中1数学｜平面図形（作図・移動）【Step 1c】

中1 数学｜平面図形（作図・移動）｜Step 1c

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

「÷360って何で割るんだろう？」と思ったことはありませんか？丸暗記で済ませている人も多いはずです。

学習マップ

この単元の位置づけです。

おうぎ形の公式、
なぜ『÷360』をかけるの？

丸暗記で済ませてない？

[POINT] コツは『円全体の何分のいくつ？』
中心角 90° → 1/4
中心角 120° → 1/3
中心角 60° → 1/6

今日のテーマ
円とおうぎ形（弧の長さと面積）

ピザで考えるおうぎ形の計算

栞先生

半径15cmのピザを8等分した1切れ、外側のカーブはどのくらいの長さか、まず自分で予想してみてください。

家族で半径15cmのピザを注文！
8等分にカットした1切れ

→ 外側のカーブの長さは？
→ 1切れの面積は？

『どのくらい？』と予想してみて。
あとで公式で確かめるよ。

円全体の円周は2π×15＝30πcm、面積はπ×15²＝225πcm²です。8等分の1切れはそれぞれ全体の1/8なので、÷8で求められます。しかし中心角が45度・90度・120度などさまざまな場合に対応するには、「÷8」ではなく中心角から割合を計算する方法が必要です。これがおうぎ形の公式の出番です。

円の用語を整理する

栞先生

「弦」と「弧」、どちらが直線でどちらが曲線か、すぐに答えられますか？

【円の各部の名前 ①】
中心 O … 円の真ん中の点
半径 OA … 中心と円周上の点を結ぶ線分
直径 CD … 中心を通り、両端が円周上の線分
中心角 … 2本の半径がつくる角（∠AOB）

※ 直径 = 半径 × 2

【円の各部の名前 ②】
弦 EF … 円周上の2点を直線で結んだ線分
弧 EF … 円周の一部（曲線）
おうぎ形 … 2本の半径と弧で囲まれた図形

**半径**は円の中心Oと円周上の点を結ぶ線分、**直径**は中心を通り両端が円周上にある線分（半径の2倍の長さ）です。2本の半径がつくる角が**中心角**です。円周上の2点を直線で結んだ線分が**弦**、同じ2点を円周のカーブでたどった部分が**弧**（曲線）です。そして2本の半径と弧で囲まれた図形が**おうぎ形**です。これらの用語はこの後ずっと使いますので、図と結びつけてしっかり確認しておきましょう。

弦と弧の見分け方

栞先生

A・Bという同じ2点を指していても、問題文の一言で求めるものがまったく変わります。

同じ2点A・Bを結んでも…

弦 AB … 直線で結ぶ（線分）
弧 AB … 曲線でたどる（円周の一部）

→ 直線か曲線か、それだけのちがい！

2点A・Bを直線（線分）でつないだものが**弦**、円周に沿った曲線でたどったものが**弧**です。問題文に「弦の長さ」とあれば線分を、「弧の長さ」とあれば円周のカーブ部分を求めます。なお**直径**は「中心を通る弦」の特別なケースで、円の中で最も長い弦にあたります。

おうぎ形の公式を「意味」で理解する

栞先生

なぜおうぎ形の公式には「÷360」が登場するのか、不思議に思いませんか？

中心角 ÷ 360 = 円全体の何分のいくつ？

中心角 90° → 90/360 = 1/4
中心角 120° → 120/360 = 1/3
中心角 60° → 60/360 = 1/6

→ 円全体に『この割合』をかけるだけ！

**中心角÷360**は、円全体に対するおうぎ形の割合を表しています。中心角90度なら90÷360＝1/4（円の4分の1）、120度なら1/3、60度なら1/6です。この割合を円全体の値にかけることでおうぎ形の値が求まります。公式にまとめると、**弧の長さ＝2πr×中心角/360**、**面積＝πr²×中心角/360**です。前半が「円全体の円周または面積」、後半の「×中心角/360」が共通の掛け算になっており、考え方は1つに集約されます。

ピザで公式を確かめる

栞先生

先ほど予想したピザ1切れの値を、公式で計算して確認しましょう。

introのピザに戻ろう！
半径15cm、8等分の1切れ
→ 中心角 = 360 ÷ 8 = 45°

半径15cm・8等分なので中心角は360÷8＝45度です。弧の長さ：2π×15×45/360＝30π×1/8＝**15π/4 cm**（πを3.14とすると約12cm）。面積：π×15²×45/360＝225π×1/8＝**225π/8 cm²**（約88cm²）。全体の1/8という割合が計算にそのまま現れていることが確認できます。

よくある3つの間違い

栞先生

テストで点を落とす人の多くが、次の3つのどれかで間違えています。

ここに注意！

①**弦と弧の混同**：「弦の長さ」は線分の長さ、「弧の長さ」は円周のカーブ部分の長さです。②**公式の使い方**：中心角の数値をそのままかけるのは誤りです。必ず÷360して割合に直してからかけます。③**まわりの長さ**：「おうぎ形のまわりの長さ」は**弧＋半径×2**が正しく、弧だけを答えると誤りになります。問題文が「弧の長さ」を聞いているのか「まわりの長さ」を聞いているのかを必ず確認しましょう。

