中1数学｜正負の数【Step 1b】
栞先生 しおりアカデミー
中1数学｜平面図形（作図・移動）【Step 1c】
栞先生
中1 数学｜平面図形（作図・移動）｜Step 1c
この記事でわかること
- 「÷360」は円全体に対する割合を求める操作で、意味を理解すれば公式を丸暗記しなくてよい
- 弧の長さと面積の公式は「×中心角/360」という考え方が共通で、1つの発想から両方を導ける
- 「まわりの長さ」を問われたら弧＋半径×2で計算し、弧だけで答えてはいけない
※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。
栞先生
「÷360って、なぜ360で割るの？」と思ったことはありませんか？
学習マップ
この単元の位置づけです。
おうぎ形の公式、
なぜ『÷360』をかけるの？
丸暗記で済ませてない？
[POINT] コツは『円全体の何分のいくつ？』
中心角 90° → 1/4
中心角 120° → 1/3
中心角 60° → 1/6
今日のテーマ
円とおうぎ形（弧の長さと面積）
小4 角度
↓
小4 垂直と平行
↓
小5 合同な図形
↓
▶ 中1 平面図形（今回はここ）
↓
中1 空間図形
↓
中2 平行線と合同
ピザで考えるおうぎ形
栞先生
半径15cmのピザを8等分した1切れ—外側のカーブの長さと面積を、まず自分でざっくり予想してみてください。
家族で半径15cmのピザを注文！
8等分にカットした1切れ
→ 外側のカーブの長さは？
→ 1切れの面積は？
『どのくらい？』と予想してみて。
あとで公式で確かめるよ。
ピザ1枚全体の円周は2π×15＝30π cm、面積はπ×15²＝225π cm²です（小学校の公式）。8等分の1切れならそれぞれを8で割れば求められます。では中心角が60度や120度の場合は「÷何」になるのでしょうか。これを解決するのが、これから学ぶ公式です。
円の基本用語を整理する
栞先生
「半径・直径・弦・弧・おうぎ形」、それぞれ区別できていますか？問題文を読み間違えないために、図と言葉をセットで押さえておきましょう。
【円の各部の名前 ①】
中心 O … 円の真ん中の点
半径 OA … 中心と円周上の点を結ぶ線分
直径 CD … 中心を通り、両端が円周上の線分
中心角 … 2本の半径がつくる角（∠AOB）
※ 直径 = 半径 × 2
【円の各部の名前 ②】
弦 EF … 円周上の2点を直線で結んだ線分
弧 EF … 円周の一部（曲線）
おうぎ形 … 2本の半径と弧で囲まれた図形
中心（O）は円の真ん中の点。半径は中心と円周上の点を結ぶ線分（OAなど）。直径は中心を通り両端が円周上にある線分で、直径＝半径×2。中心角は2本の半径にはさまれた角（∠AOBなど）です。
弦は円周上の2点を直線で結んだ線分（EFなど）。弧は同じ2点をカーブにそってたどった曲線部分。おうぎ形は2本の半径と弧で囲まれた図形で、この記事の主役です。
弦と弧の違い
栞先生
「弦」と「弧」—名前が似ていて混乱しやすいポイントです。
同じ2点A・Bを結んでも…
弦 AB … 直線で結ぶ（線分）
弧 AB … 曲線でたどる（円周の一部）
→ 直線か曲線か、それだけのちがい！
同じ2点A・Bを結ぶとき、直線で結んだものが弦、円周にそったカーブが弧です。「弦AB」なら線分、「弧AB」ならカーブの部分と瞬時に区別できるようにしてください。なお直径は「中心を通る弦」の特別な場合であり、弦の中で最も長い線分です。
公式の意味：「中心角÷360」は割合を表す
栞先生
「中心角÷360」という部分、なぜ360で割るのか説明できますか？
中心角 ÷ 360 = 円全体の何分のいくつ？
