中3国語｜助動詞・助詞の識別と用法【Step 1c】
栞先生 しおりアカデミー
中3数学｜多項式の展開と因数分解【Step 1a】
栞先生
中3 数学｜多項式の展開と因数分解｜Step 1a
この記事でわかること
- 展開では、かっこの外の式を中の各項にかけます。
- 乗法公式は積の形を見分け、中間項と符号を確かめて使います。
- 置き換えや公式を使うと、長い式や数の計算を整理できます。
※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。
栞先生
単項式は1つの項でできた式、多項式はいくつかの項の和です。積の形を和の形に直すことを展開といいます。
学習マップ
この単元の位置づけです。
かっこが増えると、どの項をかけたか見失いやすい。
\(\displaystyle 99²=(100-1)²=9801\)
展開：積の形を和の形に直すと、長い式や数の計算を整理しやすくなる。
文字と式（中1）
↓
式の計算（多項式の加減乗）（中2）
↓
多項式の展開と因数分解（中3）
↓
平方根（中3）
↓
二次方程式（中3）
↓
展開と因数分解（高1）
展開の土台は分配法則
栞先生
単項式は1つの項でできた式、多項式はいくつかの項の和です。積の形を和の形に直すことを展開といいます。
単項式は1つの項でできた式、多項式はいくつかの項の和。積を和の形にすることを展開という。
分配法則 \(\displaystyle a(b+c)=ab+ac\)
\(\displaystyle 2a(3a+4)\)を展開
1. \(\displaystyle 2a(3a+4)\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =2a×3a+2a×4\) （2aを多項式の各項にかける）
↓
3. \(\displaystyle =6a²+8a\) （それぞれの積を計算）
ここは考え方ごと押さえたいところ。外の単項式を一部の項だけでなく、かっこの中の各項にかける。迷ったら分配法則の式に戻ろう。
土台は分配法則 \(\displaystyle a(b+c)=ab+ac\) です。外の式を中の各項にかけるので、\(\displaystyle 2a(3a+4)=2a×3a+2a×4=6a²+8a\) となります。一部だけにかけると、もとの積とは異なる式になります。
確認問題①
栞先生
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle 3a(2a-5)=［ ］\)
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle 3a(2a-5)=\)［ ］
確認問題① 答え
栞先生
答えは \(\displaystyle 6a²-15a\) です。\(\displaystyle 3a\) を \(\displaystyle 2a\) と \(\displaystyle -5\) の両方にかけます。
各項に3aをかける
1. \(\displaystyle 3a(2a-5)\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =3a×2a+3a×(-5)\) （分配法則）
↓
3. \(\displaystyle =6a²-15a\) （積を計算）
答え：\(\displaystyle 6a²-15a\)
多項式を単項式でわる
栞先生
多項式を単項式でわるときは、多項式の各項を同じ単項式でわります。\(\displaystyle (15x²-10x)÷5x=15x²÷5x-10x÷5x=3x-2\) です。最初の項だけをわっても、かっこ全体をわったことにはなりません。
多項式÷単項式では、多項式の各項を同じ単項式でわる。最初の項だけをわる計算ではない。
\(\displaystyle (15x²-10x)÷5x\)を計算
1. \(\displaystyle (15x²-10x)÷5x\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =15x²÷5x-10x÷5x\) （各項を5xでわる）
↓
3. \(\displaystyle =3x-2\) （係数と文字を整理）
ここも仕組みの理解が大切。あやふやなら、各項に同じ数を分けて計算するところから繰り返し確かめよう。
確認問題②
栞先生
次の式を計算し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (8x²+12x)÷4x=［ ］\)
次の式を計算し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (8x²+12x)÷4x=\)［ ］
確認問題② 答え
栞先生
答えは \(\displaystyle 2x+3\) です。\(\displaystyle 8x²\) と \(\displaystyle 12x\) をそれぞれ \(\displaystyle 4x\) でわります。
各項を4xでわる
1. \(\displaystyle (8x²+12x)÷4x\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =8x²÷4x+12x÷4x\) （各項に分ける）
↓
3. \(\displaystyle =2x+3\) （係数と文字を整理）
答え：\(\displaystyle 2x+3\)
乗法公式1―和と積を見る
栞先生
乗法公式は分配法則から導ける近道です。\(\displaystyle (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\) では、\(\displaystyle x\) の係数が \(\displaystyle a\) と \(\displaystyle b\) の和、定数項が積になります。
乗法公式は、分配法則から導ける展開の近道。式の形が公式と合うときに使え、合わないときは分配法則で展開できる。
