中1数学｜正負の数【Step 1c】

中1 数学｜正負の数｜Step 1c

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

マイナスが絡んだ途端、符号の判断で手が止まってしまう——そんな経験はありませんか。

学習マップ

この単元の位置づけです。

今日のテーマ
正負の数：かけ算・わり算・累乗の符号

「マイナス×マイナス」がプラスになる理由

栞先生

「負の数どうしをかけるとなぜプラスになるのか」という問いに、具体的な場面から迫ります。

100m上がるごとに気温が−0.6℃下がる山

500m登ったら → (−0.6) × 5
逆に500m下るなら → (−0.6) × (−5)

『負 × 負』はどうなる？

100mごとに気温が0.6℃下がる山を考えます。500m登ったときの変化は (-0.6)× 5=-3 ℃です。では500m下ったときは？「気温が下がる変化」を5回巻き戻すと (-0.6)×(-5) となり、気温はプラス方向に変化します。**マイナス**は「逆向き」を表す道具であり、逆向きを2度重ねると元の向きに戻る——これが負×負がプラスになる根拠です。

かけ算の符号ルール

栞先生

「負×負がプラスになる」と言われても直感的にしっくりこない——そのままで大丈夫です。判断基準は1つだけです。

符号の決め方（かけ算）
・同じ符号どうし → ＋
・ちがう符号どうし → −

符号と絶対値（数の大きさ）を
分けて考えるのがコツ

**同符号**どうしのかけ算は**プラス**、**異符号**どうしは**マイナス**です。先に符号を決め、次に**絶対値**（数の大きさ）を通常のかけ算で求めて組み合わせます。この二段構えで処理すれば、4通りのパターンすべてに対応できます。

わり算の符号ルール

栞先生

かけ算のルールを学んだあと、わり算では新しいルールを覚え直す必要があるのでしょうか。

わり算もかけ算とまったく同じ
・同符号 → ＋
・異符号 → −

注意！ ÷0 は計算できない
（5÷0 = 0をかけて5になる数 → ない）

答えはノーです。同符号ならプラス、異符号ならマイナス——かけ算とまったく同じです。手順も「符号→絶対値」の二段構えで変わりません。ひとつだけ注意：**0での除算**（÷ 0）は定義されていません。0に何をかけても0になるため答えとなる数が存在せず、計算が成立しないからです。

3つ以上の数のかけ算

栞先生

負の数が複数並ぶかけ算では、符号を1つずつ追って計算すると混乱しがちです。

3つ以上のかけ算は
①符号 → 『負の数の個数』で決める
　・偶数個 → ＋
　・奇数個 → −
②絶対値 → 普通にかけ算

二段構えで考えると速い

**負の数の個数**だけに注目します。個数が偶数ならプラス、奇数ならマイナスです。あとは**絶対値**を普通のかけ算で求めます。例：(-2)×(+3)×(-4)×(-1) は負の数が3個（奇数）なので符号はマイナス、絶対値 2×3×4×1=24 より答えは -24 です。

累乗の意味と計算

栞先生

累乗の記号が出てくると、「どこまでが何乗されているのか」が分かりにくくなりませんか。

累乗 ＝ 同じ数のくりかえしかけ算

2 × 2 × 2 = 2³ （『2の3乗』）
　　　　　　　　　└ 指数（かける回数）
　　　　　　　　└ 底（くりかえす数）

a^n は a を n 回かけることを意味し、a を**底**、n を**指数**と呼びます。(-4)^2=+16（偶数回→プラス）、(-2)^3=-8（奇数回→マイナス）というように、複数の積と同じ「**負の数の個数による符号ルール**」がそのまま適用されます。

括弧あり・なしで符号が逆転する

栞先生

同じ「3の2乗」なのに、括弧があるかないかで答えが正反対になることがあります。

★ここは超重要！

指数の手前に括弧があれば
→ 括弧の中ぜんぶを何回もかける

括弧がなければ
→ その数だけを何回もかけて
　最後にマイナスをつける

**括弧あり**の (-3)^2 は (-3) ごと2乗するため (-3)×(-3)=+9 です。**括弧なし**の -3^2 は 3 だけを2乗してからマイナスをつけるため -(3×3)=-9 となります。これは数学の「表記の約束」です。式を見るたびに指数の手前に括弧があるかを確認する習慣が、テストでのミスを防ぐ最短の対策です。

計算の優先順位

栞先生

計算する順番を間違えると、同じ式から人によって異なる答えが出てしまいます。

計算の順序は『約束』

①括弧の中
②累乗
③ × ・ ÷
④ ＋ ・ −

この順番で計算すれば答えは一通り

優先順位は①括弧の中、②**累乗**、③**乗除**（×・÷）、④**加減**（＋・−）です。2+3×(-4)^2 を例にすると、累乗 (-4)^2=16 → 乗算 3×16=48 → 加算 2+48=50 の順で処理します。同じ優先順位の演算が並ぶときは左から右へ計算します。

