中1数学｜正負の数【Step 3】

中1 数学｜正負の数｜Step 3

※ この記事は上の授業動画の内容をテキストで整理したものです。

栞先生

符号の判断ミスは応用問題での失点原因として最多です。本記事では四則混合と累乗を中心に、入試レベルの問題を練習します。

学習マップ

この単元の位置づけです。

四則混合と累乗
判断ミスを防ぐ応用問題

基本ルールの確認

• 順序：括弧 → 累乗 → 乗除 → 加減
• 符号：同符号→正、異符号→負
• 分配法則：a×(b+c) = a×b + a×c
• 減法は加法へ：a−b = a+(−b)

栞先生

演習に入る前に、ステップ1の重要ルールを整理します。

**計算の順序**は ①括弧 → ②累乗 → ③乗除 → ④加減 です。**乗除の符号**は同符号なら正・異符号なら負。**分配法則** a×(b+c)=a× b+a× c を活用でき、減法は a-b=a+(-b) と加法に変換できます。

特に重要なのが**累乗における括弧の有無**です。(-3)^2=(-3)×(-3)=+9（括弧あり：負の数全体を2乗）、-3^2=-(3×3)=-9（括弧なし：3だけを2乗し符号は外につく）と、結果が全く異なります。

例題：計算の順序の確認

栞先生

8-12÷(-2)^2 を例に、計算の手順を確認します。

①累乗：(-2)^2=+4　②除法：12÷4=3　③減法：8-3=5。この順序が四則混合計算の基本です。

問1：累乗の括弧の有無

次の計算をしなさい

• ア：-27
• イ：-9
• ウ：0
• エ：9

栞先生

次の計算をしなさい。-3^2+(-3)^2×(-2)

問1：解答

正解：ア（-27）

栞先生

正解は -27 です。

-3^2=-9、(-3)^2=+9 として、-9+9×(-2)=-9+(-18)=-27。-3^2 を +9 と誤る（括弧なしの誤読）か、乗除より先に加減を処理するミスが頻出です。

問2：誤り訂正

誤りは1箇所だけ。どこ？

• ア：①の(-2)²=-4が誤り
• イ：②の8÷(-4)の符号が誤り
• ウ：③の-(-2)の解釈が誤り
• エ：④の加減算が誤り

栞先生

ある生徒が 24-8÷(-2)^2 を4ステップで計算し、26 という誤答を導きました。誤りがあるステップとその原因を選びなさい。

問2：解答

正解：ア
(-2)²は+4が正しい

栞先生

正解は**第①ステップ**（(-2)^2 を -4 とした誤り）です。

(-2)^2=+4 が正しく、24-8÷4=24-2=22 が正答です。最初の累乗処理を誤ると後続の計算が正しくても答えが狂うため、累乗は最初に正確に処理することが最重要です。

問3：工夫して計算

くふうして計算しよう

栞先生

次の式を工夫して計算しなさい。(-13)×34+(-13)×14

問3：解答

正解：-13

栞先生

正解は -13 です。

両項に共通する (-13) を**分配法則の逆利用**でくくり出すと、(-13)×(34+14)=(-13)×1=-13。分配法則は逆方向にも活用でき、共通因数が見えたときに計算を大幅に簡略化できます。

問4：気温の文章題

東京を基準として
各都市の正午の気温を求めよう

• 東京：+5℃（基準）
• ①北京：東京より8℃低い
• ②ロンドン：|北京|より3℃高い正の数
• ③モスクワ：東京の気温に-3をかけた値
• ④ニューヨーク：ロンドンと符号反対・絶対値同じ

栞先生

東京の気温を +5℃ として、次の条件から各都市の正午の気温を求めなさい。①北京：東京より 8℃低い　②ロンドン：北京の絶対値より 3℃高い正の数　③モスクワ：東京の気温に -3 をかけた値　④ニューヨーク：ロンドンと符号が反対で絶対値が同じ