中心角 90° → 90/360 = 1/4
中心角 120° → 120/360 = 1/3
中心角 60° → 60/360 = 1/6
→ 円全体に『この割合』をかけるだけ！
中心角÷360は、円全体に対してこのおうぎ形が「何分のいくつにあたるか」という割合を求める操作です。90÷360＝1/4（円の4分の1）、120÷360＝1/3、60÷360＝1/6。この割合を円全体の値にかければおうぎ形の値が出ます。公式は弧の長さ＝2πr×中心角/360、面積＝πr²×中心角/360の2つですが、どちらも「円全体の値×中心角/360」という同じ構造です。考え方は1つで十分です。
計算例：ピザ1切れを求める
栞先生
実際にピザの問題で公式を使って確かめてみましょう。
introのピザに戻ろう！
半径15cm、8等分の1切れ
→ 中心角 = 360 ÷ 8 = 45°
半径15cm、8等分の中心角は360÷8＝45度です。弧の長さ＝2π×15×45/360＝30π×1/8＝15π/4 cm。面積＝π×15²×45/360＝225π×1/8＝225π/8 cm²。πを3.14とすると弧はおよそ12cm、面積はおよそ88cm²です。「全体を8分の1にしているだけ」という構造が見えると計算がシンプルになります。
よくある間違い3つ
栞先生
ここを意識するだけでテストの失点を防げます。
ここに注意！
| パターン | × 誤 | ○ 正 |
|---|---|---|
| 弦と弧 | 同じものと混同 | 直線=弦、曲線=弧 |
| 公式の使い方 | 中心角をそのまま代入 | ÷360 で割合に直す |
| まわりの長さ | 弧の長さと同じだと思う | 弧 ＋ 半径 × 2 |
①弦と弧の混同：直線なら弦、曲線なら弧。②公式の誤用：中心角の数値をそのままかけるのは誤りです。必ず÷360して割合に直してからかけます。③まわりの長さの計算ミス：「おうぎ形のまわりの長さ」は弧＋半径×2です。半径2本の直線部分を忘れずに足してください。
確認クイズ①
栞先生
用語の確認です。
Q1.
円の中心Oと、円周上の点Aを結んだ
線分OAのことを何という？
- ア 半径
- イ 直径
- ウ 弦
- エ 弧
Q1. 円の中心Oと円周上の点Aを結んだ線分OAを何といいますか。 ア 半径 イ 直径 ウ 弦 エ 弧
クイズ①の解答
栞先生
正解はア 半径。中心と円周上の点を結ぶ線分が半径で、直径（中心を通る線分）・弦（円周上の2点を結ぶ線分）・弧（カーブ部分）とは区別してください。
答え：ア 半径
→ 中心と円周上の点を結ぶ線分（OA）
- イ 直径：中心を通り、両端が円周上の線分
- ウ 弦：円周上の2点を結ぶ線分（中心を通らない場合も含む）
- エ 弧：円周の一部（曲線）
確認クイズ②
栞先生
今度は弦の問題です。
Q2.
円周上の2点A・B（中心は通らない）。
A・Bを直線で結んだ線分を何という？
- ア 弧AB
- イ 直径AB
- ウ 弦AB
- エ おうぎ形AB
Q2. 円周上の2点A・Bを直線で結んだ線分（中心を通らない）を何といいますか。 ア 弧AB イ 直径AB ウ 弦AB エ おうぎ形AB
クイズ②の解答
栞先生
正解はウ 弦AB。弧は曲線、直径は中心を通る場合のみ、おうぎ形は面積のある図形なので、直線で結んだ線分は弦と分かります。
答え：ウ 弦AB
→ 円周上の2点を直線で結んだ線分
- ア 弧AB：曲線（円周の一部）なので×
- イ 直径AB：中心を通る場合のみ。今回は通らないので×
- エ おうぎ形AB：図形であって線分ではないので×
確認クイズ③
栞先生
公式を使う計算問題です。
Q3.