\(\displaystyle (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\)
\(\displaystyle (x+3)(x+5)\)を分配法則から展開
1. \(\displaystyle (x+3)(x+5)\) （\(\displaystyle a=3\)、\(\displaystyle b=5\)）
↓
2. \(\displaystyle =x(x+5)+3(x+5)\) （xと3をそれぞれ\(\displaystyle (x+5)\)にかける）
↓
3. \(\displaystyle =x²+5x+3x+15\) （さらに分配法則で展開）
↓
4. \(\displaystyle =x²+8x+15\) （同類項5xと3xをまとめる）
面積モデルでは、\(\displaystyle x²\)・5x・3x・15を合わせると\(\displaystyle x²+8x+15\)。xの係数は3+5、定数項は\(\displaystyle 3×5\)になる。
\(\displaystyle (x+3)(x+5)=x²+5x+3x+15=x²+8x+15\) です。面積でも、\(\displaystyle x²\)、\(\displaystyle 5x\)、\(\displaystyle 3x\)、\(\displaystyle 15\) の4つの部分を合わせると同じ結果になります。
小数でも和と積は同じ
栞先生
小数でも公式の形は変わりません。\(\displaystyle (x+0.2)(x+0.4)=x²+(0.2+0.4)x+0.2×0.4=x²+0.6x+0.08\) です。和と積を分けて計算すると、小数点の位置を確かめやすくなります。
\(\displaystyle (x+0.2)(x+0.4)\)を展開
1. \(\displaystyle (x+0.2)(x+0.4)\) （\(\displaystyle a=0.2\)、\(\displaystyle b=0.4\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²+(0.2+0.4)x+0.2×0.4\) （乗法公式1に当てはめる）
↓
3. \(\displaystyle =x²+0.6x+0.08\) （和と積を計算）
小数でも、xの係数はaとbの和、定数項はaとbの積。小数点の位置はそれぞれ計算して確かめる。
確認問題③
栞先生
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+0.5)(x+0.3)=［ ］\)
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+0.5)(x+0.3)=\)［ ］
確認問題③ 答え
栞先生
答えは \(\displaystyle x²+0.8x+0.15\) です。和は \(\displaystyle 0.5+0.3=0.8\)、積は \(\displaystyle 0.5×0.3=0.15\) です。
和と積を求める
1. \(\displaystyle (x+0.5)(x+0.3)\) （\(\displaystyle a=0.5\)、\(\displaystyle b=0.3\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²+(0.5+0.3)x+0.5×0.3\) （乗法公式1）
↓
3. \(\displaystyle =x²+0.8x+0.15\) （0.5+0.3=0.8、0.5×0.3=0.15）
答え：\(\displaystyle x²+0.8x+0.15\)
乗法公式2―和の平方
栞先生
和の平方は \(\displaystyle (x+a)²=x²+2ax+a²\) です。\(\displaystyle (x+a)(x+a)=x²+ax+ax+a²\) と分配すると \(\displaystyle ax\) が2つ現れます。
\(\displaystyle (x+a)²=x²+2ax+a²\)
分配法則から中間項を確かめる
1. \(\displaystyle (x+a)²\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =(x+a)(x+a)\) （同じ式どうしの積）
↓
3. \(\displaystyle =x(x+a)+a(x+a)\) （分配法則）
↓
4. \(\displaystyle =x²+ax+ax+a²\) （axが2つ現れる）
↓
5. \(\displaystyle =x²+2ax+a²\) （同類項をまとめる）
\(\displaystyle (x+4)²\)を展開
1. \(\displaystyle (x+4)²\) （\(\displaystyle a=4\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²+2×4×x+4²\) （中間項は2ax）
↓
3. \(\displaystyle =x²+8x+16\) （各項を計算）
\(\displaystyle (x+a)²\)を\(\displaystyle x²+a²\)にはできない。分配するとaxが2つ現れるため、中間項2axが必要になる。
\(\displaystyle (x+4)²=x²+2×4×x+4²=x²+8x+16\) です。\(\displaystyle x²+a²\) だけでは中間項がなく、もとの積と一致しません。
分数でも中間項は2倍の積
栞先生
分数でも中間項は2倍の積です。\(\displaystyle (x+\frac{1}{3})²=x²+2×\frac{1}{3}×x+(\frac{1}{3})²=x²+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\) となります。中間項と定数項を別々に計算すると流れを追いやすくなります。
