中1数学｜空間図形（展開図・投影図）【Step 1a】

中1 数学｜空間図形（展開図・投影図）｜Step 1a

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

「ねじれの位置」という言葉、授業で聞いたけれどピンと来なかった方も多いでしょう。

学習マップ

この単元の位置づけです。

サムネの疑問「ねじれの位置って何？」
答え：交わらないし、平行でもない2直線の関係のことだよ。
この記事で角柱・角錐・正多面体・回転体もまとめて整理するよ。

立体の2大分類：多面体と曲面をもつ立体

栞先生

「円柱にも面があるのに、なぜ多面体でないの？」という疑問からスタートしましょう。

立体は2つに分かれる
① 多面体：平面だけで囲まれた立体（角柱・角錐）
② 曲面をもつ立体：円柱・円錐・球

多面体は面の数で呼び方が決まる
面が4つ→四面体　面が5つ→五面体　面が6つ→六面体…
角柱・円柱は上下に合同な底面、まわりに側面をもつ

立体は多面体（平面だけで囲まれた立体）と曲面をもつ立体の2種類に分かれます。角柱・角錐は多面体、円柱・円錐・球は曲面をもつ立体です。多面体は面の数で名前が決まり、4面→四面体、6面→六面体のように数字をそのまま名前に使います。

確認問題①：多面体の選択

栞先生

次の立体から多面体をすべて選んでください。　ア 三角柱　イ 円柱　ウ 四角錐　エ 球　オ 立方体　カ 円錐

【問題①】次の立体の中から、多面体をすべて選びなさい。

• ア：三角柱
• イ：円柱
• ウ：四角錐
• エ：球
• オ：立方体
• カ：円錐

正解はア・ウ・オ（三角柱・四角錐・立方体）。曲面を1つでも含む立体（円柱・球・円錐）は多面体に入りません。

正多面体：なぜ5種類しかないのか

栞先生

「もっとたくさん種類がありそう」と感じやすいですが、実は5種類に限られます。

正多面体：すべての面が合同な正多角形で、各頂点に同じ数の面が集まる立体
正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類だけ

なぜ5種類だけ？
1つの頂点に集まる面の内角の和が360°未満でないと立体として閉じない
正三角形・正方形・正五角形だけがこの条件を満たす組み合わせを持つ（詳しくは図で確認）

正多面体とは、すべての面が合同な正多角形で各頂点に同じ数の面が集まる立体です。正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類のみが存在します。5種類しかない理由は、1つの頂点に集まる面の内角の和が360°未満でないと立体として閉じられないためで、この条件を満たす組み合わせが正三角形・正方形・正五角形を使った5パターンに限られるからです。

確認問題②：正多面体の種類数

栞先生

正多面体は全部で何種類ありますか。　ア 3種類　イ 4種類　ウ 5種類　エ 6種類

【問題②】正多面体は全部で何種類あるか答えなさい。
ア：3種類　イ：4種類　ウ：5種類　エ：6種類

正解はウ（5種類）。正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の5つだけが条件を満たします。

回転体：平面図形を動かして立体をつくる

栞先生

円柱と四角柱はどちらも「柱」ですが、できかたはまったく異なります。

平面図形を動かすと立体ができる
・平行移動させる→角柱・円柱（例：四角形→四角柱、円→円柱）
・1つの直線（回転の軸）を軸に1回転させる→回転体

回転体の例
長方形を1辺を軸に回転→円柱
直角三角形を1辺を軸に回転→円錐
半円を直径を軸に回転→球

平面図形を平行移動すると角柱・円柱ができ、回転の軸を中心に1回転させると回転体ができます。代表的な3パターンは、長方形を1辺を軸に回転→円柱、直角三角形を1辺を軸に回転→円錐、半円を直径を軸に回転→球です。

確認問題③：回転体の識別

栞先生

長方形をその1辺を軸として1回転させてできる立体は何ですか。　ア 円柱　イ 円錐　ウ 球　エ 四角柱

【問題③】長方形を、その1辺を軸として1回転させてできる立体は何か。
ア：円柱　イ：円錐　ウ：球　エ：四角柱

正解はア（円柱）。円錐は直角三角形の回転、球は半円の回転、四角柱は平行移動でできる立体です。

母線：回転体の側面を描く線分

栞先生

円錐の側面には無数の線分が走っています。これらに共通する性質とは何でしょうか。

母線：回転体の側面を描く線分
円錐では、頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分がすべて母線（無数にある・長さは全部同じ）