半径 6cm、中心角 90°のおうぎ形の
弧の長さを求めよう。
答えは ア π cm の形で。
Q3. 半径6cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さを「aπ cm」の形で求めてください。
クイズ③の解答
栞先生
正解は3π cm。2π×6×90/360＝12π×1/4＝3π。円周全体の4分の1にあたります。
答え：ア = 3
→ 弧の長さ = 3π cm
確認クイズ④
栞先生
今度は面積を求めます。
Q4.
半径 4cm、中心角 90°のおうぎ形の
面積を求めよう。
答えは ア π cm² の形で。
Q4. 半径4cm、中心角90°のおうぎ形の面積を「aπ cm²」の形で求めてください。
クイズ④の解答
栞先生
正解は4π cm²。π×4²×90/360＝16π×1/4＝4π。円全体の面積の4分の1です。
答え：ア = 4
→ 面積 = 4π cm²
確認クイズ⑤
栞先生
「まわりの長さ」の問題です。
Q5.
『おうぎ形の弧の長さ』と
『おうぎ形のまわりの長さ（周の長さ）』
の関係として正しいのは？
- ア 弧の長さと、まわりの長さは同じ
- イ まわり ＝ 弧 ＋ 半径 × 2
- ウ まわり ＝ 弧 ＋ 半径 × 1
- エ まわり ＝ 弧 − 半径 × 2
Q5. 「おうぎ形のまわりの長さ」を求める式として正しいのはどれですか。 ア 弧の長さだけ イ 弧＋半径×2 ウ 弧＋半径×1 エ 弧−半径×2
クイズ⑤の解答
栞先生
正解はイ 弧＋半径×2。おうぎ形の境界は弧（曲線1本）と半径（直線2本）で構成されているため、半径2本分を必ず加えます。
答え：イ
まわりの長さ = 弧 ＋ 半径 × 2
確認クイズ⑥
栞先生
中心角が変わっても同じ考え方で解けますか。
Q6.
半径 3cm、中心角 120°のおうぎ形の
弧の長さを求めよう。
答えは ア π cm の形で。
Q6. 半径3cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを「aπ cm」の形で求めてください。
クイズ⑥の解答
栞先生
正解は2π cm。2π×3×120/360＝6π×1/3＝2π。円周全体の3分の1にあたります。
答え：ア = 2
→ 弧の長さ = 2π cm
この記事のまとめ
栞先生
公式は2つありますが、覚えるべき考え方はたった1つです。
まとめ
中心角 ÷ 360 = 円全体の何分のいくつ？
→ 弧も面積も『円全体 × その割合』！
→ 公式は2つあるけど、考え方は1つ。
「中心角÷360」は円全体に対する割合を求める操作です。弧の長さ（2πr×中心角/360）と面積（πr²×中心角/360）はどちらも「円全体の値×割合」という同じ構造になっています。「まわりの長さ」を問われたときは弧＋半径×2を忘れずに。この仕組みを理解しておくと、見慣れない中心角が出題されても自分で対応できます。
よくある質問
弧の長さと面積の公式を別々に暗記しなければいけませんか？
別々に暗記する必要はありません。どちらも「円全体の値×中心角/360」という同じ構造です。「÷360で割合に直してからかける」という1つの考え方を理解すれば、両方の公式を自分で導けます。
「おうぎ形のまわりの長さ」を問われたとき、弧の長さだけ計算してしまいます。
まわりの長さ＝弧＋半径×2です。おうぎ形の輪郭は弧と半径2本（直線部分）で構成されているため、半径2本分を必ず加えてください。問題文が「弧の長さ」か「まわりの長さ」かを最初に確認する習慣をつけましょう。
中心角が90度や120度以外のきりの悪い数でも同じ公式で解けますか？
はい、公式の構造は変わりません。中心角÷360で割合を求め、円全体の値にかけるだけです。約分できない場合はそのまま分数で計算を進めてください。
この単元の練習問題ページ（準備中）
この単元の授業
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栞先生
続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）
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