\(\displaystyle (x+\frac{1}{3})²\)を展開
1. \(\displaystyle (x+\frac{1}{3})²\) （\(\displaystyle a=\frac{1}{3}\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²+2×\frac{1}{3}×x+(\frac{1}{3})²\) （乗法公式2に当てはめる）
↓
3. \(\displaystyle =x²+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\) （中間項と定数項を計算）
分数でも公式の形は同じ。2axと\(\displaystyle a²\)を別々に計算すると整理しやすい。
確認問題④
栞先生
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+\frac{1}{2})²=［ ］\)
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+\frac{1}{2})²=\)［ ］
確認問題④ 答え
栞先生
答えは \(\displaystyle x²+x+\frac{1}{4}\) です。\(\displaystyle 2×\frac{1}{2}×x=x\)、\(\displaystyle (\frac{1}{2})²=\frac{1}{4}\) となります。
中間項と定数項を計算
1. \(\displaystyle (x+\frac{1}{2})²\) （\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²+2×\frac{1}{2}×x+(\frac{1}{2})²\) （乗法公式2）
↓
3. \(\displaystyle =x²+x+\frac{1}{4}\) （\(\displaystyle 2×\frac{1}{2}×x=x\)、\(\displaystyle (\frac{1}{2})²=\frac{1}{4}\)）
答え：\(\displaystyle x²+x+\frac{1}{4}\)
乗法公式3―差の平方
栞先生
差の平方は \(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax+a²\) です。分配すると \(\displaystyle x²-ax-ax+a²\) となり、中間の2項は負です。
\(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax+a²\)
分配法則から符号を確かめる
1. \(\displaystyle (x-a)²\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =(x-a)(x-a)\) （同じ式どうしの積）
↓
3. \(\displaystyle =x(x-a)-a(x-a)\) （分配法則）
↓
4. \(\displaystyle =x²-ax-ax+a²\) （中間の2項は負、\(\displaystyle (-a)×(-a)=a²\)）
↓
5. \(\displaystyle =x²-2ax+a²\) （同類項をまとめる）
\(\displaystyle (x-4)²\)を展開
1. \(\displaystyle (x-4)²\) （\(\displaystyle a=4\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²-2×4×x+4²\) （中間項は負、定数項は正）
↓
3. \(\displaystyle =x²-8x+16\) （各項を計算）
\(\displaystyle (x-4)²=x²-2×4×x+4²=x²-8x+16\) です。\(\displaystyle (-a)×(-a)=a²\) なので定数項は正になります。
確認問題⑤
栞先生
次の式を展開したものとして正しいものを1つ選びなさい。
\(\displaystyle (x-6)²\)
ア \(\displaystyle x²-36\)
イ \(\displaystyle x²-12x+36\)
ウ \(\displaystyle x²+12x+36\)
エ \(\displaystyle x²-6x+36\)
次の式を展開したものとして正しいものを1つ選びなさい。
\(\displaystyle (x-6)²\)
| 記号 | 式 |
|---|---|
| ア | \(\displaystyle x²-36\) |
| イ | \(\displaystyle x²-12x+36\) |
| ウ | \(\displaystyle x²+12x+36\) |
| エ | \(\displaystyle x²-6x+36\) |
確認問題⑤ 答え
栞先生
答えはイの \(\displaystyle x²-12x+36\) です。\(\displaystyle x²-2×6×x+6²\) として、中間項と定数項を計算します。
差の平方を展開
1. \(\displaystyle (x-6)²\) （\(\displaystyle a=6\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²-2×6×x+6²\) （乗法公式3）
↓
3. \(\displaystyle =x²-12x+36\) （中間項は−12x、定数項は36）
答え：イ \(\displaystyle x²-12x+36\)
乗法公式4―和と差の積
栞先生
和と差の積は \(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²-a²\) です。分配すると \(\displaystyle x²-ax+ax-a²\) となり、中間項が消えます。\(\displaystyle (x+7)(x-7)=x²-49\) です。
