される式を「1次式」といいました。

【決まり】1次方程式
移項して整理すると（x の 1次式）＝0 になる方程式

3x＋2＝x＋8 も 2x−6＝0 の形になったので、1次方程式です。この単元で解いていくのは、この 1次方程式です。

問1：手順どおりに解いてみよう

上の手順①〜④のとおりに、確かめまで自分で解いてから、答えと見比べてみてください。ページの下のプリントで解くこともできます。

手順にそって見ていきます。

• ①移項：x の項を左辺に、数の項を右辺に集めます。右辺の 2x を左辺に移項すると −2x、左辺の −3 を右辺に移項すると ＋3 になります。5x−2x＝9＋3 です。
• ②計算して ax＝b：3x＝12
• ③係数でわる：両辺を 3 でわって x＝4
• ④確かめ：左辺は 5×4−3＝17、右辺は 2×4＋9＝17。等しいので x＝4 で合っています。

答えが合わなかった人は、移項した項の符号を見直してください。−3 を移したのに −3 のまま書いていませんか。移すところまでできていれば、直すのは符号だけです。

問2：Aさんの間違いを見つけよう

1 つの項ずつ、どこからどこへ移ったかを追ってみると、間違いが見つけやすくなります。

間違いは 2 か所あります。 Aさんは、x の項を左辺に、数の項を右辺に集めようとしていました。この考え方は合っています。ただ、移したときの符号が違っていました。

なぜ符号を変えるのか、等式の性質に戻って確かめます。もとの方程式は 4x＋7＝x−5 です。

1 つ目：＋7 の移し方
左辺の ＋7 を消したいので、両辺から 7 をひきます。

4x＋7−7＝x−5−7
4x＝x−5−7

右辺に出てくるのは「−7」です。Aさんは ＋7 と書いていました。これが 1 つ目の間違いです。

2 つ目：x の移し方
右辺の x を消したいので、両辺から x をひきます。

4x−x＝x−5−7−x
4x−x＝−5−7

右辺の x と −x が消えて、左辺に出てくるのは「−x」です。Aさんは ＋x と書いていました。これが 2 つ目の間違いです。

Aさんの 1 行目「4x＋x＝−5＋7」で、間違っている 2 か所に印をつけると、次のようになります。

移すと符号が変わるのは、両辺から同じものをひいた結果だからです。決まりとして覚えるだけでなく、迷ったときは「両辺から何をひいたのか」に戻って考えてください。

Aさんの方程式を正しく解き直す

4x−x＝−5−7 から続けます。

3x＝−12（両辺をそれぞれ計算する）
x＝−4（両辺を 3 でわる）

確かめます。左辺は 4×(−4)＋7＝−9、右辺は −4−5＝−9。両辺とも −9 で等しいので、合っています。正しい解は x＝−4 です。

Aさんの答え x＝2/5 も、もとの式に入れてみます。左辺は 8/5＋7 で正の数、右辺は 2/5−5 で負の数です。正の数と負の数が等しくなることはありません。最後に代入して確かめていれば、Aさんは自分で間違いに気づけたはずです。確かめは、自分の答えを自分で直せる方法です。