母線とは回転体の側面を描く線分です。円錐では頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分が母線で、無数に存在しすべて同じ長さです。円柱では、両底面の円周上の点を結ぶ軸に平行な線分が母線です。

確認問題④：母線の定義

栞先生

円錐の頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分を母線という。○か×か答えてください。

【問題④】円錐の頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分を母線という。

• ○
• ×

正解は○。母線は1本ではなく無数に存在し、すべて同じ長さになります。

回転体の切り口：切る向きで形が変わる

栞先生

同じ円錐でも、縦に切るか横に切るかで現れる断面はまったく異なります。

円錐を切ったときの切り口
① 軸を含む平面で切る→軸に線対称な図形（二等辺三角形）
② 軸に垂直な平面で切る→円

円柱・球でも同じ性質
軸を含む切り口は軸に線対称、軸に垂直な切り口は円になる

円錐を例にすると、軸を含む平面で切ると切り口は二等辺三角形（軸に線対称）、軸に垂直な平面で切ると切り口は円になります。円柱・球でも同じ性質があり、「軸を含む切り口は線対称な図形、軸に垂直な切り口は円」は回転体に共通する性質です。

確認問題⑤：回転体の切り口

栞先生

円柱を回転の軸に垂直な平面で切ったとき、切り口はどんな図形になりますか。　ア 長方形　イ 円　ウ 正方形　エ 二等辺三角形

【問題⑤】円柱を、回転の軸に垂直な平面で切ったとき、切り口はどんな図形になるか。
ア：長方形　イ：円　ウ：正方形　エ：二等辺三角形

正解はイ（円）。長方形は軸を含む平面で切ったときの切り口です。軸に垂直に切ると、どの回転体でも切り口は円になります。

ねじれの位置：空間特有の2直線の関係

栞先生

「交わらなければ平行」と考えていると、空間図形でつまずきます。

空間の2直線の関係は3通り
① 交わる　② 平行　③ ねじれの位置（交わらず、平行でもない）
平面図形にはなかった③が空間ならではの関係

見分け方：まず『平行か（同じ向きか）』を確認→次に『交わるか』を確認
どちらでもなければ、ねじれの位置

空間における2直線の関係は3通りに分類されます。①交わる、②平行、③ねじれの位置。ねじれの位置とは、交わらず平行でもない2直線の関係で、平面図形にはない空間特有の概念です。直方体ABCD-EFGHで辺ABを基準にすると、辺AEは「交わる」、辺EFは「平行」、辺CGが「ねじれの位置」に当たります。見分け方は、まず平行かを確認し、次に交わるかを確認して、どちらでもなければねじれの位置です。

確認問題⑥：ねじれの位置

栞先生

直方体ABCD-EFGHで、辺ABとねじれの位置にある辺はどれですか。　ア 辺CD　イ 辺EF　ウ 辺CG　エ 辺BF

【問題⑥】右の直方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABとねじれの位置にある辺はどれか。
ア：辺CD　イ：辺EF　ウ：辺CG　エ：辺BF

正解はウ（辺CG）。辺CD・辺EFはABと平行、辺BFは点Bで交わります。辺CGだけが交わらず平行でもないねじれの位置の辺です。

直線と平面・平面と平面の位置関係

栞先生

直線と平面の関係では「含まれる」という状態を見落としやすいので注意が必要です。

直線と平面の位置関係は3通り
① 含まれる（直線が平面上にある）
② 交わる（共有点はただ1つ）
③ 平行（共有点なし）

2つの平面の位置関係は2通り
① 交わる（交線という1本の直線ができる）
② 平行（共有点なし）

直線と平面の位置関係は3通り：①含まれる（直線が平面上にある）、②交わる（共有点が1つ）、③平行（共有点がない）。2つの平面の位置関係は2通り：①交わる（交線と呼ばれる1本の直線ができる）、②平行（共有点がない）。「直線と平面は3通り、平面と平面は2通り」という違いを押さえてください。