\(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²-a²\)
中間項が消える理由
1. \(\displaystyle (x+a)(x-a)\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =x(x-a)+a(x-a)\) （分配法則）
↓
3. \(\displaystyle =x²-ax+ax-a²\) （-axと+axが現れる）
↓
4. \(\displaystyle =x²-a²\) （同類項が打ち消し合う）
\(\displaystyle (x+7)(x-7)\)を展開
1. \(\displaystyle (x+7)(x-7)\) （\(\displaystyle a=7\)）
↓
2. \(\displaystyle =x²-7²\) （乗法公式4）
↓
3. \(\displaystyle =x²-49\) （\(\displaystyle 7²=49\)）
和と差が対応する積に使える公式。符号の組が対応しない積には、そのまま当てはめない。
同じ部分に \(\displaystyle +a\) と \(\displaystyle -a\) が対応する積に使います。対応しないときは分配法則で展開します。
2つの文字でも同じ形
栞先生
数の代わりに文字が入っても同じです。\(\displaystyle (a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²\) となり、\(\displaystyle -ab\) と \(\displaystyle +ab\) が打ち消し合います。
\(\displaystyle (a+b)(a-b)\)を展開
1. \(\displaystyle (a+b)(a-b)\) （aとbの和と差の積）
↓
2. \(\displaystyle =a²-ab+ab-b²\) （分配法則で展開）
↓
3. \(\displaystyle =a²-b²\) （-abと+abをまとめる）
数の代わりに文字が入っても、同じ部分の和と差をかける形なら中間項が消える。
確認問題⑥
栞先生
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+y)(x-y)=［ ］\)
次の式を展開し、空欄に入る式を答えなさい。
\(\displaystyle (x+y)(x-y)=\)［ ］
確認問題⑥ 答え
栞先生
答えは \(\displaystyle x²-y²\) です。分配すると現れる \(\displaystyle -xy\) と \(\displaystyle +xy\) が打ち消し合います。
中間項を確かめる
1. \(\displaystyle (x+y)(x-y)\) （もとの式）
↓
2. \(\displaystyle =x²-xy+xy-y²\) （分配法則で展開）
↓
3. \(\displaystyle =x²-y²\) （-xyと+xyが打ち消し合う）
答え：\(\displaystyle x²-y²\)
乗法公式の早見表
栞先生
ここで使う4つの公式は、\(\displaystyle (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\)、\(\displaystyle (x+a)²=x²+2ax+a²\)、\(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax+a²\)、\(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²-a²\) です。正直、似た形が並ぶのでややこしく感じます。
| 積の形 | 展開した形 | 見分ける観点 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle (x+a)(x+b)\) | \(\displaystyle (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\) | aとbの和・積 |
| \(\displaystyle (x+a)²\) | \(\displaystyle (x+a)²=x²+2ax+a²\) | 和の平方 |
| \(\displaystyle (x-a)²\) | \(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax+a²\) | 差の平方 |
| \(\displaystyle (x+a)(x-a)\) | \(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²-a²\) | 和と差の積 |
まず分配法則で理由を確かめる。難しく感じるときは、この表で積の形を照らし合わせれば基本の展開に使える。余裕が出たら導き方も見直そう。表に合わない式は分配法則で考える。
積の形を照らし合わせ、中間項と符号を確かめます。形が合わない式や公式を忘れた場合は、分配法則で展開できます。
展開を利用した式の計算
栞先生
共通部分を1文字に置くと形を見つけやすくなります。\(\displaystyle (a+b+3)(a+b-3)\) で \(\displaystyle a+b=M\) とおけば、\(\displaystyle (M+3)(M-3)=M²-9\) です。戻して展開すると \(\displaystyle a²+2ab+b²-9\) になります。置き換えは整理のための選択肢です。
置き換え：くり返し現れる共通部分をひとまとまりの文字で表す工夫。置き換えなくても正しく展開できるが、同じ形が見つけやすくなる。
共通部分を置き換えて展開
1. \(\displaystyle (a+b+3)(a+b-3)\) （\(\displaystyle a+b\)が共通部分）
↓
2. a+b=M とおくと、(M+3)(M−3) （ひとまとまりをMに置き換え）
↓
3. =M²−9 （乗法公式4）
↓