かっこのはずし方

3(x−1)＝x＋5 を考えます。左辺の −1 はかっこの中に入っているので、−1 だけを右辺に移項することはできません。そこで、まずかっこをはずします。

ここでするのは、方程式を解くことではなく、左辺の式を書きかえることです。方程式を解く行と見分けるため、式の書きかえは「→」でつないで書きます。

かっこをはずすには、文字と式で学んだ「分配法則」を使います。かっこの外の数を、かっこの中のすべての項にかけるのでした。

3(x−1) → 3x−3（3×x と 3×(−1)）

では、かっこの前に「−」だけがついている −(x−2) はどうなるでしょう。−x−2 でしょうか、−x＋2 でしょうか。

−(x−2) は (−1)×(x−2) のことです。−1 を x にかけて −x。−1 を −2 にかけると、負の数どうしのかけ算なので ＋2 になります。

−(x−2) → (−1)×(x−2) → −x＋2

【注意】 −( ) は中のすべての項の符号を変える

ここは、この回でいちばんまちがいが出やすいところです。前の項の符号だけ変えて、後ろの項を変え忘れる人がとても多いので、ゆっくり確かめながら進めてください。

かっこのある方程式を解く

3(x−1)＝x＋5 のかっこをはずすと、3x−3＝x＋5 になります。ここから先は、さっきの手順と同じです。

3x−x＝5＋3（移項）
2x＝8
x＝4

確かめます。左辺は 3×(4−1)＝9、右辺は 4＋5＝9。合っています。

つまり、かっこがあるときは、手順の①の前にかっこをはずせばよいのです。この 1 行を足すと、方程式を解く手順は次のようになります。

方程式を解く手順
かっこがあるときは、①の前にかっこをはずす
① 移項して、x の項と数の項を左右に分ける（移すと符号が変わる）
② 両辺をそれぞれ計算して、ax＝b の形にする
③ 両辺を x の係数 a でわる
④ もとの式に代入して確かめる

問3：かっこが 2 つある方程式

かっこが 2 つあります。特に、2 つ目のかっこの前の「−」に気をつけてください。

まず、かっこをはずします。

• 2(x−3) → 2x−6（2×x と 2×(−3)）
• −(5x−4) → −5x＋4（かっこの中の 2 つの項の、両方の符号を変える）

いちばん多いまちがいは、後ろの −4 を −4 のまま書いて −5x−4 にしてしまうことです。こう書いた人も、前の 5x の符号はちゃんと変えられています。足りなかったのは後ろの項だけです。−(5x−4) は (−1)×(5x−4) なので、−4 にも −1 がかかって ＋4 になります。

かっこをはずすと 2x−6−5x＋4＝7。ここからは手順どおりです。

• ①移項：左辺の −6 と ＋4 を右辺に移項すると、−6 は ＋6、＋4 は −4 になって、2x−5x＝7＋6−4
• ②計算：−3x＝9
• ③係数でわる：両辺を −3 でわって x＝−3
• ④確かめ：もとの式の 2 つの x に −3 を入れると、2×(−3−3)−(5×(−3)−4)。−3−3＝−6、5×(−3)−4＝−19 なので、2×(−6)−(−19)＝−12＋19＝7。右辺の 7 と等しいので、合っています。

もし −5x−4 としていたら、別の答えが出てきます。でもその答えをもとの式に入れると、左辺が 7 になりません。確かめをすれば、まちがいに気づけるのです。

まとめ

【決まり】この回でできるようになったこと
– 移項は、両辺に同じ数をたす・ひくことを短く書いたもの。だから符号が変わる
– x の項と数の項を左右に分ける。どちらの辺に集めてもよい
– かっこは先にはずす。−( ) は中のすべての項の符号を変える
– 最後に代入して確かめる

符号に迷ったら、「両辺から何をひいたのか（何をたしたのか）」に戻りましょう。「移項はなぜ符号が変わるの？」と聞かれて、自分の言葉で説明できたら、この回の内容は身についています。

次の回は、小数や分数をふくむ方程式と、比例式です。この回の手順が、そのまま土台になります。

よくある質問

Q. 移項すると、なぜ符号が変わるのですか？
A. 移項は、両辺に同じ数をたしたり、両辺から同じ数をひいたりした結果を短く書いたものだからです。たとえば x＋3＝10 の ＋3 を消すには、両辺から 3 をひきます。すると x＝10−3 となり、右辺に −3 が出てきます。これが「＋3 が符号を変えて移った」ように見えるのです。

Q. x の項は、左辺と右辺のどちらに集めればいいですか？
A. どちらに集めても、同じ答えになります。ただ、x の係数が大きい方の辺に集めると、x の係数が正の数になって、負の数でわらずにすみます。x が右辺に残ったときは、両辺を入れかえて「x＝数」の形にすれば大丈夫です。

Q. −(5x−4) のかっこをはずすと、どうなりますか？
A. −5x＋4 です。−( ) は (−1)×( ) のことなので、かっこの中のすべての項に −1 をかけます。後ろの −4 を変え忘れて −5x−4 としてしまうまちがいがとても多いので、気をつけてください。まちがえても、最後に代入して確かめれば気づけます。

この単元の授業

• STEP 1-1
• STEP 1-2（この記事）
• STEP 1-3（準備中）
• STEP 1-4（準備中）
• STEP 1-5（準備中）
• STEP 2-2（準備中）

栞先生

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しおり先生

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