確認問題⑦：直線と平面の位置関係

栞先生

空間における直線と平面の位置関係は何通りに分類できますか。　ア 2通り　イ 3通り　ウ 4通り　エ 5通り

【問題⑦】空間における直線と平面の位置関係は何通りに分類できるか答えなさい。
ア：2通り　イ：3通り　ウ：4通り　エ：5通り

正解はイ（3通り）。「含まれる」を見落として2通りと答えないよう注意してください。

直線と平面の垂直・2平面のなす角

栞先生

「1本の直線と垂直なら平面に垂直」という思い込みに注意が必要です。

直線ℓが平面Pに垂直と言えるのは
交点Oを通り、平面上で交わる2直線m,nの両方にℓが垂直なとき
1直線とだけ垂直では不十分

2つの平面がつくる角
交線上の点から、それぞれの平面内に交線への垂線を引き、そのなす角を見る
角が90°のとき2平面は垂直

直線ℓが平面Pに垂直といえるのは、交点Oを通る平面上の交わる2直線m・nの両方にℓが垂直なときです。1直線とだけ垂直な場合は不十分で、2直線への垂直が条件です。また、2平面がつくる角は交線上の点から各平面内に引いた交線への垂線のなす角で定義され、その角が90°のとき2平面は垂直です。

点と平面の距離・角柱の高さ

栞先生

点から平面までの「最短距離」はどう測ればよいでしょうか。

点Aから平面Pに垂線を下ろし、その足をHとすると
点と平面との距離＝線分AHの長さ

角柱の高さもこの考え方
角柱の高さ＝底面と底面の距離（垂線の長さ）

点Aから平面Pに垂線を下ろし、その足をHとしたとき、点と平面の距離は線分AHの長さです。この考え方は角柱の高さ（底面と底面の距離＝垂線の長さ）の定義にも直結します。

よくある勘違い3選

栞先生

ここを整理しておかないと、テストで確実に失点するポイントが3つあります。

×　円柱は面もあるから多面体
○　側面が曲面の円柱・球・円錐は多面体に入らない（多面体＝平面だけで囲まれた立体）

×　交わらなければ平行
○　空間には『交わらず、平行でもない』ねじれの位置もある

×　直線が平面上の1本の直線と垂直なら、平面に垂直と言える
○　平面上で交わる2直線の両方と垂直になって初めて、直線は平面に垂直と言える

①円柱は多面体ではない：側面が曲面なので「平面のみで囲まれた立体」という多面体の定義に当てはまりません。②交わらない2直線が平行とは限らない：空間ではねじれの位置という第3の関係があります。③1直線と垂直でも平面に垂直とは言えない：平面上で交わる2直線の両方と垂直であることが必要です。

この記事のまとめ

栞先生

「ねじれの位置とは何か」を自分の言葉で説明できれば、この単元の核心は押さえられています。

・立体は多面体（角柱・角錐など）と曲面をもつ立体（円柱・円錐・球）に分かれる
・正多面体は正四面体〜正二十面体の5種類だけ
・空間の2直線には交わる・平行・ねじれの位置の3通りがある
・回転体は長方形→円柱、直角三角形→円錐、半円→球としてできる

自己点検：サムネの問い『ねじれの位置って何？』に自分の言葉で答えられる？
『交わらないし、平行でもない』が言えたら今日はOK！

この記事のまとめ：立体は多面体（角柱・角錐など）と曲面をもつ立体（円柱・円錐・球）の2類。正多面体は5種類のみ。回転体は長方形→円柱・直角三角形→円錐・半円→球の3パターン。空間の2直線の関係は交わる・平行・ねじれの位置の3通り。直線が平面に垂直というには平面上の交わる2直線への垂直が必要です。次の単元（展開図・投影図）の記事でさらに深めましょう。

よくある質問

ねじれの位置と平行の違いは何ですか？

平行な2直線は同じ平面上に存在し、どこまで延ばしても交わりません。ねじれの位置の2直線は同一平面上に存在できない関係で、交わらないが平行でもないという点が異なります。

正多面体がなぜ5種類だけなのかが理解できません。

1つの頂点に集まる面の内角の和が360°以上になると立体が閉じられず平らになってしまいます。正三角形・正方形・正五角形を使った組み合わせの中で360°未満の条件を満たすパターンがちょうど5つあります。

回転体の切り口の形を間違えないコツはありますか？

「軸を含む平面で切ると線対称な図形、軸に垂直な平面で切ると円」の2パターンを覚えると判断しやすくなります。円柱なら前者が長方形、後者が円です。

この単元の授業

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