問4：解答

正解：-3, +6, -15, -6

栞先生

正解：①-3℃　②+6℃　③-15℃　④-6℃

①(+5)-8=-3　②|-3|+3=+6　③(+5)×(-3)=-15　④+6 の符号を反転して -6。条件を1行ずつ式に変換することで、複雑に見える文章題も確実に解けます。

問5：累乗3つの計算

次の計算をしなさい

栞先生

次の計算をしなさい。(-2)^3×(-3)^2-(-4)^2÷2

問5：解答

正解：-80

栞先生

正解は -80 です。

①累乗をすべて処理：(-2)^3=-8、(-3)^2=+9、(-4)^2=+16　②乗除：(-8)×9=-72、16÷2=8　③減法：-72-8=-80。累乗を先にすべて確定させてから乗除に進むと、符号の混乱を防げます。

問6：正の数になるものを選べ

値が正の数になるものを
すべて選ぼう

• ア：-(-5)²
• イ：(-2)⁴ ÷ (-4)
• ウ：-3² + (-3)²
• エ：(-1)¹⁰⁰ × (-1)⁹⁹
• オ：-(-2)³
• カ：|-6| – |-4|

栞先生

次のア〜カのうち、値が**正の数**になるものをすべて選びなさい（複数選択可）。ア：-(-5)^2　イ：(-2)^4÷(-4)　ウ：-3^2+(-3)^2　エ：(-1)¹⁰⁰×(-1)⁹⁹　オ：-(-2)^3　カ：|-6|-|-4|

問6：解答

正解：オ、カ

栞先生

正解は**オとカ**です。

ア：-25（負）、イ：-4（負）、ウ：0（**0 は正の数ではない**ため不正解）、エ：-1（負）、オ：-(-8)=+8（正）、カ：6-4=+2（正）。ウで 0 を正の数と誤るパターンは頻出の罠です。

頻出ミスのまとめ

栞先生

演習を通じて繰り返し見られた符号判定の誤りを整理します。

①**-3^2 を +9 とする誤り**：括弧なしは 3 だけを2乗するため -9。②**(-2)^2 を -4 とする誤り**：括弧ありは -2 全体を2乗するため +4。③**-(-3) を -3 とする誤り**：二重の負符号は正になるため +3。

まとめ

• 順序：括弧→累乗→乗除→加減
• 累乗：括弧の有無で意味が変わる
• 分配法則は順方向も逆方向も使える

栞先生

本単元の要点を3点に整理します。

①**計算の順序**：括弧 → 累乗 → 乗除 → 加減。②**累乗と括弧の関係**：括弧の有無で符号が変わる（-3^2=-9 vs (-3)^2=+9）。③**分配法則の双方向活用**：逆方向に使って共通因数をくくり出す手法は応用問題で特に有効です。この3点を意識することで正答率が大きく向上します。

よくある質問

-3^2 と (-3)^2 はなぜ答えが違うのですか？

括弧なしの -3^2 は「3 だけを2乗してから – をつける」ため -9 になります。括弧ありの (-3)^2 は「-3 という数全体を2乗する」ため (-3)×(-3)=+9 になります。括弧が符号を含むかどうかを区別することがポイントです。

分配法則を「逆方向に使う」とはどういう意味ですか？

a× b+a× c という形から共通因数 a をくくり出して a×(b+c) にする操作です。例えば (-13)×$\frac{3}{4}$+(-13)×$\frac{1}{4}$ では (-13) をくくり出すことで、括弧内が 1 となり計算が一気に簡略化されます。

0 は正の数に含まれますか？

0 は正の数でも負の数でもありません。「正の数になるものを選べ」という問いでは 0 は含まれないことに注意してください。問6のウのように 0 になる式は選択肢から外す必要があります。

この単元の授業

• Step 1a
• Step 1b（準備中）
• Step 1c（準備中）
• Step 2
• Step 3（この記事）

栞先生

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