分配法則

栞先生

わざわざ展開して計算するのはなぜか——使いどころを知るとその意義が見えます。

分配法則

a × (b + c) = a × b + a × c

・括弧の中を先に計算してもよい
・展開してから足してもよい
　→ どちらでも答えは同じ

a×(b+c)=a× b+a× c が**分配法則**です。括弧の中を先に計算しても、展開して各項にかけても答えは必ず一致します。(-4)×98 のように「100に近い数」があるとき、(-4)×(100-2)=-400+8=-392 と変形すると計算が楽になります。文字式の展開でも繰り返し登場するルールです。

よくある計算ミス3選

栞先生

「なんとなく」で計算すると引っかかりやすいパターンを、手を動かす前に確認しておきましょう。

よくあるミス3つ
手を動かす前にチェック！

①(-2)×(-3) を -6 とする誤り→正解は +6（同符号はプラス）。②-3^2 を +9 とする誤り→正解は -9（括弧なしは 3 だけ2乗してマイナス）。③2+3×(-4) を左から計算して -20 とする誤り→正解は -10（乗除を加減より先に計算）。

確認問題1

栞先生

(-4)×(+7) を計算してください。

問1：次の計算結果として正しいものを選ぼう

(-4) × (+7) = ?

• ア： -28
• イ： +28
• ウ： -11
• エ： +3

正解：-28。異符号なので符号はマイナス、絶対値 4×7=28。

確認問題2

栞先生

(-36)÷(-9) を計算してください。

問2：次の式を計算しよう

(-36) ÷ (-9) = ?

正解：+4。同符号なので符号はプラス、絶対値 36÷9=4。

確認問題3

栞先生

計算結果が +9 になるものをすべて選んでください：ア (-3)^2　イ -3^2　ウ (-3)^3　エ (-1)×(-9)

問3：計算結果が +9 になるものを
すべて選ぼう（複数選択）

• ア： (-3)²
• イ： -3²
• ウ： (-3)³
• エ： (-1) × (-9)

正解：アとエ。ア=+9（括弧つき偶数乗）、イ=-9（括弧なし）、ウ=-27（奇数乗）、エ=+9（同符号）。

確認問題4

栞先生

2+3×(-4) を計算してください。

問4：次の式を計算しよう

2 + 3 × (-4) = ?

正解：-10。乗除優先で 3×(-4)=-12、次に 2+(-12)=-10。

確認問題5

栞先生

(-2)^3=-8 は正しいですか（○か×）？

問5：次の計算は正しい？

(-2)³ = -8

○か×か答えよう

• ○ 正しい
• × 間違い

正解：○。(-2) を3回（奇数）かけるので符号はマイナス、絶対値は 2×2×2=8 で -8。

確認問題6

栞先生

(-6)×(10+3) を分配法則で展開した各値を求めてください：ア =(-6)×10、イ =(-6)×3、ウ = ア + イ

問6：分配法則で計算しよう
空欄ア・イ・ウを埋めて！

正解：ア=-60、イ=-18、ウ=-78。括弧先計算 (-6)×13=-78 とも一致します。

まとめ：5つの核心ルール

栞先生

5つのルールが、正負の数の乗除・累乗計算全体を支えています。

今日のポイント

• かけ算・わり算：同符号→＋，異符号→−
• 3つ以上の積：負の個数が偶数→＋，奇数→−
• (-3)² = +9，-3² = -9（括弧の有無に注意）
• 順序：括弧 → 累乗 → ×÷ → ＋−
• 分配法則：a × (b+c) = a × b + a × c

①乗除の符号：同符号→プラス、異符号→マイナス。②複数の積：負の数が偶数個→プラス、奇数個→マイナス。③(-3)^2=+9（括弧あり）と -3^2=-9（括弧なし）を区別する。④計算順序：括弧→累乗→乗除→加減。⑤**分配法則**：a×(b+c)=a× b+a× c。これらは中学以降の文字式計算の土台となります。

よくある質問

負の数×負の数がプラスになるのはなぜですか？

「逆向きの変化」を「逆方向に巻き戻す」と元の向きに戻るためです。山の気温の例では、「気温が下がる変化（マイナス）」を「逆に5回（マイナス5）」進めると気温が上がる（プラス）ことに対応します。

(-3)^2 と -3^2 はなぜ答えが違うのですか？

括弧の有無が指数の「作用する範囲」を変えるからです。(-3)^2 は (-3) ごと2乗して +9、-3^2 は 3 だけを2乗してからマイナスをつけるため -9 になります。

分配法則はいつ使うと便利ですか？

かける数が「100に近い整数」など、括弧の中を先に計算するより展開した方が計算しやすいときに有効です。中学以降の文字式の展開でも必須のルールとして繰り返し登場します。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b
• Step 1c（この記事）
• Step 2
• Step 3

栞先生

続けて、上の練習問題や前後の単元でどんどん力をつけよう。（動画への質問はYouTubeのコメント欄でもどうぞ）

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