確認問題1

栞先生

Q1：円の中心Oと円周上の点Aを結んだ線分OAを何といいますか？（ア 半径　イ 直径　ウ 弦　エ 弧）少し考えてから次の解答を確認してください。

Q1.
円の中心Oと、円周上の点Aを結んだ
線分OAのことを何という？

• ア　半径
• イ　直径
• ウ　弦
• エ　弧

問題1の解答

栞先生

答え：ア **半径**。中心と円周上の点を結ぶ線分が半径です。直径は中心を通る線分（半径×2）、弦は円周上の2点を結ぶ線分、弧は円周のカーブ部分（曲線）です。

答え：ア　半径
→ 中心と円周上の点を結ぶ線分（OA）

• イ 直径：中心を通り、両端が円周上の線分
• ウ 弦：円周上の2点を結ぶ線分（中心を通らない場合も含む）
• エ 弧：円周の一部（曲線）

確認問題2

栞先生

Q2：円周上の2点A・Bを直線で結んだ線分（中心を通らない）を何といいますか？（ア 弧AB　イ 直径AB　ウ 弦AB　エ おうぎ形AB）

Q2.
円周上の2点A・B（中心は通らない）。
A・Bを直線で結んだ線分を何という？

• ア　弧AB
• イ　直径AB
• ウ　弦AB
• エ　おうぎ形AB

問題2の解答

栞先生

答え：ウ **弦AB**。円周上の2点を直線で結んだ線分が弦です。直径は中心を通る場合のみ、弧は曲線、おうぎ形は2本の半径と弧で囲まれた図形です。「中心を通らない」という条件から直径は除外されます。

答え：ウ　弦AB
→ 円周上の2点を直線で結んだ線分

• ア 弧AB：曲線（円周の一部）なので×
• イ 直径AB：中心を通る場合のみ。今回は通らないので×
• エ おうぎ形AB：図形であって線分ではないので×

確認問題3

栞先生

Q3：半径6cm・中心角90°のおうぎ形の弧の長さを求めてください。（答えは「□π cm」の形で）

Q3.
半径 6cm、中心角 90°のおうぎ形の
弧の長さを求めよう。

答えは　ア π cm　の形で。

問題3の解答

栞先生

答え：**3π cm**。2π×6×90/360＝12π×1/4＝3π。中心角90°は円全体の1/4にあたるため、円周の1/4が弧の長さです。

答え：ア = 3
→ 弧の長さ = 3π cm

確認問題4

栞先生

Q4：半径4cm・中心角90°のおうぎ形の面積を求めてください。（答えは「□π cm²」の形で）

Q4.
半径 4cm、中心角 90°のおうぎ形の
面積を求めよう。

答えは　ア π cm²　の形で。

問題4の解答

栞先生

答え：**4π cm²**。π×4²×90/360＝16π×1/4＝4π。面積の公式πr²にも同様に1/4をかけます。弧と面積で公式は異なりますが、「×中心角/360」の部分は共通です。

答え：ア = 4
→ 面積 = 4π cm²

確認問題5

栞先生

Q5：「おうぎ形のまわりの長さ」を求める式として正しいのはどれですか？（ア 弧の長さと同じ　イ 弧＋半径×2　ウ 弧＋半径×1　エ 弧－半径×2）

Q5.
『おうぎ形の弧の長さ』と
『おうぎ形のまわりの長さ（周の長さ）』
の関係として正しいのは？

• ア 弧の長さと、まわりの長さは同じ
• イ まわり ＝ 弧 ＋ 半径 × 2
• ウ まわり ＝ 弧 ＋ 半径 × 1
• エ まわり ＝ 弧 − 半径 × 2

問題5の解答

栞先生

答え：イ **弧＋半径×2**。おうぎ形の輪郭は弧1本と半径2本で構成されます。「弧の長さ」ではなく「まわりの長さ」を聞かれたときは、半径2本分を必ず加えてください。

答え：イ
まわりの長さ = 弧 ＋ 半径 × 2

確認問題6

栞先生

Q6：半径3cm・中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めてください。（答えは「□π cm」の形で）

Q6.
半径 3cm、中心角 120°のおうぎ形の
弧の長さを求めよう。

答えは　ア π cm　の形で。

問題6の解答

栞先生

答え：**2π cm**。2π×3×120/360＝6π×1/3＝2π。中心角120°は円全体の1/3にあたります。中心角が90°以外でも考え方はまったく同じです。

答え：ア = 2
→ 弧の長さ = 2π cm

まとめ

栞先生

公式を丸暗記していた人も、仕組みを理解すれば初めて見る問題でも自力で対応できます。

今日のまとめ

中心角 ÷ 360 = 円全体の何分のいくつ？
→ 弧も面積も『円全体 × その割合』！
→ 公式は2つあるけど、考え方は1つ。

おうぎ形の弧の長さ（2πr×中心角/360）と面積（πr²×中心角/360）は、どちらも「円全体の値×（中心角÷360の割合）」という同じ構造を持ちます。「÷360で割合に直す」という操作を理解しておけば、中心角がどんな値であっても同じ手順で計算できます。

よくある質問

弧の長さとまわりの長さは何が違いますか？

弧の長さはおうぎ形のカーブ部分（曲線）だけの長さです。まわりの長さはそれに加えて半径2本分の直線を足した値で、「弧＋半径×2」で求めます。問題文をよく確認してどちらを聞かれているかを判断してください。

中心角が与えられていない場合はどうやって求めますか？

弧の長さや面積が与えられている場合は公式を逆算します。例えば弧の長さと半径がわかっていれば、弧の長さ÷2πr×360で中心角を求めることができます。

おうぎ形の公式と円の公式はどう使い分けますか？

円はおうぎ形の中心角が360°の特別なケースです。中心角/360が1になるため、円の公式（2πr、πr²）はそのまま成り立ちます。おうぎ形の公式は円の公式を含む一般形と考えると整理しやすいです。

この単元の授業

• Step 1a（準備中）
• Step 1b
• Step 1c（この記事）

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栞先生

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