4. \(\displaystyle =(a+b)²-9\) （Mを\(\displaystyle a+b\)に戻す）
↓
5. \(\displaystyle =a²+2ab+b²-9\) （乗法公式2で展開）
複数の積を展開して同類項を整理
1. \(\displaystyle (x+2)(x+3)+(x-1)²\) （それぞれの積を展開）
↓
2. \(\displaystyle =(x²+5x+6)+(x²-2x+1)\) （2つの展開結果を並べる）
↓
3. \(\displaystyle =x²+5x+6+x²-2x+1\) （かっこを外す）
↓
4. \(\displaystyle =2x²+3x+7\) （同類項をまとめる）
\(\displaystyle 99²\)を乗法公式で工夫して計算
1. \(\displaystyle 99²\) （99を100-1と見る）
↓
2. \(\displaystyle =(100-1)²\) （差の平方の形）
↓
3. \(\displaystyle =100²-2×100+1\) （乗法公式3）
↓
4. =10000−200+1 （それぞれ計算）
↓
5. =9801 （答え）
式の置き換えも数の見方も、展開しやすい形を見つける工夫。どの式にも必要な固定手順ではない。難しく感じるときは、使った公式の形を先に書いて照らし合わせよう。
複数の積は、それぞれ展開して同類項をまとめます。\(\displaystyle (x+2)(x+3)+(x-1)²=(x²+5x+6)+(x²-2x+1)=2x²+3x+7\) です。
\(\displaystyle 99²=(100-1)²=100²-2×100+1=10000-200+1=9801\) のように、数も公式に合う形に見直せます。
よくある間違い
栞先生
\(\displaystyle (x+a)²=x²+a²\) では中間項が抜けます。正しくは \(\displaystyle x²+2ax+a²\) です。\(\displaystyle (x-a)²\) の定数項は \(\displaystyle (-a)×(-a)=a²\) なので正です。
× \(\displaystyle (x+a)²=x²+a²\) 中間項を落としている
○ \(\displaystyle (x+a)²=x²+2ax+a²\) axが2つ現れる
× \(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax-a²\) 定数項まで負にしている
○ \(\displaystyle (x-a)²=x²-2ax+a²\) \(\displaystyle (-a)×(-a)=a²\)
× \(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²+a²\) 最後の積の符号を見落としている
○ \(\displaystyle (x+a)(x-a)=x²-a²\) \(\displaystyle a×(-a)=-a²\)
\(\displaystyle (x+a)(x-a)\) の最後の積は \(\displaystyle a×(-a)=-a²\) です。中間項が消えても、答えは \(\displaystyle x²-a²\) になります。
展開のまとめ
栞先生
分配法則では各項にかけ、乗法公式は積の形、中間項、符号を確かめます。置き換えや同類項の整理も計算の見通しをよくします。
- 分配法則では、かっこの中の各項にかける
- 乗法公式は積の形を見て選び、中間項と符号を確かめる
- 置き換えや同類項の整理で、長い式も見通しよく計算できる
自己点検：なぜ\(\displaystyle (x+a)²\)に中間項2axが必要か、自分の言葉で説明できたら要点は押さえられている。あやしければ、分配法則からの展開に戻ろう。
この先は、展開の逆向きの操作である因数分解も出てくる。ここでは名前の予告まで。
中間項 \(\displaystyle 2ax\) に迷ったら、\(\displaystyle (x+a)(x+a)\) を分配すると理由が見えます。この先は因数分解も扱いますが、ここでは名前の予告までです。
よくある質問
\(\displaystyle (x-6)²\) を \(\displaystyle x²-36\) としてはいけないのですか？
平方は、それぞれを2乗するだけではありません。\(\displaystyle (x-6)(x-6)\) を分配すると中間項 \(\displaystyle -12x\) が現れ、定数項は正の \(\displaystyle 36\) になります。
差の平方なのに、中間項が正になることはありますか？
\(\displaystyle (x-a)²\) では、分配すると \(\displaystyle -ax\) が2つ現れます。そのため中間項は \(\displaystyle -2ax\) で、\(\displaystyle (x-6)²\) なら \(\displaystyle -12x\) です。
\(\displaystyle (x-6)²\) の中間項は、なぜ \(\displaystyle -6x\) ではないのですか？
\(\displaystyle (x-6)(x-6)\) では、\(\displaystyle x×(-6)\) と \(\displaystyle (-6)×x\) の2つが現れます。どちらも \(\displaystyle -6x\) なので、合わせると \(\displaystyle -12x\) になります。
この単元の練習問題ページへ →
解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
解答・解説つきの演習プリント（別ページ）
この単元の授業
栞先生
続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）
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